文档内容
考向 13 静电场中的能量
【重点知识点目录】
1. 电场强度的叠加与计算
2. 电势高低及电势能大小的比较
3. 电势差与电场强度的关系
4. 平行板电容器的动态分析
5. 带电粒子在电场中的直线运动
6. 带电粒子在匀强电场中的偏转
1．（2022•浙江）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，
板长为L（不考虑边界效应）。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为 v
0
的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为 v ；平行M板向下的粒
0
子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度为a＝
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学科网（北京）股份有限公司D．粒子从N板下端射出的时t＝
【答案】C。
【解析】解：A、因为不知道两粒子的电性，故无法确定M板和N板的电势高低，故A
错误；
B、根据题意可知垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做
正功，电势能减小；则平行M板向下的粒子达到N板时电场力也做正功，电势能也减
小，故B错误；
CD。设两板间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做
类平抛运动，有
对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中的加
速度也相同，有
联立解得： ； ，故C正确，D错误；
（多选）2．（2022•甲卷）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷
的小球自电场中P点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和
电势能的零点均取在P点。则射出后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD。
【解析】解：A、小球只受重力和电场力，其重力势能、电势能与动能之和不变，当小
球的动能最小时，其电势能与重力势能之和最大，故A错误；
2
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学科网（北京）股份有限公司B、当小球沿水平方向的速度减为零时，小球的电势能最大，由于小球所受的重力和电
场力的大小相等，所以此时小球的速度方向向下，大小等于抛出时小球的速度大小，所
以此时的动能等于初始动能，故B正确；
C、合外力先对小球做负功，再做正功，合外力做正功的过程中，小球的动能一直增大，
所以小球速度动能没有最大值，故C错误；
D、从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，小球的动能等于初始动能，此过程中动
能变化为零，则合外力做功为零，所以重力做的功等于小球电势能的增加量，故D正确。
3．（2021•浙江）某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“＜”形导体右侧的电场线
和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角
右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（ ）
A．实线表示电场线
B．离d点最近的导体表面电荷密度最大
C．“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零
【答案】D。
【解析】解：A、电场线起于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），由图
可知，图中的实线不是起于导体，可知实线是等势线，故A错误；
B、等势线越密的地方，电场强度强度越强，d点场强较弱，可知离d点最近的导体表
面电荷密度最小，故B错误；
C、电场强度方向与等势线垂直，由图可知，“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向
不一定相同，故C错误；
D、a、b两点在同一条等势线上，ac两点的电势差和bc两点的电势差相等，电荷从a点
到c点再到b点电场力做功一定为零，故D正确。
（多选）4．（2021•天津）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，
3
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学科网（北京）股份有限公司相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某
等势面相切于P点。下列说法正确的是（ ）
A．两点电荷可能是异种点电荷
B．A点的电场强度比B点的大
C．A点的电势高于B点的电势
D．电子运动到P点时动能最小
【答案】CD。
【解析】解：A、根据等势面的分布可知，两点电荷带同种电荷，故A错误；
B、等差等势面的疏密程度表示场强的强弱，A点的等差等势面疏，B点的等差等势面
密，故A点的电场强度小，故B错误；
C、分析电子运动的轨迹可知，电场力指向轨迹的内侧，则电场力受到排斥力作用，故
点电荷为负电荷，离点电荷越远，电势越高，故A点的电势高，故C正确；
D、电子从M点运动到P点的过程中，电场力做负功，动能减小，电子从P点运动到N
点的过程中，电场力做正功，动能增大，故P点动能最小，故D正确。
7. 比较电势高低的方法
8. （1）沿电场线方向，电势越来越低．
9. （2）判断出 U 的正负，再由 U =φA-φB，比较 φA、φB的大小，若 U ＞0，则
AB AB AB
φA＞φB，若U ＜0，则φA＜φB．
AB
10.（3）取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负
电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低．
11.
