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重难点 09 带电粒子在电场中的运动
这部分知识单独考查一个知识点的试题非常少，大多数情况都是同时涉及到几个知识点，
而且都是牛顿运动定律、电场强度、电势和电势能、电容器、动能定理的内容结合起来考
查，运动的形式有匀加速直线运动和变加速直线运动，和类平抛运动，考查时注重物理思
维与物理能力的考核。
例题1. 如图所示，实线表示电场线，虚线表示只受静电力作用的带电粒子的运动轨迹．粒子先经
过M点，再经过N点，以下说法正确的是( )
A．粒子在N点的加速度大于在M点的加速度
B．该带电粒子应该带负电
C．M点的电势低于N点的电势
D．粒子在M点的电势能小于在N点的电势能
答案 A
解析 电场线的疏密表示场强大小，由题图知粒子在M点的场强小于在N点的场强，在N点的加
速度大于在M点的加速度，故A正确；带电粒子的轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的静电力沿电
场线切线向下，则知带电粒子带正电，故B错误；沿电场线方向电势降低，故M点的电势高于N
点的电势，故C错误；静电力方向与速度方向的夹角为锐角，静电力做正功，电势能减小，即粒子
在M点的电势能大于在N点的电势能，故D错误．
例题2. 图甲是一对长度为L的平行金属板，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电
场方向与两板垂直．在t＝0时刻，一带电粒子沿板间的中线OO′垂直电场方向射入电场，2t 时刻
0
粒子刚好沿下极板右边缘射出电场．不计粒子重力．则( )
A．粒子带负电
B．粒子在平行板间一直做曲线运动
C．粒子射入电场时的速度大小为
D．若粒子射入电场时的速度减为一半，射出电场时的速度垂直于电场方向答案 C
解析 粒子向下偏转，可知粒子带正电，选项A错误；粒子在平行板间在0～t 时间内做曲线运动；
0
在t ～2t 时间内不受任何力，则做直线运动，选项B错误；粒子在水平方向一直做匀速运动，可知
0 0
射入电场时的速度大小为v＝，选项C正确；若粒子射入电场时的速度减为一半，由于粒子在电场
0
中受向下的静电力，有向下的加速度，射出电场时有沿电场方向的速度，则射出电场时的速度不可
能垂直于电场方向，选项D错误．
1．带电粒子在电场中的运动
2．解题途径的选择
(1)求解带电粒子在匀强电场中的运动时，运动和力、功能关系两个途径都适用，
选择依据是题给条件，当不涉及时间时选择功能关系，否则必须选择运动和力的关系。
(2)带电粒子在非匀强电场中运动时，加速度不断变化，只能选择功能关系求解。
3．电场中类平抛的两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是
相同的．
证明：在加速电场中有qU＝mv2
0 0
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝
得：y＝，tan θ＝
y、θ均与m、q无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点 O为粒子水平位移的中点，
即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
4．功能关系处理电场中类平抛
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qU＝mv2－mv2，其中U＝y，指初、
y 0 y
末位置间的电势差．（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．如图所示，虚线a、b、c代表某一电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线
为一带正电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，其
中R在等势面b上．下列判断正确的是( )
A．三个等势面中，a的电势最低
B．带电粒子在P点的电势能比在Q点的小
C．带电粒子在P点的动能与电势能之和比在Q点的小
D．带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b
