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专题 07 带电粒子在复合场中的运动
【要点提炼】
1.研究对象的重力能否忽略问题
(1)研究对象为液滴、小球等物体时，除非题目明确说明或暗示重力忽略不计，否则一般
不能忽略重力。
(2)研究对象为质子、电子、α粒子等微观粒子时，除非有明确说明或暗示要考虑重力，
否则一般不考虑重力。
2．组合场问题是指电场、磁场、重力场不重叠，研究对象在多种场中依次运动的问题，
本质属于多过程问题，解题时注意不同过程之间的联系，转折点速度的大小和方向是前后两
段过程的联系，此速度是前一过程的末速度，也是后一过程的初速度。
3．叠加场是指电场、磁场、重力场中其中的两个或三个重叠的场区，研究对象在叠加
场中会受到多种场力，分析受力时不要漏掉，处理问题所用的规律仍然是解决力学问题的三
大观点，注意洛伦兹力和研究对象的速度相互影响。
4．复合场问题经常同现代科技仪器联系。要熟练掌握常用仪器的原理、规律，比如速
度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件、质谱仪、回旋加速器等。
5．对带电粒子在交变电磁场中的运动问题，题目往往给出电场或磁场随时间的变化规
律图象。在这类问题中，电场或磁场的变化及研究对象的运动往往呈周期性，逐段分析，找到周期性变化的规律是解决这类问题的关键。
【高考考向1 带电粒子在复合场中的运动】
命题角度1 带电粒子在组合场中的运动
例1. （2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy
平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴
和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂
直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧
1
还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其
中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电
场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）
的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W，普朗克常量
0
为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能E ，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v 的大小范围；
km 0
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小 ，区域Ⅱ的磁感应强度大小 ，求被探测到的电子
刚从板M逸出时速度v 的大小及与x轴的夹角 ；
M
（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强
度E和区域Ⅱ的磁感应强度B，求E的最大值和B 的最大值。
2 2
【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）；
【详解】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能
（2）速度选择器
如图所示，几何关系
（3）由上述表达式可得
由而vsinθ等于光电子在板逸出时沿y轴的分速度，则有
0
即
联立可得B 的最大值
2
带电粒子在组合场中运动的解题思路
(1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等。
(2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况。
(3)画轨迹：正确画出粒子的运动轨迹。
(4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对
不同的阶段选取不同的规律进行处理。
(5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区
域的末速度往往是下一个区域的初速度。
1. （2022·江苏省海头高级中学二模）如图所示，在用阴极射线管测量阴极射线的比荷 时，当给平行金
属板a、b加上U的电压后，沿a、b中线OO'以一定速度运动的电子，恰好能从a板的边缘射出并打到荧
光屏上。已知a、b的长度为L、两板间距为 L，极板与荧光屏的距离也为L，P点是OO'延长线与荧光
屏的交点。为了抵消阴极射线的偏转，在a、b间再加上垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，
射线恰好打到P点。将a、b间视为匀强电场，不考虑重力的影响。（1）求阴极射线的比荷 。
（2）若撤去电场只保留磁场，荧光屏上是否会出现亮点？若有说明位置，没有说明原因。
【答案】（1） ；（2）粒子将打在b板上，荧光屏上不会出现亮点，原因见解析
【详解】（1）粒子在电场中运动时，做类平抛运动，板间场强
根据牛顿第二定律
根据类平抛运动规律
加上磁场后，粒子做直线运动，洛伦兹力与电场平衡
qE=qvB
0
联立解得
（2）若撤去电场只保留磁场，根据洛伦兹力提供向心力
解得
假设电子射到b板上，到达b板的位置与b板右端的距离为x，则有
解得
假设成立，荧光屏上不会出现亮点。命题角度2 带电粒子在叠加场中的运动
例2. （2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束