12.2．等分法计算匀强电场中的电势
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学科网（北京）股份有限公司13.（1）在匀强电场中，沿不在同一等势面上的任意一个方向上，电势降落都是均匀
的，故在同一直线上相同距离的两点间的电势差相等．如果把某两点间的距离等分为 n
段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n倍．
14.（2）已知电场中几点的电势，如果要求某点的电势时，一般采用“等分法”在电场
中找与待求点电势相同的等势点，等分法也常用在画电场线的问题中．
15.（3）在匀强电场中，相互平行的相等长度的线段两端间的电势差相等，应用这一点
可求解电势．
3.U=Ed关系的应用：
公式U=Ed中d是沿场强方向的两点间的距离或两等势面间的距离，而U是这两点间的
电势差。这一定量关系只适用于匀强电场，变形后 E=U/d，用它可求匀强电场的场强，
也可定性分析非匀强电场。
4.带电粒子在电场中的运动
带电粒子在电场中的运动是一个综合电场力、电势能的力学问题，其研究方法与质点动
力学相同，同样遵循运动的合成与分解、牛顿运动定律、动能定理等力学规律．处理问
题的要点是注意区分不同的物理过程，弄清在不同的物理过程中物体的受力情况及运动
性质（平衡、加速或减速，是直线运动还是曲线运动），并选用相应的物理规律．在解
决问题时，主要可以从两条线索展开：
其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合
运动学公式确定带电粒子的速度位移等．这条线索通常适用于在恒力作用下做匀变速运
动的情况．
其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，
利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、位移等．这条线索不
但适用于匀强电场，也适用于非匀强电场．
另外，对于带电粒子的偏转问题，用运动的合成与分解及运动规律解决往往比较简
捷，但并不是绝对的，同解决力学中的问题一样，都可用不同的方法解决同一问题，应
根据具体情况，确定具体的解题方法．
4．运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路．
（1）确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．
（2）用决定式 分析平行板电容器电容的变化．
（3）用定义式C=Q/U
分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化．
（4）用E=U/d分析电容器极板间场强的变化．
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学科网（北京）股份有限公司一、电势差与电场强度的关系式
1．关系式：U=Ed或者E=U/d
2．适用条件：只有在匀强电场中才有这个关系。
3．注意：式中d是指沿电场方向两点间的距离。
4．方向关系：场强的方向就是电势降低最快的方向。由于电场线跟等势面垂直，只有沿电
场线方向，单位长度上的电势差才最大，也就是说电势降落最快的方向为电场强度的方向。
但电势降落的方向不一定是电场强度方向。
二、对公式U=Ed的理解
1．从变形公式E=U/d
可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向电势差越大，表明电势降落的越快，因此电
场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场
中电势降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。
2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离。
3．对于非匀强电场，用公式E=U/d
可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可以断定
，等差等势面越密的地方电场强度也越大。
现在举例来说明公式E=U/d
在非匀强电场中的应用。如图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且
，由电场线的疏密程度可以看出EA＜EB＜EC，所以AB间的平均场强比BC间的小，即
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学科网（北京）股份有限公司三、电场强度与电势差的比较
四、带电粒子在电场中的运动
五、1．带电粒子在电场中的加速
六、 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，带电粒子将做加（减）速运动．
七、有两种分析方法：
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
（1）研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场．
（2）处理方法：类似于平抛运动，应用运动分解的方法．
四、电容器与电容
1．电容器
（1）组成：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成。
（2）带电量：一个极板所带电量的绝对值。
（3）电容器的充、放电
充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场
能。
放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。
2．电容
（1）定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值。
（2）定义式：C=
（3）物理意义：表示电容器储存电荷的本领大小的物理量。
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学科网（北京）股份有限公司（4）单位：法拉（F）
（5）说明：电容是反映了电容器储存电荷能力的物理量，其数值由电容器的构造决定，而
与电容器带不带电或带多少电无关。就像水容器一样，它的容量大小与水的深度无关。电
