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01卷第三章 导数及其应用《过关检测卷》
－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知函数 ， ，若方程 有两个不相等的正实根，则实数m的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由方程 有两个不相等的正实根，转化为方程 有两个不相等的正实根，进而
得到函数 的图象与直线 在 上有两个不同的交点，根据当 时，若直
线 与 的图象相切，得到切点坐标为 和切线方程，结合图象，即可
求解.
【详解】
因为函数 ， ，且方程 有两个不相等的正实根，
所以方程 有两个不相等的正实根，
即方程 有两个不相等的正实根，即函数 的图象与直线 在 上有两个不同的交点，
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
作出 在 上的大致图象，如图所示，
当 时，若直线 与 的图象相切，
设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
可得切线过点 ，所以 ，解得 或 (舍去)，
所以该切线的斜率为 ，
因为函数 的图象与直线 在 上有两个不同的交点，
所以数形结合可得 .
故选：D.
【点睛】
方法点拨：把方程 有两个不相等的正实根，转化为方程 有两个不相等的正实根，进而转化为函数 的图象与直线 在 上有两个不同的交点，利用导
数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键.
2．设函数 在区间 上有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得函数 ，把 在 上有两个极值点转化为方程 在区间 上由两个不等式
的实数根，令 ，利用导数求得函数 的单调性与最值，结合图象，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 上有两个极值点，
等价于关于 的方程 在区间 上由两个不等式的实数根，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
要使得函数 在区间 上有两个极值点，则满足 ，即a的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函
数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
3．已知函数 ，若 ，使 成立，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
当 时，求得函数 的值域为 ，当 时，求得 ，当 时，利用导数
求得函数的单调性，可得 ，根据题意，转化为 值域包含 的值域，得出不等式 ，求得 ；②当 时，求得 的值域为 ，满足题意，进而
求得实数 的取值范围.
【详解】
当 时，函数 ，所以函数 的值域为 ，
当 时，函数 ，可得 ，
①当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为对 ，使 成立，转化为 值域包含 的值域，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，此时值域为 ，
满足对 ，使 成立，
综上所述，实数 的取值范围为 .故选：A.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数
能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
4．若存在实数x，y满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】
令 ，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令 ，结合基本不等式，
求得 ，进而得到 ，求得 的值，即可求解.
【详解】
令函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 ，可得 ，
令函数 ，则 ，当且仅当 时取等号，
又由 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：C.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数
能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
函数 是偶函数,当 ， ，对函数求导，讨论函数的单调区间即
可得出结果.
【详解】
函数 是偶函数，排除选项B；
当 时，函数 ，可得 ，
当 时， ，函数是减涵数，当 时，函数是增函数，排除项选项A,D.
故选:C.
6．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， （ 为 的导
函数）.若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设函数 ，求得 时， ，得到当 时， ，得到函数
的单调性，把任意的 ， 恒成立，
转化为 ，即可求解.
【详解】
由 为偶函数，得函数 的图象关于直线 对称.
设函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
可得当 时， ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
设函数 ，则当 时 ，
因为 ，所以由对任意的 ， 恒成立，
可得 ，即 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函
数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
7．已知函数 的导函数 的两个零点为1，2，则下列结论正确的是（
）
A． B． 在区间 的最大值为0
C． 有2个零点 D． 的极大值是正数
【答案】B
【分析】
由 是导函数 的两个零点，求得 ，可判定A错误；代入导数
，求得函数的单调性与极值，结合图象，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，可得
因为 是导函数 的两个零点，可得 ，其中 ，可得 ，所以 ，故A错误；
所以函数 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减，
所以函数 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
且 ，
故 在 的最大值是 ，所以B正确；
函数 的大致图象，如图所示，
所以函数 只有一个零点，故C不正确，D不正确.
故选：B.
【点睛】利用导数研究函数的单调性（区间）的方法：
（1）当导函数不等式可解时，解不等式 或 ，求出函数的单调区间；
（2）当方程 可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间
的符号，从而确定函数的单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 结构特征，利用图像与性质确定 的符号，
从而确定单调区间.
