重难点专题2-2三次函数图像与性质10类题型（原卷版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题 2-2 三次函数图像与性质 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高 2024 年 甲 卷 考中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常 （ 文 ） ， 第 16 见。 题,5分 考点内容：主要考查三次函数的图像特征（如中心 （1）理解三次函数的定义 对称性、开口方向）、单调性（通过导数分析）、 域、值域和图像特点。 2024 年新高考 I 极值点（一阶导数为零的点）以及图像与性质的综 （2）掌握三次函数的导数 卷，第10题,6分 合应用。 与单调性关系。 题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出 （3）判断三次函数的极值 现，涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间 点及其个数。 2024 年新高考 II 等具体问题。 （4）探究三次函数图像与 卷，第11题,6分 难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像 x轴的交点个数。 与性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题 （5）熟练运用三次函数的 技巧，难度可能略有提升。 对称中心性质。 备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质， 2022年新高考I 灵活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的 卷，第10题,5分 多样性和综合应用能力的培养。 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】求三次函数的解析式 【题型2】三次函数的单调性问题 【题型3】三次函数的图像 【题型4】三次函数的最值、极值问题 【题型5】三次函数的零点问题 【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题 【题型7】 三次函数对称中心 【题型8】三次函数的切线问题 【题型9】三次函数根与系数的关系 模块二 核心题型·举一反三(讲与练)【题型1】求三次函数的解析式 （1）一般式： （a≠0） （2）交点式： （a≠0） 1．若三次函数 满足 ，则 （ ） A．38 B．171 C．460 D．965 【题型2】三次函数的单调性问题 三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、 零点以及与其他函数的综合应用等方面。以下是对三次函数常见考点的详细分析： 1. 三次函数的定义与形式  定义：形如 f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中 a≠=0）的函数称为三次函数。  形式：注意系数 a,b,c,d 的作用，特别是 a 的正负决定了函数的开口方向（a>0 开口向上， a<0 开口向下）。 2. 函数的单调性  导数应用：利用导数 f′(x)=3ax2+2bx+c 判断函数的单调性。解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0 得到 函数的单调递增和递减区间。  极值点：导数等于0的点（f′(x)=0）可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小 值点。 2024·广东茂名市·一模 1 1 2．（多选）若 f x x3  x2 2x1是区间m1,m4上的单调函数，则实数 的值可 3 2 m 以是（ ） 4 3 A. B. C. 3 D. 4【巩固练习】三次函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型3】三次函数的图像 图像 三次函数的定义域和值域均为R。对于值域，可以借助极限的思想。根据函数的解析式可知， 影响其值域范围的主要是“ax3”这一项，因此可得： 当a＞0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于+∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于-∞。 当a＜0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于-∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于+∞。 又因为f(x)是连续的函数，且x∈R，所以f(x)的值域为R。 由于三次函数的值域为R，则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个 根。 3．设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·全国一卷真题）（多选）设函数 ，则（ ） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【巩固练习1】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数 ，则下列结论 正确的是（ ）A．存在实数 使得 B．方程 有唯一正实数解 C．方程 有唯一负实数解 D． 有负实数解 【巩固练习2】（2024·全国甲卷(文)真题）曲线 与 在 上有两个不 同的交点，则 的取值范围为 ． 【题型4】三次函数的最值、极值问题 三次函数的极值与最值  极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型（极大值或极小值）。  最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处。需比较这些点的函数值来确定全局 最值。 5．已知三次函数 无极值，且满足 ，则 . 6．已知三次函数f(x)＝ x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值 范围是（ ） A．m＜2或m＞4 B． 或 C． D．2＜m＜4 【巩固练习1】已知三次函数 ，其导函数为 ，存在 ，满足 ．记 的极大值为 ，则 的取值范围是 ． 【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数 的极小值点为 ，极 大值点为 ，则 等于（ ）A． B． C． D． 【题型5】三次函数的零点问题 三次方程 的实根个数 设三次函数 其导函数为二次函数: ， 判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图易得： 图像 (1) 若 ，则 恰有一个实根； (2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根； (3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根； (4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根. 说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在R上为 单调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且 ）; (5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所 以 ，且 ; (6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极 大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 . 7．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 8．已知三次函数 有三个零点 ， ， ，且在点 处切线的斜率为 ，则 . 9．