容决定式： ．其中，ε是一个常数，S为电容极板的正对面积，d为电容极板的
距离，k则是静电力常量。 而常见的平行板电容器，电容为 ．（ε为极板间介质的
介电常数，S为极板面积，d为极板间的距离。）
易错题【01】
电势降低的方向并不是电场方向，应该是电势降低最快的方向才是电场强度的
方向。
易错题【02】
可以利用等分法作图求解电场强度，但是利用正交分解的办法使用起来更方便
直接。
易错题【03】
在重力场和电场形成的复合场中，注意寻找到等效最低点和等效最高点。
易错题【04】
带电粒子在极板之间的偏转问题，注意利用好类平抛运动的结论。
易错题【05】
容越大并不代表该电容器储存的电荷量越多。
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学科网（北京）股份有限公司5．（2022•南京模拟）如图所示的平面内，有静止的等量异种点电荷，M、N两点关于两
电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是（ ）
A．M点和N点的场强大小相同
B．M点和N点的场强方向相同
C．M点和N点的电势高低相同
D．电子在M点的电势能和在N点的电势能相同
【答案】A。
【解析】解：A.根据矢量叠加原理，M点和N点的场强大小相同，故A正确；
B.根据矢量叠加原理，M点和N点的场强方向不同，故B错误；
C.沿着电场线方向电势降低，M点电势比N点的电势高，故C错误；
D.电子在M点的电势能比在N点的电势能小，故D错误。
6．（2022春•十堰期末）如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异种电
荷。一带电粒子沿水平方向射入板间，仅受电场力作用下，其运动轨迹如图中虚线所示，
下列说法正确的是（ ）
A．若粒子带正电，则A板带负电荷
B．若粒子带负电，则金属板间的电场方向竖直向下
C．粒子从M点运动到N点，其电势能一定增加
D．粒子从M点运动到N点，其动能一定增加
【答案】D。
【解析】解：根据运动轨迹结合极板间的场强特点可知，粒子受到的电场力竖直向下，
且运动过程中速度方向和加速度方向夹角为锐角。
A、若粒子带正电，则A板带正电荷，故A错误；
B、若粒子带负电，则金属板间的电场方向竖直向上，故B错误；
CD、粒子从M点运动到N点的过程中，电场力做正功，动能增大，电势能减小，故 C
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学科网（北京）股份有限公司错误，D正确；
7．（2022春•如皋市期中）如图所示的电路中，一带电油滴静止在电容器中的 P点.现仅将
平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离，则（ ）
A．油滴带正电 B．P点的电势降低
C．静电计指针张角变大 D．电容器的电容值变大
【答案】B。
【解析】解：A、带电油滴受重力和电场力平衡，重力方向竖直向下，则电场力方向竖
直向上，上极板与电源的正极相连，则上极板带正电，电场强度的方向竖直向下，可知
带电油滴带负电，故A错误；
B、将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离，由于电容器两板间电压不变，
故静电计指针张角不变，根据 得知板间场强减小，而P点与下极板间的距离不变，
则由公式U＝Ed分析可知，P点与下极板间电势差将减小，而P点的电势高于下极板的
电势，则知P点的电势将降低。故B正确，C错误；
D、将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离，d增大，由 可知，电
容C减小。故D错误。
8．（2022春•新市区校级期末）空间中一静电场的某物理量在x轴上分布情况如图所示，
图像左右对称（规定x轴正方为电场正方向），其中OA＝OB，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．若为E﹣x图像，则 ＜ ，虚线与图像及x轴所围面积表示AB的电势差
A B
B．若为E﹣x图像，则将φ一电φ子由A沿x轴移向B，电场力先做负功再做正功
C．若为 ﹣x图像，则E 、E 相同
A B
D．若为φ﹣x图像，在A自由释放一质子，质子将沿x轴负方向做加速度减小的加速
运动 φ
【答案】A。
【解析】解：A、若为E﹣x图线，由图像可知，电场强度方向为负方向，所以 ＜
A
，虚线与图像及x轴所围面积为E•x，表示AB的电势差，故A正确； φ
B
φB、若为E﹣x图像，由图像可知，电场强度方向为负方向，所以将一电子由A沿x轴移
向B，电场力做正功，故B错误；
C、若为 ﹣x图像，沿x轴方向电势先减小后增加，由电场方向与电势的关系可知，
A、B两点φ电场方向相反，故C错误；
D、若为 ﹣x图像，在A点自由释放一质子，质子将沿x轴正方向先做加速度减小的
加速运动，φ在做加速度增大的减速运动，故D错误；
9．（2022春•赣州期末）某电场的电场线如图中实线所示，O、Q为同一条电场线上的两
点，M、N为另一条电场线上的两点，某带电粒子从 O点以一垂直该处电场线方向的初
速度射入该电场区域，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的
是（ ）
A．该粒子带正电
B．O和Q处的电场强度大小相等
C．该粒子经过P点时的速率大于在O点的初速率
D．若在M点由静止释放一带正电粒子，仅在电场力作用下，该粒子将沿着MN所在电
场线运动
【答案】C。
【解析】解：A、根据粒子的受力向左，电场线向右可知，该粒子带负电，故A错误；
B、根据电场线越密集，场强越大，可知Q点电场强度大于O点电场强度，故B错误；
C、电场力对该粒子均做正功，则P点的速率大于在O点的速率，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司D、由于M、O、N所在电场线为曲线，电场线不是粒子的运动轨迹，所以在 O点由静
止释放带电粒子，不可能沿电场线运动到M点，故D错误。
10．（2022•黄冈三模）如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是正方体的八个顶点。则
下列说法不正确的是（ ）
A．只在F、D两点放置等量同种点电荷，则A、G两点电势相等
B．只在B、D两点放置等量异种点电荷，则E、C两点电势相等