8．设实数 ，若对任意的 ，不等式 成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把不等式 成立，转化为 恒成立，设函数 ，进而转化为
恒成立，得出 恒成立，构造函数 ，利用导数求得函数的单调性与
最值，即可求解.
【详解】
因为 ，不等式 成立，即 成立，即 ，
进而转化为 恒成立，
构造函数 ，可得 ，
当 ， ， 单调递增，则不等式 恒成立等价于 恒成立，即 恒成立，
进而转化为 恒成立，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 ，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数
的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函
数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的
各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
9．设函数 ，当 时，不等式 对任意的
恒成立，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得函数 的单调性，得到 ，把不等式恒成立，
转化为得 对任意的 恒成立，求得 ，结
合选项，即可求解．
【详解】
由题意，函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ，当 时，可得 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，所以 在 上为减函数，
又 ，所以 ，
由不等式 对任意的 恒成立，
得 对任意的 恒成立，
所以 恒成立，解得 ，即 ，
结合选项知，可得 的可能取值是 ．
故选：D．
【点睛】
易错警示：利用单调性解决相关应用问题时，要注意单调区间的判定，当自变量都在同一个单调区间内才
能利用相应的单调性，解题时防止漏证导致解题错误．
10．设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）A．7 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 为函数 的零点，则 ，转化为 在直线 上，根据
表示点 到原点的距离的平方，得到 ，构造新函数 ，
利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
设 为函数 在 上的零点，则 ，
即 ，即点 在直线 上，
又由 表示点 到原点的距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
可得函数 在区间 上单调递增，
所以当 时，函数取得最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数
能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
11．已知函数 .若方程 在区间 上有解，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把方程 在区间 上有解，转化为 在区间 上有解，构造函数
，利用导数求得函数 在 上的单调性，进而求得实数 的取值范围.
【详解】
当 时，直线 在 图象的上方，故当 时， ，
由方程 在区间 上有解，
可得 在区间 上有解，
令 ， ，则 ，因为 ，所以 ，则由 ，得 ，
所以当 时， ，
当 时， ，于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
， ，
所以实数 的取值范围为 ，
故先：C.
【点睛】
含参数的方程有解问题的处理方法常常是分参数法，通常将原问题转化为求函数的值域问题，对于分子､
分母都有对数式的式子的求导，常常需要变形，分离出常数，如本题中的函数 ，直接求
导比较繁琐，可变形转化为 ，再求导就比较简单.
12．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是 ( )
A．－1≤m≤1 B．－10 x 0
1 ， 2 且 1 ， 2 ，
所以 f x在 0,a1 a2 2a 上单调递增，在 a1 a2 2a,a1 a2 2a 上单调递增，在
a1 a2 2a,
上单调递增.
f x 0,
a2
综上所述；若 ， 在 上单调递增﹔
若 ， f x在 0,a1 a2 2a ， a1 a2 2a, 上单调递增，
a2
a1 a2 2a,a1 a2 2a
在 上单调递减.
a2
f x 1,
（2）由（1）可知当 时，函数 在 上单调递增，
4
lnx 20
所以
f x f 10
，即 x1 在
1,
上恒成立，
2x
lnx1
0,
所以 x2在 上恒成立，
2x x2
x0
下面证 x2 ex 1 ，即证2ex x2 2x20，
x2ex x2 2x2 'x2ex 2x2
设 ，可得 ，
x2ex 2x2 'x2ex 20 0,
设 ，可得 在 上恒成立，
x2ex 2x2 0, x2ex 2x200
所以 在 上单调递增，所以 ，
x2ex x2 2x2 0,
所以 在 上单调递增，
x2ex x2 2x200
所以 ，2x x2 x2
lnx1
所以 x2 ex 1，即当x0时， ex 1.
【点睛】
利用导数证明不等式问题：
f x gx(f x gx) f xgx0
（1）直接构造法：证明不等式 转化为证明
(f xgx0) hx f xgx
，进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
a1x2
f xex 1ax
46．已知函数 ex ，aR.
1,2 y f x
a1
（1）若 ，过点 作曲线 的切线，求切点坐标；
f x
（2）讨论函数 的零点个数.