和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中， 空间内充满匀强磁
场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向； ， 的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度
大小为 ，方向平行于 平面，与x轴正方向夹角为 ； ， 的空间内充满沿y轴负方向
的匀强电场。质量为m、带电量为 的离子甲，从 平面第三象限内距 轴为 的点 以一定速度出
射，速度方向与 轴正方向夹角为 ，在 平面内运动一段时间后，经坐标原点 沿 轴正方向进入磁
场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从 点出射速度为 时，求电场强度的大小 ；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿 轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，求第四次穿过 平面的
位置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以 的速度从 点进入磁场I时，质量为 、带电量为 的离子乙，也从 点沿 轴
正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差
（忽略离子间相互作用）。【答案】（1） ；（2） ；（3）（d，d， ）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从 点出射速度为 分解到沿 轴方向和 轴方向，离子受到的电场力沿 轴负方向，可知离子
沿 轴方向做匀速直线运动，沿 轴方向做匀减速直线运动，从 到 的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平
面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿z轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径
为
离子在磁场II中的轨迹半径为离子从 点第一次穿过到第四次穿过 平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过 平面的 坐标为
离子第四次穿过 平面的 坐标为
故离子第四次穿过 平面的位置坐标为（d，d， ）。
（4）设离子乙的速度为 ，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示从 点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
带电粒子在叠加场中运动的处理方法
(1)弄清叠加场的组成。
(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。
(3)画出粒子的运动轨迹。
①若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态，例如电场与磁场中满
足qE＝qvB时、重力场与磁场中满足mg＝qvB时、重力场与电场中满足mg＝qE时。
②若三场共存，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度
v垂直。③若三场共存，粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，qvB＝m。
④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动量定理、动能定
理或能量守恒定律求。
2. （2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）质谱仪是利用电场和磁场分析带电粒子性质的仪器，某同学设计
的一种质谱仪结构如图所示。一对平行金属板的板间距为 ，板间电压为 ，上极板带正电，右端紧挨
着上板垂直放置一足够大的荧光屏 。两平行板间区域为Ⅰ， 区域为Ⅱ， 。两区域均分布
有垂直纸面向里，磁感应强度为 的匀强磁场。以下问题中均不考虑带电粒子的重力和带电粒子之间的
相互作用。
（1）某带电粒子沿两板间中线 射入后沿直线运动进入区域Ⅱ，恰好垂直 边界射出，判断带电粒
子的电性，求出粒子的比荷以及粒子在区域Ⅱ中的运动时间；
（2）仅将（1）问中的粒子电性改变，而且将大量这样的粒子从两极板左端口从上到下均匀排列，沿平
行极板方向源源不断地射入板间。求某时刻击中荧光屏的粒子个数与它们射入极板间时射入总数的比值；
（3）在（2）问中若屏上某点接收到粒子流形成的电流为Ⅰ，假设粒子击中屏后速度变为零，求粒子对
屏的平均撞击力大小。
【答案】（1）负电， ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）带电粒子恰好垂直PQ边界射出，根据左手定则可知粒子带负电，粒子在区域Ⅰ中做直线
运动，则有解得
设粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹半径为 ，如图所示
由几何关系得
根据牛顿第二定律可得
联立解得粒子的比荷为
又粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动的周期为
已知 =53°，可得粒子在区域Ⅱ中的运动时间
解得
（2）粒子电性改变，在区域Ⅰ中做依然做直线运动。设从Q 点射入区域Ⅱ的粒子在区域Ⅱ中运动的轨迹
1
恰好与边界PQ相切，如图所示
由题意可知，粒子的运动轨迹半径仍为R，则在MQ 之间射入区域Ⅱ的粒子均可以击中荧光屏，设轨迹