C．只在A、B两点放置等量异种点电荷，则H、G两点电场强度相同
D．在八个顶点均放置电荷量为+q的点电荷，则立方体每个面中心的电场强度大小相等
【答案】C。
【解析】解：A．只在F、D两点放置等量同种点电荷，根据几何关系知FG＝AD，FA
＝DG，则F、D处点电荷在A、G两点产生电势相等，叠加起来的电势相等，故A正确；
B．只在B、D两点放置等量异种点电荷，根据几何关系可知，平面ACGE垂直于BD，
则该平面为等势面，则E、C两点电势相等，且为0，故B正确；
C．只在A、B两点放置等量异种点电荷，根据对称性可知，H、G两点电场强度大小相
等，但方向不同，故C错误；
D．在八个顶点均放置电荷量为+q的点电荷，根据对称性可知，正方体上每个面上4个
点电荷在面中心的场强之和为0，后面4个点电荷在该面中心形成的场强垂直该平面，
立方体每个面中心的电场强度大小相等，故D正确。
本题选不正确的。
11．（2022春•平江县期末）带电的平行板电容器与静电计的连接如图所示，要使静电计
的指针偏角变小，不可采用的方法有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．减小两极板间的距离 B．在两板间插入电介质
C．将极板B向上适当移动 D．将极板B向右适当移动
【答案】C。
【解析】解：静电计的电荷量保持不变，要让偏角变小，即电势差变小，根据公式 Q＝
CU可知，则电容增大，根据电容的决定式 可知，减小两板间的距离，在两板
间插入电介质和将B板向右适当移动都可以让电容增大，而将B板向上移动会让电容减
小，故C错误。ABD正确；
本题选错误的。
12．（2022•山东模拟）x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于x ＝0、x ＝4d
A B
处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。
选取x轴正方向为场强的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是（ ）
A．点电荷A、B分别带正电和负电
B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1：3
C．x＝d处电势最高且为零
D．将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小
【答案】D。
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学科网（北京）股份有限公司【解析】解：A、选取x轴正方向为场强的正方向，根据E﹣x图像，在0＜x＜d区域，
场强方向为负，在d＜x＜4d区域，场强方向为正，在x＞4d区域，场强方向为负，可
知两点电荷均带负电，故A错误；
B、在x＝d处，场强为零，则有 ＝ ，得q ＝9q ，故B错误；
B A
C、沿电场线方向电势降低，故在0＜x＜4d区域x＝d处电势最高，但比无限远处电势
低，即电势小于零，故C错误；
D、电子从5d处无初速度释放，将在电场力作用下一直向无限远处运动，电场力做正功，
其电势能一直减小，故D正确。
13．（2022•南通四模）如图所示，有一个均匀带正电的绝缘球体，球心为 O ，球体内有
1
一个球形空腔，球心为O ，M、N为两球心连线上两点，P、Q连线过球心O 且与M、
2 1
N连线垂直，且M、N、P、Q四点到O 距离相等。则（ ）
1
A．P、Q两点电场强度相同 B．P点电场强度比N点的小
C．M点电势比N点的低 D．M点电势比P点的高
【答案】D。
【解析】解：A、根据对称性可知，P、Q两点电场强度大小相等方向不同，故A错误；
B、将球形空腔看做填满了等量正、负电荷，且电荷量密度与球心实心部分相同。则
M、N、P、Q四点的电场强度和电势均可视为完整的均匀带电球体O 与均匀带负电球
1
体O 产生的电场强度和电势的叠加。由于 P、N到O 的距离相同，所以完整的均匀带
2 1
正电球体O 在P、N产生的电场强度大小相等，方向背离圆心O ，而完整的带负电球
1 1
体O 在N点产生的电场强度一定大于在P点产生的电场强度，且两者方向相反，且夹
2
角小于180°，根据电场强度的叠加法则可知P点电场强度比N点的大，故B错误；
CD、规定无穷远处为电势零点，由于 M、N到O 的距离相等，所以完整的 均匀带正
1
电球体O 在M、N产生的电势相同；由于M到O 的距离大于N到O 的距离，所以完
1 2 2
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学科网（北京）股份有限公司整的均匀带负电球体O 在M产生的电势高于在N产生的电势，根据电势的叠加可知M
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点电势比N点的高，同理分析可知M点电势比P点的高，故C错误，D正确；
14．（2022春•平遥县校级期末）如图所示，真空中有两个固定的带正、负电的点电荷，O
点的电势为0，过0点作两点电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与两点电荷的连线交
于a、c两点，与连线的垂线分别交于b、d两点。下列说法正确的是（ ）
A．O点的电场强度为0
B．b点的电场强度大于d点的电场强度
C．负电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
D．负电荷在a点的电势能小于在b点的电势能
【答案】C。
【解析】解：AB、根据电场的叠加可知O点的电场强度不为0，根据对称性可知bd两
点电场强度大小相等，故AB错误；
C、沿电场线方向电势降低，所以c点电势大于d点电势，负电荷在电势高的位置电势
能低，所以负电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，故C正确；
D、根据等势线分布情况可知a点电势小于b点电势，负电荷在电势高的位置电势能低，
所以负电荷在b点的电势能小于在a点的电势能，故D错误。
15．（2022春•凯里市校级期中）如图所示，在水平向左的匀强电场中，固定有倾角为 ＝
30°的光滑绝缘斜面。一个质量为m＝1.0×10﹣2kg、电荷量为q＝﹣2.0×10﹣8C的带电θ小
球静止在斜面上，重力加速度为 g＝10m/s2。则该匀强电场的电场强度的大小为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C．2.5×106V/m D．
