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第30课时 尺规作图
1.(2024·河北模拟)如图,在△ABC中,小明按以下叙述作图:
1
①分别以A,B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,相交于P,Q两点.
2
②连接PQ,则PQ即为所求.
小明完成的是哪一个问题 ( )
A.∠C 的平分线
B.AB的垂直平分线
C.AB边上的中线
D.AB边上的高
2.(2024·深圳)在如图的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是 ( )
① ② ③
A.①② B.①③ C.②③ D.只有①
3.(2024·唐山一模)在数学课堂上,老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”,
图①是老师画出的第一步,图②,图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹,则补充的作图痕迹
正确的是 ( )
图① 图② 图③
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.都不正确
4.(2024·北京)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
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(1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D.
(2)作射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';以点C'为圆心,CD长为半径画
弧,两弧交于点D'.
(3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD的依据
是 ( )
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
5.(2024·河北二模)某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点 P作已知直线l的平行线”
的作图,嘉嘉给出了如下作图过程,嘉嘉的作法中,可以直接判定两直线平行的依据是 ( )
(1)在直线 l 上取两点 (2)分别以点 B 和点 P 为圆心,AP 和
(3)连接PC,则PC即为所求.
A,B,连接AP; AB为半径画弧,两弧相交于点C;
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.平行公理
D.平行四边形的性质
1
6.(2023·凉山州)如图,在等腰三角形ABC中,∠A=40°,分别以点A,B为圆心,大于 AB的长为半径
2
画弧,两弧分别交于点M和N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是 (
)
A.20° B.30° C.40° D.50°
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1
7.(2023·随州)如图,在▱ABCD中,分别以点B,D为圆心,大于 BD的长为半径画弧,两弧相交于点
2
M,N,过M,N 两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F.下列结论不正确的是 ( )
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
8.(2024·长春)如图,在△ABC中,O是边AB的中点.按下列要求作图:①以点B为圆心、适当长为
半径画弧,交线段BO于点D,交BC于点E;②以点O为圆心、BD长为半径画弧,交线段OA于点
F;③以点F为圆心、DE长为半径画弧,交前一条弧于点G,点G与点C在直线AB同侧;④作直线
OG,交AC于点M.下列结论不一定成立的是 ( )
A.∠AOM=∠B B.∠OMC+∠C=180°
1
C.AM=CM D.OM= AB
2
1
9.(2023·遂宁)如图,在▱ABCD中,BD为对角线,分别以点A,B为圆心,以大于 AB的长为半径画弧,
2
两弧相交于点M,N,作直线MN交AD于点E,交AB于点F.若AD⊥BD,BD=4,BC=8,则AE的长为
.
10.(2024·陕西)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角三角形ABC,使
得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写
作法)
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11.(2024·长春)图1,图2,图3均是3×3的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的
顶点称为格点.点A,B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作四边形
ABCD,使其是轴对称图形且点C,D均在格点上.
(1)在图1中,四边形ABCD面积为2.
(2)在图2中,四边形ABCD面积为3.
(3)在图3中,四边形ABCD面积为4.
图1 图2 图3
1.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射
线OP为∠AOB的平分线的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024·河北二模)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到△ABC的
外心,作法如下:
嘉嘉: 淇淇:
作∠BAC和∠ACB的平分线,两条角平分线交于
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作BC的垂直平分线,交BC于点O,点O即为
点O,点O即为△ABC的外心
△ABC的外心
对于两人的作图方法,下列说法正确的是 ( )
A.嘉嘉正确,淇淇错误 B.嘉嘉错误,淇淇正确
C.两人都正确 D.两人都错误
3.(2024·邯郸邯山区模拟)如图,∠AOB=60°,点C在OB上,OC=2√3,P为∠AOB内一点.根据图中
尺规作图痕迹推断,点P到OA的距离为 .
4.(2024·赤峰)如图,在△ABC中,D是AB中点.
(1)求作:AC的垂直平分线l(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)若 l 交 AC 于点 E,连接 DE 并延长至点 F,使 EF=2DE,连接 BE,CF.补全图形,并证明四边形
BCFE是平行四边形.
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【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:如图所示,小明完成的是AB的垂直平分线.
故选B.
2.B 解析:根据基本作图可判断题图①中AD为∠BAC的平分线,题图②中AD为BC边上的中线,题图③中AD
为∠BAC的平分线.故选B.