2,e2 4
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当a1时，求得函数 f x 和 f x ，求得切点坐标为 x 0 ,ex 0 2x 0 和 fx 0 ，求得切线方程
y ex 0 2 x1x ex 0 1,2 x 2
0 ，代入点 ，求得 0 ，即可求解.
x2 x x
f x0 1a1 1a 0 t
（2）令 ，得到即 e2x ex ，令 ex ，把方程(*)等价于方程
x
t
a1t2 a1t 10 (**)，求得函数 ex 的单调性及 a1t2 a1t 10
【详解】
a1 f xex 2x fxex 2
（1）当 时，函数 ，可得 ， x ,ex 0 2x fx ex 0 2
设切点坐标为 0 0 ，则 0 ，
y f x x ,ex 0 2x y ex 0 2 xx ex 0 2x
所以曲线 在点 0 0 处的切线方程为 0 0，化简得
y ex 0 2 x1x ex 0
0 .
1,2 2ex 0 21x ex 0 2x ex 0 0 x 2
因为切线过点 ，所以 0 ，即 0 ，解得 0 ，
2,e2 4
所以切点坐标为 .
a1x2
（2）令 f x0，可得 ex ex 1ax0 ，
x2 x
1a1 1a 0
即 e2x ex (*)，
x
t
令 ex ，则方程(*)等价于方程 a1t2 a1t 10 (**).
x ex xex 1x
t t
对于函数 ex ， e2x ex ，
1x
t 0
当x,1 时， ex ，
1x
t 0
当
x1,
时， ex ，
x
所以函数
t
ex 在
,1
上单调递增，在
1,
上单调递减.
x 1
t
因此 ex e ，且当x趋近于时，t趋近于，当x趋近于时，t趋近于0，
x
t
作出函数 ex 的大致图象，如图所示.1
t 0 f x
当a1时，方程(**)为2t 10，得 2 ，此时函数 只有一个零点.
a1 a12 4a1a2 2a5a12 40
当 时，对于(**)， ，
a1t2 a1t 10 t t t t
所以方程 必有2个不同的根，不妨设为 1， 2，且 1 2，
gta1t2 a1t 1
记 ，
1
tt 0
若a10，即a 1，则 1 2 a1 ，得 t 1 0t 2.
1 1 1
由于g010，因此当 g
e
0
，即
ae
e1时，
0t
2
e，
1 1 1
①当 a e e1时， g e 0 ，则t
1
0， t 2 e ，此时函数 f x 有2个零点；
1 1 1
②当 a e e1时， g e 0 ，则 t 1 0t 2 e ，此时函数 f x 有3个零点；
1 1 1
③当 1ae e1时， g e 0 ，则t
1
0， t 2 e ，此时函数 f x 有1个零点.
1 1a
tt 0 t t 0
若a10，即a1，则 1 2 a1 ， 1 2 a1 ，可得 t
1
t
2
0 ，
f x
此时函数 有2个零点.
1
a 1,e
综上，当 e1 时，函数 f x 有1个零点；
1
当 a,1 e e1 时，函数 f x 有2个零点；
1
a e ,
当 e1 时，函数 f x 有3个零点.【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
f x
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从 中分离
参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通
过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函
数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的
各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
a1
g(x)lnx 2a
47．已知函数 f(x)ax1(x0)， x ．
1
a f x gx
（1）若 2，比较函数 与 的大小；
f x gx
（2）若 x1 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
1
[ ,)
【答案】（1）答案见解析；（2） 2 ．
【分析】
1 x 1
a F(x) f(x)g(x) lnx F(x) 0,
（1）当 2，单调 2 2x ，利用导数求得函数 在 单调递增，
F10
且 ，即可得到结论；a1 1 1
h(x)ax1lnx 2a,x1 a 0a
（2）设 x ，求得函数的导数，分 2 、 2和a0三种情况讨
论，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
1 x 1
a f(x) 1 g(x)lnx 1
（1）由题意，当 2，可得函数 2 ， 2x ．
x 1 1 1 1 (x1)2
F(x) f(x)g(x) lnx F(x) 0
则 2 2x ，可得 2 x 2x2 2x2 ，
F(x) 0, F10
所以 在 单调递增，且 ，
x1 F(x)0 f(x) g(x)
综上，当 时， ，可得 ；
x(0,1) F(x)0 f(x) g(x)
当 时， ，可得 ；
x(1,) F(x)0 f(x) g(x)
当 时， ，可得 .