【答案】D。
【解析】解：对小球受力分析，根据共点力平衡条件有：tan30°＝
代入数据解得：E＝
故ABC错误，D正确；
16．（2022•洪山区校级模拟）如图所示，虚线MN下方存在着方向水平向左、范围足够大
的匀强电场。AB为绝缘光滑且固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，O为圆心，B
位于O点正下方。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，以初速度v 竖直向下从A
A
点沿切线进入半圆轨道内侧，沿轨道运动到B处以速度v 射出。已知重力加速度为g，
B
匀强电场场强大小 ，空气阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．从A到B过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A到B过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B两点的速度大小满足v ＞v
A B
D．从B点抛出后，小球速度的最小值为
1
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6
学科网（北京）股份有限公司【答案】D。
【解析】解：A．从A到B过程中，电场力做负功，小球的机械能一直减小，故A错误；
B．等效重力的与竖直线夹约37°偏左下方，所以从A到B过程中，小球速度先增大后
减小，根据牛顿第二定律和牛顿第三定律可知小球对轨道的压力先增大后减小，故B错
误；
C．B点比A点更靠近等效最低点，所以v ＜v ，故C错误；
A B
D．从A到B，由动能定理， ，解得 ，之后小
球 做 斜 抛 运 动 ， 在 垂 直 于 等 效 场 方 向 上 的 分 速 度 即 为 最 小 速 度 ， 由
，故D正确。
17．（2022•青浦区二模）如图所示，竖直平面内两个带电小油滴a、b在匀强电场E中分
别以速度v 、v 做匀速直线运动，不计空气阻力及两油滴之间的库仑力，下列说法正确
1 2
的是（ ）
A．a、b带异种电荷
B．a比b的电荷量大
C．a的电势能减小，b的电势能增加
D．沿v 方向电势增加，沿v 方向电势减小
1 2
【答案】C。
【解析】解：AB.由于两油滴均做匀速直线运动，受电场力与重力平衡，电场力都竖直
向上，因此a、b均带正电荷；由于两油滴质量关系未知，因此无法判断带电量大小关
系，故AB错误；
C.a向上运动，电场力做正功，电势能减小，b向下运动，电场力做负功，电势能增加，
故C正确；
D.沿电场线方向，电势减小，因此沿v 方向电势减小，沿v 方向电势增加，故D错误。
1 2
18．（2022•凌河区校级模拟）空间存在与水平方向成30°角斜向右上的匀强电场，场强E
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7
学科网（北京）股份有限公司＝1×109V/m，质量为m＝2kg的带电量为q＝2×10﹣8C的正电小球，套在光滑绝缘且长
度未知的轻杆上，轻杆的一端固定在过O点转轴上，重力加速度g＝10m/s2。O点距倾
角为60°的挡板L＝0.6m，小球由O点静止释放，则关于小球沿杆到达挡板的最短时间
及此情形下的杆长应为（ ）
A．t ＝0.2s，l＝ m B．t ＝0.3s，l＝ m
min min
C．t ＝0.4s，l＝ m D．t ＝0.5s，l＝ m
min min
【答案】C。
【解析】解：等效重力思想，将电场力与重力的合力视为一个新的“重力”，依题意，
新“重力”大小为依然为mg、方向沿of方向（∠ofe＝30°），如图所示；
在of上找一点o ，作一半径r的圆、过O点且相切挡板于e点，依题意几何关系可得
1
＝
解得r＝0.4m
因为从o点静止沿任何光滑杆自由滑到圆周上时间均相等，所以小球沿杆到达挡板的最
1
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8
学科网（北京）股份有限公司短时间为0.8＝
解得t＝0.4s
因∠oo e＝120°
1
此情形下oe两点间距即为杆长，即l＝ r＝ m
故ABD错误，C正确。
19．（2022春•邻水县校级期中）如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直
径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势
差U ＝20V。则（ ）
ab
A．电场强度的大小E＝200V/m
B．b点的电势比d点的低5V
C．将电子从c点移到d点，电场力做正功
D．电子在a点的电势能小于在c点的电势能
【答案】A。
【解析】解：A．根据U ＝E•abcos60°
ab
代入数据可得电场强度的大小E＝200V/m
故A正确；
B．沿电场线电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，故B错误；
C．将电子从c点移到d点，因电子所受的电场力与位移反向，可知电场力做负功，故
C错误；
D．因a点的电势低于c点电势，则电子在a点的电势能大于在c点的电势能，故D错误。
20．（2022•开平市校级模拟）中国科学家通过冷冻电镜捕捉到新冠病毒表面S蛋白与人体
细胞表面ACE2蛋白的结合过程，首次揭开了新冠病毒入侵人体的神秘面纱。电子显微
镜是冷冻电镜中的关键部分，在电子显微镜中电子束相当于光束，通过由电场或磁场构
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学科网（北京）股份有限公司成的电子透镜实现会聚或发散作用，其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，其中虚
线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中
实线所示，a、b是轨迹上的两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点的电势
B．电子从a点到b点电势能减小
C．电子从a点到b点做匀加速运动
D．a点的电场强度大于b点的电场强度
【答案】B。