1
圆的圆心为Q，由几何关系可得
2击中荧光屏的粒子个数与它们射入极板间时射入总数的比
联立各式得
（3）设一段时间 内击中荧光屏上某点的粒子个数为 ，根据动量定理有
根据电流定义式，得
联立解得
由牛顿第三定律知，粒子对屏的平均撞击力大小为
命题角度3 带电粒子在交变电磁场中的运动
例3. （2022·山东青岛·二模）如图甲，三维坐标系中 平面的左侧虚线区域内存在一未知电场， 平
面的右侧存在平行 轴方向周期性变化的磁场 和沿 轴正方向竖直向上的匀强电场，电场强度
。一质量 、电荷量 的带正电液滴，从 平面内的 点沿 轴方向以
的初速度进入未知电场区域，经过 到达原点 第1次经过 轴，此时速度大小 ，
方向在 平面内与 轴正向成 角斜向下。把液滴到达原点 的时刻记为 ，此时磁场沿 轴负方
向，磁场 随时间变化的关系如图乙所示，其中 、 ，重力加速度 。
（1）求液滴从 点到原点 的过程中，受到的电场力的冲量大小；
（2）求液滴从第1次到第4次经过 轴的时间间隔；（3）在 时刻撤去电场 和磁场 ，同时在整个空间区域加上竖直向上的匀强磁场，磁感应强度
，求液滴继续运动过程中达到最大高度时的位置坐标。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）液滴从 点到原点 的过程中，根据动量定理
水平方向：
竖直方向：
，
解得：
电场的冲量大小为
（2）液滴进入 平面的右侧后
相当于只受磁场力，根据向心力公式：
其中 ，解得：且
同理
其中 ，解得
且
则
（3）在 时，液滴的速度在 平面内，与 轴夹角 。 后螺旋上升，
上升时间为：
高度
圆周运动的半径
半径为
周期为
所以上升过程相当于，
因此液滴在最高点的坐标为
交变电磁场问题的处理思路
交变电磁场具有周期性，画好研究对象运动的轨迹图，按时间顺序结合图象将转折点信
息在图上标注，对一个周期内的不同过程选择各自所用的规律分析解决，进而解决问题。
3. （2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源
相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直 平面向外。电场强度和磁感应强
度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为 、初
速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1） 时刻释放的粒子，在 时刻的位置坐标；
（2）在 时间内，静电力对 时刻释放的粒子所做的功；
（3）在 点放置一粒接收器，在 时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间
被捕获。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）在 时间内，电场强度为 ，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在 时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在 时间内，根据粒子在磁场运动的周期 可知粒子偏转 ，速度反向，根据
可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图所以粒子在 时刻粒子的位置坐标为 ，即 ；
（2）在 时间内，电场强度为 ，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得 时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在 时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为 ，在 时间内，电场强度为 ，竖直方向
解得粒子在 时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离粒子运动的轨迹如图
在 时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达 点，则释放的位置一定在 时间内，粒子加速
度时间为 ，在竖直方向上
在 时间内粒子在水平方向运动的距离为
在 时间内，在竖直方向在 时间内，粒子在水平方向运动的距离为
接收器的位置为 ，根据距离的关系可知
解得
此时粒子已经到达 点上方，粒子竖直方向减速至 用时 ，则
竖直方向需要满足
解得 在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻 ；
若粒子经过一个半圆到达 点，则粒子在 时间内释放不可能，如果在 时间内释放，
经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达 点，所以考虑在 时间内释放，假
设粒子加速的时间为 ，在竖直方向上
之后粒子在 时间内转动半轴，横向移动距离直接到达 点的横坐标，即解得
接下来在 过程中粒子在竖直方向减速为 的过程中
粒子要在 点被吸收，需要满足
代入验证可知 在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为 。
【高考考向2 带电粒子在复合场中运动的应用实例】
命题角度1 复合场在生产、生活、科技中的应用
例4.（2022·湖南·雅礼中学二模）武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一
种污水流量计，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正负离子，从直径为d的圆柱形容