已知 ， ， ，若三次函数 有三个零点 ， ， ，且满足 ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知三次函数 的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在 处的切线l经 过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·全国·一模）已知三次函数 ， ，且 有三个零点.若三次函数 和 均为 上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则 零点的个数为 （ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个或 个【巩固练习3】已知 ， 为三次函数，其图象如图所示.若 有9个零点，则 的取值范围是 . 【巩固练习4】已知三次函数 有两个零点，若方程 有四 个实数根，则实数a的范围为（ ） A． B． C． D． 【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 有两个极值点 B．点 是曲线 的对称中心 C． 有三个零点 D．直线 是曲线 的一条切线 11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是 （ ）A．若 ，则 是 的极值点 B． ，使得 C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减 D．函数 的图象是中心对称图形 【巩固练习1】函数 的图像如图所示，则 的取值范围 是 ． 【巩固练习2】（23-24高三·广东清远·期末）（多选）已知函数 ，则下 列选项中正确的是（ ） A． 的值域为 B． 在 处取得极小值为2 C． 在 上是增函数 D．若方程 有2个不同的根，则 1 【巩固练习3】2024·金华联考模拟（多选题）已知函数 f(x) x34x4(x[0,3])，则（ ） 3 A．函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减 B．函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值为1 10 C．函数 在点 处的切线方程为y3x f(x) (1, f(1)) 3 4  D．若关于 的方程 在区间 上有两解，则a ,4 x f(x)a [0,3]  3  【题型7】 三次函数对称中心 二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即 则 为函数 的对称中心 设三次函数 ，则对称中心是； 三次函数f(x)的对称中心为 ，则 12．已知三次函数 的极小值点为 ，极大值点为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 13．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 都有对称中心，其对称中心为 （其中 ）.已知函数 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 14．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若 ，则 （ ） A．0 B．4 C． D． 15．（2024·全国2卷·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴 D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心 16．对于三次函数 ，给出定义： 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的 “拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称 中心，且“拐点”就是对称中心.若函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A． 的极大值为 B． 有且仅有2个零点 C．点 是 的对称中心 D． 【巩固练习1】已知三次函数 ，若 ，则 . 【巩固练习2】已知所有的三次函数 的图象都有对称中心 ， ，若函数 ，则 .【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 有两个极值点 B． 有一个零点 C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 【巩固练习4】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数 ，若函数 的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ） A． B． 有3个零点 C． 的对称中心是 D． 【题型8】三次函数的切线问题 一般地，过三次函数 图象的对称中心作切线 ，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个 区域，有以下结论： （1）过区域 内的点作 的切线，有且仅有3条； （2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作 的切线，有且仅有1条； （3）过切线 或函数 图象（除去对称中心）上的点作 的切线，有且仅有2条.17．已知函数 在点 处的切线方程为 ．若经过点 可以作出曲线 的三条切线，则实数 的取值范围为 ． 18．（多选题）（2024·山西晋中·二模）对于三次函数 ，给出定义： 设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ， 则称 为函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有 “拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数 ，则（ ） A． 一定有两个极值点 B．函数 在R上单调递增 C．过点 可以作曲线 的2条切线 D．当 时， 【巩固练习1】（2022·新高考一卷真题）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 有两个极值点 B． 有三个零点 C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 【巩固练习2】（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A．当 时，若 有三个零点，则b的取值范围为 B．若 满足 ，则 C．若过点 可作出曲线 的三条切线，则 D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则 【巩固练习3】（多选题）下列关于三次函数 叙述正确的是 （ ） A．函数 的图象一定是中心对称图形 B．函数 可能只有一个极值点 C．当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点 D．当 时，则过点 的切线可能有一条或者三条 【题型9】三次函数根与系数的关系 三次函数根与系数关系：对于 ，若 有3个交点 ，则 方程 可以写为 ， 展开后得 比对系数，则有： ， ， ， 2024届·广东省“六校”高三上学期9月联合摸底 19．（多选）已知三次函数 有三个不同的零点 ，若函数也有三个不同的零点 ，则下列等式或不等式一定成立的有 （ ） A． B． C． D． 20．（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）（多选）已知函数 ，若 ，其中 ，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2023届·深圳一模）（多选）已知函数 ，若 ，其 中 ，则（ ） A． B． C． D． 的取值范围为 【巩固练习2】（2024·重庆育才中学·阶段练习）（多选）已知三次函数 有三 个不同的零点 ，函数 .则（ ） A． B．若 成等差数列，则 C．若 恰有两个不同的零点 ，则 D．若 有三个不同的零点 ，则