【解析】解：ABC．电子所受电场力方向指向轨迹凹侧，大致向右，电场强度方向背离
轨迹凹侧，大致向左，并且垂直于等势面，根据沿电场方向电势降低知b点的电势高于
a点的电势，所以电子从a点到b点电势能减小，可知电场力做正功，电子做加速运动，
但电场力不恒定，所以不是均加速运动，故B正确，AC错误；
D．等势面越密集的位置电场强度越大，a点的电场强度小于b点的电场强度，故D错
误。
21．（2022•静安区二模）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，
一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受
静电力作用，则粒子电势能（ ）
A．先变大后变小，b点和d点的电场强度相同
B．先变大后变小，b点和d点的电场强度不同
C．先变小后变大，b点和d点的电场强度不同
2
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0
学科网（北京）股份有限公司D．先变小后变大，b点和d点的电场强度相同
【答案】B。
【解析】解：粒子从a到b再到c的过程中电场力做负功，粒子从c到d再到e的过程中
电场力做正功，即在整个过程中电场力先做负功后做正功，电势能先变大后变小；b点
和d点的电场强度的大小相等但方向不同，即b点和d点的电场强度不同。
故ACD错误，B正确；
22．（2022春•深州市校级期末）如图所示，两带电金属板间的电场可视为匀强电场，金
属板外无电场，两极板间的距离为d，上极板正中央有一小孔，一质量为m、带电荷量
为+q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零，
空气阻力不计，重力加速度为g。求：
（1）小球到达小孔处的速度v的大小。
（2）两极板间的电场强度E的大小。
【解析】解：（1）小球在金属板上方时做自由落体运动，则有v2＝2gh
解得：
（2）带电小球进入金属板后做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，则有0﹣v2＝﹣
2ad
根据牛顿第二定律可得
Eq﹣mg＝ma
联立解得：
（1）小球到达小孔处的速度v的大小为 。
（2）两极板间的电场强度E的大小为 。
23．（2022 春•南京期末）如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，其场强 E＝
2.0×102V/m，有一根长L＝0.64m的绝缘细绳，一端固定在O点，另一端系一质量m＝
0.2kg带正电q＝4.0×10﹣2C的小球。拉起小球至绳水平后在A点无初速度释放，当小球
2
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学科网（北京）股份有限公司运动到O点的正下方B点时绳恰好断裂，小球继续运动并垂直打在同一竖直平面且与水
平面成 ＝37°的挡板MN上的C点（已知：g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）。
求： θ
（1）绳子的最大张力；
（2）B、C两点的电势差；
（3）当小球运动到C点时，突然再施加一恒力F作用在小球上，同时把挡板迅速撤走，
若小球以后做直线运动，则所加恒力F的最小值。
【答案】（1）绳子的最大张力为30N；
（2）B、C两点的电势差为227.56V；
（3）当小球运动到C点时，突然再施加一恒力F作用在小球上，同时把挡板迅速撤走，
若小球以后做直线运动，则所加恒力F的最小值为6N。
【解析】解：（1）小球从A点运动到B点，由动能定理有
小球在B点时，由牛顿第二定律有
联立解得，绳子的最大张力为T＝30N
（2）小球离开B点后做类平抛运动，由于小球垂直打在挡板上，则有v sin ＝v
C B
θ
小球从B点运动到C点，由动能定理有
解得，B、C两点沿电场线方向的距离为
则B、C两点的电势差为U ＝Eh ＝
BC BC
（3）若要小球到达C点后做直线运动，则需要满足小球所受合力为零或者合力方向与
速度方向共线。而当所加恒力F与速度方向垂直向上时，所加恒力F取得最小值，如下
图所示
2
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2
学科网（北京）股份有限公司由几何知识可得，所加恒力 F 的最小值为 F＝（mg+qE）sin ＝（0.2×10+4×10﹣
2×2×102）×0.6N＝6N θ
24．（2022春•海门市校级期中）如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为 d，金属板
长为L＝2d，两金属板间加如图乙所示的电压（初始时上金属板带正电），其中U ＝
0
。一粒子源连续发射质量为m、电荷量为+q的带电粒子（初速度v ＝ ，重力
0
忽略不计），该粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板
间。
（1）求能从板间飞出的粒子在板间运动的时间；
（2）若t＝ 时刻进入两极板之间，飞出极板时的偏移量y是多少？
（3）在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间？
【答案】（1）能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为 ；
（2）若t＝ 时刻进入两极板之间，飞出极板时的偏移量y是d；
（3）在 时刻进入两金属板间
2
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3
学科网（北京）股份有限公司的带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间。
【解析】解：（1）能从板间飞出的粒子，平行于板方向做匀速直线运动，在板间运动
的时间
（2）设带电粒子在两金属板间运动时的加速度大小为a，则
带电粒子在 时刻进入两极板之间，则它在竖直方向上先加速向下 ，
，
经过 时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过 时间，竖直分速度减为
零， ，
飞出极板时的偏移量y＝y +y ＝d
1 2
（3）假设t＝0时刻进入两金属板间的粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间，则飞