答案 D
解析 带电粒子所受静电力指向轨迹弯曲的内侧，电场线与等势面垂直，且由于带电粒子带正电，
因此电场线指向下方，根据沿电场线电势降低，可知a等势线的电势最高，c等势线的电势最低，
故A错误；根据带电粒子受力情况可知，若粒子从 P向Q运动，静电力做正功，动能增大，电势
能减小，故带电粒子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大，故B错误；只有静电力做功，
所以带电粒子在P点的动能与电势能之和与在Q点的相等，故C错误；电场的方向总是与等势面垂
直，所以R点的电场线的方向与该处的等势面垂直，而带正电粒子受到的静电力的方向与电场线的
方向相同，加速度的方向又与受力的方向相同，所以带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面
b，故D正确．
2．如图所示，矩形区域ABCD内存在竖直向下的匀强电场，两个带正电的粒子 a和b以相同的水
平速度射入电场，粒子a由顶点A射入，从BC的中点P射出，粒子b由AB的中点O射入，从顶
点C射出．若不计重力，则a和b的比荷(带电荷量与质量的比值)之比是( )
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶8 D．8∶1
答案 D
解析 粒子在水平方向上做匀速直线运动，a、b两粒子的水平位移大小之比为1∶2，根据x＝vt，
0
知时间之比为1∶2.粒子在竖直方向上做匀加速直线运动，根据y＝at2，y之比为2∶1，则a、b的加速度之比为8∶1.根据牛顿第二定律知，加速度a＝，加速度大小之比等于比荷之比，则两电荷的
比荷之比为8∶1，故D正确，A、B、C错误．
3．如图所示，一电荷量为q的带电粒子以一定的初速度由P点射入匀强电场，入射方向与电场线
垂直．粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30°角．已知匀强电场的宽度为d，方向竖
直向上，P、Q两点间的电势差为U(U>0)，不计粒子重力，P点的电势为零．则下列说法正确的是(
)
A．粒子带负电
B．带电粒子在Q点的电势能为qU
C．P、Q两点间的竖直距离为
D．此匀强电场的电场强度为
答案 D
解析 由题图可知，带电粒子的轨迹向上弯曲，则粒子受到的静电力方向竖直向上，与电场方向相
同，所以该粒子带正电，故A错误；粒子从P点运动到Q点，静电力做正功，为W＝qU，则粒子
的电势能减少了qU，P点的电势为零，可知带电粒子在Q点的电势能为－qU，故B错误；Q点速
度的反向延长线过水平位移的中点，则y＝＝d，电场强度大小为E＝＝，故D正确，C错误．
4．如图所示，平行板电容器上极板带正电，从上极板的端点 A点释放一个带电荷量为＋Q(Q＞0)
的粒子，粒子重力不计，以水平初速度v 向右射出，当它的水平速度与竖直速度的大小之比为
0
1∶2时，恰好从下端点B射出，则d与L之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶3
答案 C
解析 设粒子从A到B的时间为t，粒子在B点时，竖直方向的分速度为v，由类平抛运动的规律
y
可得L＝vt，d＝t，又v∶v＝1∶2，可得d∶L＝1∶1，选项C正确．
0 0 y
二、多选题
5．(多选)图中虚线表示“∧”形带电导体下方电场的电场线或等势面分布示意图，其中 c、d是同
一条虚线上的两点，b是另一条虚线上的一点，a是导体尖角下方的一点．下列说法正确的是( )A．虚线表示等势面
B．b点的电场强度小于c点的电场强度
C．电子在a点的电势能大于在c点的电势能
D．电荷从c点运动到d点，静电力做正功
答案 AB
解析 电场线起于正电荷(或无穷远)，终止于无穷远(或负电荷)，由题图可知，图中的虚线不是起
于导体，可知虚线是等势面，故A正确；等势线越密的地方，电场强度越大，可知 b点的电场强度
小于c点的电场强度，故B正确；等势面的电势高低不能确定，则不能确定电子在 a点的电势能与
在c点的电势能的关系，故C错误；因为c、d在同一等势面上，则电荷从c运动到d点，静电力不
做功，故D错误．
6．如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面与竖直平面重合．一光滑细
杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为 m＝10 g的带正电的小球，小球所带电
荷量q＝5.0×10－4 C．小球从C点由静止释放，其沿细杆由C经B向A运动的v－t图像如图乙所示
小球运动到B点时，速度图像的切线斜率最大(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是( )
A．由C到A的过程中，小球的电势能先减小后变大
B．由C到A电势逐渐降低
C．C、B两点间的电势差 U ＝0.9 V
CB
D．在O点右侧杆上，B点场强最大，场强大小为E＝1.2 V/m
答案 BCD
解析 从C到A小球的动能一直增大，说明静电力一直做正功，故电势能一直减小，电势一直减小，
故A错误，B正确；根据动能定理知qU ＝mv 2－0，解得U ＝0.9 V，故C正确；根据对称性知O
CB B CB
点电场强度为0，由题图乙可知，小球在B点的加速度最大，故所受的静电力最大，加速度由静电
力产生，故B点的电场强度最大，小球的加速度a＝＝ m/s2＝0.06 m/s2，根据牛顿第二定律得qE＝
ma，联立解得E＝1.2 V/m，故D正确．
三、解答题
7．在直角坐标系中，三个边长都为l的正方形如图所示排列，第一象限正方形区域ABOC中有水
平向左的匀强电场，电场强度大小为E ，第二象限正方形COED的对角线CE左侧CED区域内有
0
竖直向下的匀强电场，三角形OEC区域内无电场，正方形DENM区域内无电场。(1)现有一带电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)从AB边上的A点由静止释放，恰好
能通过E点，求CED区域内的匀强电场的电场强度E 的大小；
1
(2)保持(1)问中电场强度不变，若在正方形区域ABOC内的某些点由静止释放与上述相同的带
电粒子，要使所有的粒子都经过E点，则释放的坐标值x、y间应满足什么关系？
(3)若CDE区域内的电场强度大小变为E ＝E ，方向不变，其他条件都不变，则在正方形区域
2 0
ABOC内的某些点由静止释放与上述相同的带电粒子，要使所有粒子都经过N点，则释放点坐标值
x、y间又应满足什么关系？
[答案] (1)4E (2)y＝x (3)y＝3x－2l
0
[解析] (1)设粒子出第一象限时速度为v，由动能定理得
qEl＝mv2
0
粒子在CED区域内做类平抛运动，由类平抛运动的规律得l＝vt
l＝·t2
计算可得E＝4E。
1 0
(2)设粒子出第一象限时速度为v，由动能定理得
1
qEx＝mv
0
经过分析知，要过E点，粒子在第二象限中做类平抛运动时竖直位移与水平位移相等，均为y
y＝vt
11
y＝·t
计算可得y＝x。
(3)如图所示为其中的一条轨迹，设粒子出第一象限时速度为v，由动能定理得qEx＝mv
2 0
由图可知，在CED区域内带电粒子的水平位移为y，设竖直位移为y′，则
y＝vt
22
y′＝·t
由类平抛运动中的中点规律可知
＝
计算可得y＝3x－2l。8．如图甲所示，两水平平行金属板A、B间距为d，在两板右侧装有荧光屏MN(绝缘)，O为其中
点．在两板A、B上加上如图乙所示的电压，电压最大值为U.现有一束带正电的离子(比荷为k)，
0
从两板左侧中点以水平初速度v 连续不断地射入两板间的电场中，所有离子均能打到荧光屏MN上，
0
已知金属板长L＝2vt ，忽略离子间相互作用和荧光屏MN的影响，则在荧光屏上出现亮线的长度
00
为多少？
答案
解析 离子在两板间运动，沿水平方向做匀速运动，运动时间t＝＝2t ，所有离子运动时间都等于
0
电场变化的周期，作出各个时刻射入电场的离子在板间沿静电力方向上运动的 v－t图像，如图所
y
示，由图像可知，离子离开两板间时沿电场方向的速度v 均相同，v－t图像中图线与t轴围成的面
y y
积表示沿电场方向的位移，由图像可知0时刻进入电场的离子沿电场方向的位移最大，t 时刻进入
0
电场的离子沿电场方向的位移最小．电压为U 时，离子在电场中运动的加速度a＝＝，离子离开两
0
板间时沿电场方向的速度为v＝at ＝，由图像面积可得，离子沿电场方向运动的最大位移y ＝(t
y 0 max 0
＋2t)at＝，离子沿电场方向运动的最小位移为y ＝t·at＝，屏上亮线的长度为Δy＝y －y ＝。
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