a1
h(x)ax1lnx 2a,x1
（2）设 x ，
1 a1 ax2 x(a1) (x1)(axa1)
h(x)a
可得 x x2 x2 x2 ，且h(1)0，
a0 h(x)0
hx 1, hxh10
若 时， ， 在 单调递减， ，不合题意，舍去；
a1 1a
(x1)[a(x )] a(x1)(x )
若 时，可得 hx a a ，
a0 x2 x2
1a
令
hx0
，解得 x 1 和
x
2
a ，
1
1
a hx0 hx 1,
①当 2 时，当x1，可得 ， 在 单调递增，
h(x)h(1)0 f(x) g(x)
所以 ，此时 ；1a
1
0a hx0 x
②当 2时，令 ，解得 a ；
1
hx0 x 1
令 ，解得 a ，
1
1, 1 1a
所以hx
在
a
单调递减，在
(
a
,)
单调递增，
hxh10
所以 ，不合题意，舍去；
hx0 hx 1,
③当a0时，可得 ， 在 单调递减，不合题意，舍去．
1
[ ,)
综上可得，实数a的取值范围是 2 ．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1
f xlnx ax2 bx
48．设函数 2 ．
f x P 1, f 1 y 2x1 a b
（1）已知 在点 处的切线方程是 ，求实数 ， 的值；
f xx20
（2）在第（1）问的条件下，若方程 有唯一实数解，求实数 的值．
a0 b1 1
【答案】（1） ， ；（2） ．
【分析】
1
f 1 ab1
f11ab2
（1）当x1时，求得 2 ，得到a2b2，再由 ，联立方程组
即可求解；gxx2 lnxx
x2 lnxx0
（2）根据题意转化为 有唯一实数解，设 ，求得
2x2 x1
gx
x ，令2x2
x10，利用二次函数的性质，得到函数gx
单调性与最值，进而
gx 0 hx2lnxx1 x 1
得到 2 ，结合 的单调性，求得方程的解为 2 ，代入，即可求解.
【详解】
1
f 1 ab1
（1）当x1时，可得y2111，所以 2 ，即a2b2，
1
fx axb f11ab2
因为 x ，即 ，即ab1
a2b2
联立方程组 ab1 ，解得 a0 ，b1．
f xx2
x2 lnxx0
（2）由方程 有唯一实数解，即 有唯一实数解，
2x2 x1
设gxx2 lnxx，则 gx x ,x0 ，
2x2 x10,x0
令 ，
1
x x 0
因为0，所以180，且 1 2 2 ，所以方程有两异号根，
x 0 x 0 x
x0
设 1 ， 2 ，因为 ，所以 1应舍去，
x0,x gx0 gx 0,x
当 2 时， ， 在 2 上单调递减；
xx , gx0 gx x ,
当 2 时， ， 在 2 上单调递增．
x x
gx 0 gx gx
当 2时， 2 ， 取最小值 2 ，gx 0 x2 lnx x 0
因为 gx0 有唯一解，所以 gx 2 0 ，则 gx 2 2 0 ，即 2 2 x 2 2 x 2 2 1 2 0 ，
2lnx x 10
0
因为 ，所以 2 2 ．（*）
hx2lnxx1
设函数 ，
hx hx0
x0
因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解，
h10 x 1
因为 ，所以方程（*）的解为 2 ，
x 1 2x2 x 10
将 2 代入 2 2 ，可得 1 ．
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
f x
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从 中分离
参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通
过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函
数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的
各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
f xex bex 2ax
49．已知函数 ，其中e是自然对数的底数．
e
（1）若 b0 ，a 2 ，证明： f x0 ，
（2）若 b1 时， f x0 在
0,
恒成立，求实数a的取值范围．
,1
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
e
（1）由当 ，a 时，求得 fxex e，得出函数 f x单调性和最值，即可求解；
b0 2
fxex ex 2a fxex ex 0 0,