出两金属板间时的偏移量为
则假设不成立，t＝0时刻进入两金属板间的粒子将打在金属板上。
在第一个周期内，设带电粒子在t 时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下，
1
经过Δt 时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过Δt 时间，竖直分速度减
1 1
为零，恰好从下金属板右端飞出，画出其运动轨迹，如图2所示：
2
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4
学科网（北京）股份有限公司图1
可知
解得
所以
在第一个周期内，设带电粒子在t 时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下，
2
经过△t 时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过△t 时间，竖直分速度
2 2
减为零，然后加速向上直到恰好从上金属板右端飞出，画出其运动轨迹，如图2所示：
图2
可知
解得
所以
考虑到周期性，带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间的时刻 t 满足
25．（2022•喀什市校级开学）如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半
圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0.40m，在轨道所在空间存在水
平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E＝3.0×104N/C。现有一
电荷量q＝+1.0×10﹣5C、质量m＝0.04kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P
点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点
2
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学科网（北京）股份有限公司（图中未画出），取g＝10m/s2。求：
（1）带电体运动到圆形轨道C点时的速度大小；
（2）带电体在圆弧形轨道上运动的最大速度；
（3）D点到B点的距离x。
【答案】（1）带电体运动到圆形轨道C点时的速度大小为2.0m/s；
（2）带电体在圆弧形轨道上运动的最大速度为 ；
（3）D点到B点的距离为0.2m。
【解析】解：（1）设带电体经过C点时的速度为v ，根据牛顿第二定律得：
C
解得：v ＝2.0m/s
C
（2）设带电体通过B点时的速度为v ，带电体从B运动到C的过程中，根据动能定理
B
得：
解得：
根据电场力和重力的比值关系可知，等效最低点与竖直方向的夹角为
即 ＝37°，等效最低点的位置如图所示：
θ
2
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学科网（北京）股份有限公司根据动能定理得：
解得：v ＝
m
（3）带电体离开圆弧轨道后
在竖直方向上：
在水平方向上：
联立解得：x＝0.2m
26．（2022•湖北）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正
负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔
喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U时，电荷量为q、
半径为r的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保
持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（ ）
A．q，r B．2q，r C．2q，2r D．4q，2r
【答案】D。
【解析】解：金属板间电势差为U时，电荷量为q、半径为r的球状油滴在板间保持静
2
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学科网（北京）股份有限公司止，根据平衡条件得
q ＝mg＝ g
将金属板间电势差调整为2U时，能在板间保持静止的球状油滴受力平衡，则
q' ＝mg＝ g
联立解得：q'＝4q，r'＝2r，
故ABC错误，D正确；
（多选）27．（2022•湖北）如图所示，一带电粒子以初速度v 沿x轴正方向从坐标原点O
0
射入，并经过点P（a＞0，b＞0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，
粒子从O到P运动的时间为t ，到达P点的动能为E 。若上述过程仅由方向垂直于纸
1 k1
面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t ，到达P点的动能为E 。下列关系
2 k2
式正确的是（ ）
A．t ＜t B．t ＞t C．E ＜E D．E ＞E
1 2 1 2 k1 k2 k1 k2
【答案】AD。
【解析】解：AB、若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，在沿x轴方向，粒
子做匀速直线运动，则 ，若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，由
于在洛伦兹力作用下，粒子做匀速圆周运动，在运动过程中，沿x轴方向的速度逐渐减
小，则运动的时间 ，故t ＜t ，故A正确，B错误；
1 2
CD、若上述过程仅由方向平行于 y轴的匀强电场实现，电场力对粒子做正功，则
，若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，洛伦兹力只改变速度
2
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8
学科网（北京）股份有限公司的方向，不改变粒子的速度大小，故动能 ，故E ＞E ，故C错误，D正确；
k1 k2
（多选）28．（2022•浙江）如图为某一径向电场示意图，电场强度大小可表示为 E＝ ，