3.C 解析:根据作图痕迹知图②,图③都正确.故选C.
4.A 解析:由作图过程可得,OC=OD=O'C'=O'D',C'D'=CD,
∴△C'O'D'≌△COD(SSS),
∴判定△C'O'D'≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等.
故选A.
5.D 解析:如图,连接BC.
由作图可知BC=PA,PC=AB,
∴四边形ABCP是平行四边形,
∴PC∥直线l(平行四边形的对边平行).故选D.
6.B 解析:∵在等腰三角形ABC中,∠A=40°,AB=AC,
180°-∠A
∴∠ABC=∠ACB= =70°.由作图方法可知,MN是线段AB的垂直平分线.∴AD=BD.
2
∴∠ABD=∠A=40°.∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°.故选B.
7.D 解 析 : 如 图 , 连 接 BE,DF. 根 据 作 图 可 知 ,EF 垂 直 平 分
BD.∴ BO=DO,BE=DE,BF=DF.∵ EF=EF,∴ △ BFE≌ △ DFE(SSS).∴ ∠ BFE=∠ DFE.∵ 在 ▱ ABCD 中 ,
AD∥BC,AD=BC,∴∠BFE=∠DEF.∴∠DFE=∠DEF.∴DF=DE.∴BE=DE=DF=BF.故 B 正确;∴AD-DE=BC-
BF.∴AE=CF.故A正确;∴四边形BFDE是菱形.∴OE=OF.故C正确;DE与DC不一定相等,故D错误.故选D.
8.D 解析:由作图过程可知,∠AOM=∠B,
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故A选项正确,不符合题意;
∵∠AOM=∠B,
∴OM∥BC,
∴∠OMC+∠C=180°,
故B选项正确,不符合题意;
∵O是边AB的中点,OM∥BC,
∴点M为AC的中点,
∴AM=CM,
故C选项正确,不符合题意;
1
根据已知条件不能得出OM= AB,
2
故D选项不正确,符合题意.故选D.
9.5 解析:如图,连接BE.根据基本作图可知,MN为AB的垂直平分线,可设BE=AE=x.
∵在▱ABCD中,AD⊥BD,BC=8,
∴AD=BC=8,∠BDE=90°,ED=AD-AE=AD-BE=8-x.
在Rt△BDE中,BD=4,由勾股定理,得BE2=BD2+DE2.
∴x2=42+(8-x)2.解得x=5,即AE=5.
10.解:如图,△ABC即为所求作的三角形.(答案不唯一)
11.解:答案不唯一.
(1)如图1,四边形ABCD即为所求.
(2)如图2,四边形ABCD即为所求.
(3)如图3,四边形ABCD即为所求.
图1 图2 图3
能力提升
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1.D 解析:A.由作图痕迹可知,射线OP为∠AOB的平分线;
B.由作图痕迹可知,OC=OD,OA=OB,
又∵∠AOD=∠BOC,
∴△ADO≌△BCO(SAS),
同理可得△ACP≌△BDP(AAS),△APO≌△BPO(SSS),
∴∠AOP=∠BOP,
射线OP为∠AOB的平分线;
C.由作图痕迹可知,∠ACP=∠AOB,CP∥OB,
可得∠CPO=∠POB,
又由图可知CP=OC,
∴∠COP=∠CPO,
∴∠POB=∠COP,
射线OP为∠AOB的平分线;
D.由作图痕迹可知,CO=OD,△OCD是等腰三角形,
∴射线OP在CD的垂直平分线上,
OP是∠AOB的平分线.
故选D.
2.A 解析:直角三角形的外心是斜边的中点.故嘉嘉正确,淇淇错误.故选A.
3.1 解析:由作图知PE垂直平分OC,OP平分∠AOB,
1 1
∴OE= OC= ×2√3=√3,∠PEO=90°,
2 2
∵∠AOB=60°,
1
∴∠POE=∠AOP= ∠AOB=30°,
2
√3
∴EP=OE×tan 30°=√3× =1,
3
∵PO平分∠AOB,
∴点P到OA的距离=PE=1.
4.解:(1)垂直平分线l如图所示.
(2)补全图形如图所示.
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证明:由作图可知AE=EC,
∵AD=DB,
∴DE∥BC,BC=2DE.
∵EF=2DE,
∴EF=BC,
∵EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.
9