b1
（2）当 时，求得 ，得到 在 恒成立，且f022a
，分 a1 和a1两种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
e
（1）由题意，当 ，a 时，可得 f xex ex，则 fxex e，
b0 2
fx0
x1
当 时，可得 ；
x,1 fx0 f x
当 时， ， 单调递减；
x1, fx0 f x
当 时， ， 单调递增；
f x
x1
所以 在 时取得极小值，也是最小值，
f x f 10
所以 ．
f xex ex 2ax fxex ex 2a
b1
（2）当 时，函数 ，可得 ，
fxex ex 0 0,
在 恒成立，
f x 0, f022a
所以 在 上单调递增， ．
fx f00
a1
①当 时， ，
f x 0, f x f 00
所以 在 上单调递增，所以 ，满足题意．
f x 0,
②当a1时，因为 在 上单调递增，
fx f022a0
所以 min ，
t0, x0,t fx0 f x 0,t
存在 ，使得当 时， ， 在 上单调递减，
x0,t f x f 00 f x0 0,
所以当 时， ，这与 在 上恒成立矛盾
,1
综上所述， a1 ，即实数a的取值 ．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1
f x xex a x2 2x2 aR
50．已知函数 2 ．
1
a
f x
（1）当 e 时，讨论函数 的极值；
1
（2）若存在 x 0 0, ，使得 f x 0 lnx 0 2 x 0 22aax 0 ，求实数a的取值范围．
,1
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2） ．
【分析】
1 1
fxx1 ex a 0a a
（1）求得函数的导数 ，分a0、 e 和 e三种情况讨论，结合导数的符
号和极值的定义，即可求解；
x 0, x ex 0 lnx x a0 hx xex lnxxa
（2）由存在 0 ，使得 0 0 0 ，构造新函数 ，利用求
a
得函数的单调性与最值，进而求得实数 的取值范围.
【详解】
1
f x xex a x2 2x2
（1）由题题意，函数 2 ，
fxx1ex ax1x1 ex a
可得 ．
fx0 fx0
①当a0时，若 x1 ，则 ，若x1，则 ，
f x ,1 1,
所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，3
f x f 1e1 a
所以当x1时， 取得极小值 2 ，无极大值，
1
0a
fx0 fx0
②当 e 时，若xlna或x1，则 ，若lna x1，则 ，
f x ,lna lna,1 1,
在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，
1
f x f lnaa alna2
所以当xlna时， 取得极大值 2 ，
3
f x f 1e1 a
当x1时， 取得极小值 2 ．
1
③当
a
e时，
fx0
，∴
f x
在区间
,
上是增函数，
f x
∴ 既无极大值又无极小值．
3
f x f 1e1 a
综上所述，当a0时， 有极小值 2 ，无极大值；
1 1 3
0a f x f lnaa alna2 f 1e1 a
当 e 时， 有极大值 2 ，极小值 2 ；
1
a f x
当 e时， 既无极大值又无极小值
x 0, x ex 0 lnx x a0
（2）由题知，存在 0 ，使得 0 0 0 ，
1 1
hxx1ex 1x1 ex
设hx xex lnxxa，则 x x ，
1
mxex x0
设 x ，
1
m e20
∴mx
在区间
0,
上是增函数，又
2
，m1e10，1 1
∴存在
x
1
2
,1
，使得
mx
1
0
，即
ex 1
x 1 ，∴x 1 lnx 1 ，
0 x x mx0 hx0 x x mx0 hx0
当 1时， ，即 ，当 1时， ，即 ，
hx 0,x x ,
∴ 在区间 1 上是减函数，在区间 1 上是增函数，
1
hx hx xex 1 lnx x a x x x a a1
∴ min 1 1 1 1 1 x 1 1 ，
1
∴a10，∴a1，
,1
∴实数a的取值范围为 ．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1 1
f x x3 2a2x2 4ax4axlnx f x
51．已知函数 6 2 的导函数为 ，aR.
f x
（Ⅰ）求 的极值；
1
0, a2 3a8lna
（Ⅱ）判断函数 f x 在区间 2 上的单调性.