a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及
重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
【答案】BC。
【解析】解：A、电场力提供粒子做圆周所需的向心力，则qE＝m 2r，解得 ，
ω
由于两粒子的比荷相同，半径越小的，角速度越大，故A错误；
B、场力提供粒子做圆周所需的向心力，则qE＝ ，粒子的动能 ，解得
，故电荷量大的粒子的动能一定大，故B正确；
C、场力提供粒子做圆周所需的向心力，则qE＝ ，解得v＝ ，粒子的速度大
小与轨道半径r一定无关，故C正确；
D、当粒子逆时针运动，所加的磁场垂直纸面向外时，此时受到的洛伦兹力指向O点，
此时粒子做向心运动，故D错误；
（多选）29．（2022•乙卷）如图，两对等量异号点电荷+q、﹣q（q＞0）固定于正方形的
2
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学科网（北京）股份有限公司4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为
切点。则（ ）
A．L和N两点处的电场方向相互垂直
B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
【答案】AB。
【解析】解：A、两个正电荷在N点产生的场强方向由N指向O，N点处于两负电荷连
线的中垂线上，则两负电荷在N点产生的场强方向由N指向O，则N点的合场强方向
由N指向O，同理可知，两个负电荷在L处产生的场强方向由O指向L，L点处于两正
电荷连线的中垂线上，两正电荷在L处产生的场强方向由O指向L，则L处的合场方向
由O指向L，由于正方向两对角线垂直平分，则L和N两点处的电场方向相互垂直，故
A正确；
B、正方向底边的一对等量异号电荷在M点产生的场强方向向左，而正方形上方的一对
等量异号电荷在M点产生的场强方向向右，由于M点离上方一对等量异号电荷距离较
远，则M点的场方向向左，故B正确；
C．由图可知，M和O点位于两等量异号电荷的等势线上，即M和O点电势相等，所
以将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做功为零，故C错误；
D．由图可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，
电场力做功不为零，故D错误。
30．（2022•广东）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了
1923年的诺贝尔奖。如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为 d的
足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，
部分油滴带上了电荷。有两个质量均为m 、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，
0
在时间t内都匀速下落了距离h 。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续
1
3
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0
学科网（北京）股份有限公司以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离h
2
（h ≠h ），随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已
2 1
知球形油滴受到的空气阻力大小为f＝k v，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为
油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h 电势能的变化量；
2
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【答案】（1）比例系数为 ；
（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量为 ；B上升距离h 电势
2
能的变化量为﹣ ；
（3）①若h ＞h ，则新油滴的速度大小为 ，方向竖直向上；②若h ＞h ，则
2 1 1 2
新油滴的速度大小为 ，方向竖直向下。
【解析】解：（1）因为两个油滴在未加电压时均做匀速直线运动，对A油滴进行分析，
根据运动学公式得：
根据平衡状态得：m g＝f
0
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学科网（北京）股份有限公司结合空气阻力的表达式f＝k v
联立解得：k＝
（2）因为加电压后A油滴的速度不变，所以A油滴不带电；B油滴最终向上做匀速运
动，由此可知，B油滴受到的电场力应向上，故B油滴带负电。
B油滴向上做匀速直线运动时，根据运动学公式得：
其受到的摩擦力向下，根据平衡状态得：
解得：q＝
根据功能关系得：
ΔE
p
＝﹣W电
联立解得：ΔE ＝﹣
p
（3）油滴相遇时，质量为2m ，电荷量等于B油滴的电荷量，则新油滴受到的电场力
0
为
此时要对电场力进行分类讨论
①若F＞2m g，即h ＞h
0 2 1
可知，v ＞v
2 1
若选向上的方向为正方向，油滴碰撞瞬间，根据动量守恒得：
m v ﹣m v ＝2m v
0 2 0 1 0 3
可得：v ＞0
3
3
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2
学科网（北京）股份有限公司所以新油滴向上加速，最后达到平衡设达到平衡时速度为v'，则有
2m g+k•2 v'＝F
0
解得：v'＝
②若F′小于2m g，即h ＞h
0 1 2
可知，v ＜v
2 1
选向下的方向为正方向，根据动量守恒得：
m v ﹣m v ＝2m v
0 2 0 1 0 4
可得：v ＞0
4
新油滴向下加速，最后达到平衡，设达到平衡时速度为v''，则有
2m g＝F+k•
0
解得：v′'＝
3
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