器右侧流入，左侧流出，流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感
应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．只需要测量磁感应强度B、直径d及MN两点电压U，就能够推算污水的流量
B．只需要测量磁感应强度B及MN两点电压U，就能够推算污水的流速
C．当磁感应强度B增大时，污水流速将增大
D．当污水中离子浓度升高时，MN两点电压将增大【答案】A
【详解】AB．废液流速稳定后，粒子受力平衡，有
解得废液的流速
废液流量
解得
只需要测量磁感应强度B、直径d及MN两点电压U，就能够推算污水的流量，而要测量出废液的流速，
除需要测量磁感应强度B及MN两点电压U外，还需要测量出圆柱形容器直径d，故A正确，B错误；
C．电磁流量计可利用
的表达式来测出污水的流速，但是不能通过改变磁感应强度B来改变污水的流速，故C错误；
D．由
可知
可知MN两点电压与磁感应强度B、流量Q、直径d有关，而与离子的浓度无关，故D错误；
故选A。
1．组合场在生产、生活、科技中应用实例的分析思路
(1)建立组合场模型。如例4，组合场由M、N之间的电场和虚线框中的匀强磁场组成。
(2)建立运动模型。如例4，电子在电场中做加速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动。(3)选择解题方法。如例4，电子在电场中的运动运用动能定理，在磁场中的运动运用牛
顿第二定律和向心力公式。
2．有关回旋加速器的两个核心观点
(1)带电粒子在缝隙的电场中一直加速，故交变电流的周期应与粒子在磁场中做圆周运动
的周期相等。
(2)带电粒子在磁场中偏转，半径不断增大，周期不变，最大动能与D形盒的半径有关。
4-1. （2022·江苏省昆山中学模拟预测）自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。
如图甲所示，一块磁铁安装在前轮上，轮子每转一圈，磁铁就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉
冲电压。如图乙所示，电源输出电压为U，当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差U
1 2
（前表面的电势低于后表面的电势）。下列说法中错误的是（ ）
A．图乙中霍尔元件的载流子带负电
B．已知自行车车轮的半径，再根据单位时间内的脉冲数，即获得车速大小
C．若传感器的电源输出电压U 变大，则霍尔电势差U 变大
1 2
D．若自行车的车速越大，则霍尔电势差U 越大
2
【答案】D
【详解】A．由题意可知，前表面的电势低于后表面的电势，结合左手定则可知，霍尔元件的电流I是由
负电荷定向运动形成的，故A正确，不符合题意；
B．根据单位时间内的脉冲数，可求得车轮转动周期，从而求得车轮的角速度，最后由线速度公式 ，
结合车轮半径，即可求解车轮的速度大小，故B正确，不符合题意；D．根据题意，由平衡条件有
可得
由电流的微观定义式 ，n是单位体积内的电子数，e是单个导电粒子所带的电量，S是导体的横截
面积，v是导电粒子运动的速度，整理得
联立解得
可知用霍尔元件可以测量地磁场的磁感应强度，保持电流不变，霍尔电压U2与车速大小无关，故D错误，
符合题意；
C．由公式
若传感器的电源输出电压U 变大，那么电流I变大，则霍尔电势差U 将变大，故C正确，不符合题意。
1 2
故选D。
4-2. （2022·山东济宁·一模）如图所示为磁流体发电机的示意图。等离子体高速射入磁场中，由于磁场对
等离子体产生力的作用，A、B两板间就会产生电压。若平行板A、B的正对面积为S，板间距离为d，
A、B间的磁感应强度为B，等离子体的流速为v，等效电阻率为 ，与极板相连的外电阻为R，下列说法
正确的是（ ）
A．该发电机A板为负极，B板为正极
B．外电阻两端的电压大小为
C．稳定时电流表的示数为
D．仅增加外电阻的阻值，该发电机的输出功率一定增大【答案】AC
【详解】A．根据左手定则，正离子所受洛伦兹力向下，打在B板上，负离子所受洛伦兹力向上，打在A
板上，所以该发电机A板为负极， B板为正极，故A正确；
B．根据平衡条件得
解得发电机电动势
根据电阻定律得发电机内阻
外电阻两端的电压
故B错误；
C．根据闭合电路欧姆定律，稳定时电流表的示数
故C正确；
D．当外电路的电阻等于电源内阻时，电源的输出功率最大，由于外电阻的阻值R和电源内阻r的大小关
系不确定，所以仅增加外电阻的阻值，发电机的输出功率不一定增大，故D错误。
故选AC。
4-3. （2022·广东·模拟预测）如图甲是霍尔效应的模型图，导体的宽度、长度、厚度分别为 、 、 ，
磁感应强度为 的匀强磁场垂直导体的前后表面向里，与磁场垂直向右的电流 是正电荷的运动形成的，
已知霍尔电压为 ， 与通过导体的电流 成正比，与沿着磁场方向导体的厚度 成反比，
是常数；如图乙是电磁流量计的模型图，长方形管道的宽度、长度、厚度分别为 、 、 ，磁感应强度
为 的匀强磁场垂直管道的上表面向下，带负离子的液体向右运动的速度 与磁场垂直。液体的流量指单
位时间内流过管道横截面的液体体积，则下列说法正确的是（ ）A．对甲图，导体下端面的电势低于上端面的电势
B．对甲图，霍尔电压与c成正比
C．对乙图，导体后端面与前端面的电势差为Bav
D．对乙图，液体的流量为abv
【答案】AC
【详解】A．由左手定则可知，正电荷向右运动时受到的洛伦兹力方向向上，则受到电场力方向向下，所
以导体下端面的电势低于上端面的电势，故A正确；
B．由霍尔电压
可知，霍尔电压与c无关，与a成反比，故B错误；
C．负电荷在导体内运动，根据平衡条件有
又
由于是负电荷，受到的洛伦兹力从后端面指向前端面，则受到的电场力从前端面指向后端面，故导体后
端面与前端面的电势差为
故C正确；
D．由题意可得，液体的流量为
故D错误。
故选AC。