1
【答案】（1）答案见解析； （2）函数 f x 在(0,2)上递减，在区间 (2, 2 a2 3a8lna) 上递增.
【分析】
1 (x2a)(x2)
f x
gx x2 2a2x4alnx gx
gx0
（1）求得 ，令 2 ，求得 x ，令 ，x2 x 2a a0 1a0 a1 a1
解得 或 ，分 、 、 和 四种情况讨论，结合极值的概念，即可求
解；
1
（2）由（1）知 f x 在(0,2)上递减，在(2,)上递增，令 h(a) 2 a2 3a8lna2 ，利用导数求
h(a) f x
得函数 的单调性与最小值，进而求得函数 的单调性.
【详解】
1 1
f x x3 2a2x2 4ax4axlnx
(0,)
（1）由题意，函数 6 2 的定义为 ，
1
fx x2 2a2x4alnx,x0
则 2 ，
1
gx x2 2a2x4alnx,x0
令 2 ，
4a x2 (2a2)x4a (x2a)(x2)
gx x2a2
则 x x x ，
gx0
x2 x 2a
令 ，可得 或 ，
a0 0 x2 gx0 gx
①若 ，当 时， ， 单调递减；
x2 gx0 gx
当 时， ， 单调递增，
gx g24a4aln22
x2
所以当 时， 取得极小值 ，无极大值；
02a2 1a0
②若 时，即 时，
gx0 gx
0 x2a
当 时， ， 单调递增，
gx0 gx
2a x2
当 时， ， 单调递减；
x2 gx0 gx
当 时， ， 单调递增，gx g2a2a2 4a4aln(2a)
x 2a
所以当 时， 取得极大值 ，
gx g24a4aln22
x2
当 时， 取得极小值 ；
③若2a2时，即a1时，
0 x2
gx0 gx
当 时， ， 单调递增，
gx0 gx
2 x2a
当 时， ， 单调递减；
gx0 gx
x2a
当 时， ， 单调递增，
gx g24a4aln22
x2
所以当 时， 取得极大值 ，
gx g2a2a2 4a4aln(2a)
x 2a
当 时， 取得极小值 ，
(x2)2
④若a1时，此时
gx
x
0 ，此时函数gx
单调递增，此时无极值；
综上可得：
a0 f x 4a4aln22
当 时，函数 有极小值 ，无极大值；
1a0 f x 2a2 4a4aln(2a) 4a4aln22
当 时，函数 有极大值 ，极小值 ；
当a1时，函数 f x 有极大值 4a4aln22 ，极小值 2a2 4a4aln(2a) ；
f x
a1
当 时，函数 无极值.
1
x 0, a2 3a8lna
（2）当 2 时，其中a0，
f x (0,2) (2,)
由（1）知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
1 8 a2 3a8
h(a) a2 3a8lna2 h(a)a3
令 2 ，可得 a a ，
41 3 41 3
a a
令h(a)0，即a2 3a80，解得 2 2或 2 2 （舍去），41 3 3 411 41 3
a h(a) 8ln( )
当 2 2时，h(a)取得最小值为 4 2 2 ，
x2 1 (x1)2
gxlnx ,x1 gx 0
设 2x ，可得 2x2 ，
gx
(1,)
所以 在 为递减函数，
x2 1
又由g10，所以当x1时，gx g00，即 lnx
2x ，
3 411 41 3 3 411 7 41 27 13
8ln( ) 8( ) 41
可得 4 2 2 4 32 32 2 ，
13
41 0
又由164169，可得2 4113，所以 2 ，
1
a2 3a8lna 2
即h(a)0，即2 ，
1
所以 f x 在(0,2)上单调递减，在区间 (2, 2 a2 3a8lna) 上单调递增，
【点睛】
解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
f xalnx1x2 a2xa1,aR
52．已知函数 ．
f x
（1）讨论 的单调性；
f x f x0 1,
（2）若 存在极值，且 在 上恒成立，求a的取值范围．
1a＜0
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2） ．
【分析】2x2 a4x2
fx
（1）求得 f x 的导数 x1 ，令gx2x2 a4x2，结合二次函数的图
f x
象与性质，根据对称轴分类讨论确定 的符号，即可求解；
lnx1x1
1
（2）把x1, ， f x0恒成立，转化为 x2 2x1 a 恒成立，令t x1，
lntt
ht ,t0,
ht
t2 ，利用导数求得函数 的单调性与最值，即可求解.
【详解】
f xalnx1x2 a2xa1,aR
（1）由题意，函数 ，
2x2 a4x2
fx
可得 f x 的定义域为1,，且 x1 ，
a4 a
gx2x2 a4x2 x 1
令 ，对称轴为 22 4，
a
当
1
4
1
，即
a0
时，
gx
在
1,
上单调递增，且
gx g1a0
，
f x 1,
所以 在 上单调递增；
a
1 1 gx0 a42 16a2 8a0
当 4 ，即a0时，令 ，得 恒成立，
4a a2 8a 4a a2 8a
x 1 x 1
可得 1 4 ， 2 4 ，
4a a2 8a 4a a2 8a
1, 1,
所以在
4
上
gx0
，即
f x
在
4
上单调递减；在
4a a2 8a 4a a2 8a
, ,
4 上 gx0 ，即 f x 在 4 上单调递增，
a0 f x 1,
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
4a a2 8a 4a a2 8a
1, ,
当 时，
f x
在
4
上递减，在
4
上递增．
a0
f x
（2）由（1）可知，若 存在极值，则a0，
lnx1x1
1
x1, ，不等式 f x0恒成立，等价于 x2 2x1 a 恒成立，
lntt 1t2lnt
ht
t0,
h't
令t x1， t2 ， ，则 t3 ，
2
t1t2lnt 't1 0 t1t2lnt 0,
令 ，则 t ，所以 在 上递减，
10 t0,1 φt0 ht 0,1
因为 ，所以当 时， ， 在 上单调递增；
t1, t0 ht 1,
当 时， ， 在 上单调递减，
1
1
hth11
所以 ，即 a ，解得1a0.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函
数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
f xlnx ax11
53．已知函数 ，a0.
f x
（1）讨论 的单调性；ln1 ln2 lnn
2 2
nN*
（2）证明：3 3 4 4 n2 n2 .
1
,
【答案】（1）在a 上单调递减；（2）证明见解析.
【分析】
2
ax11 1
（1）求得 f 'x
2x ax1
0，即可得到
f x
在
a
,
上单调递减；
a2 f(x)lnx 2x11 x1 lnx 2x11
（2）当 时，得到 ，根据（1）得到当 时， .
lnn 2lnn( n2 n1) lnn lnn
取x1 1 n nn ，化简得到n2 n2 n2 2 n1 n2 ，
进而证得不等式成立.
【详解】
f xlnx ax11
（1）由题意，函数 ，
2
ax11
1 a
则 f 'x ≤0，
x 2 ax1 2x ax1
1
,
故 f x 在 a 上单调递减.
a2 f(x)lnx 2x11
（2）当 时，可得 ，
1
,
由（1）知 f x 在 2 上单调递减，
f 10 x1 lnx 2x11
注意到 ，则当 时，恒有 ，
1 1 2
x1 nn ln 1 1 1
取 ，可得 ，
n n n 1
ln 1
n 1 1
即 ，
n2 n n2
lnn 2lnn( n2 n1) lnn lnn
2
又由n2 n2 n2 n1 n2 ，
ln1 ln2 lnn
因此3 3 4 4 n2 n2
1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1
1 2 n1 lnn
2
3 4 n1 n2
1 1 1 1 1 1 lnn
2
1 3 2 4 n1 n1 n2
2 1 1 lnn
21
.
2 n n1 n2 2 2
【点睛】
利用导数证明不等式问题：
f x gx(f x gx) f xgx0
（1）直接构造法：证明不等式 转化为证明
(f xgx0) hx f xgx
，进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
