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6.2 等比数列（精练）（提升版）
题组一 基本量的计算
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列 中，已知 ， ，则
（ ）
A．20 B．12 C．8 D．4
【答案】C
【解析】设 的公比为q，则 ，
解得 ，所以 ，故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，则 ，解得 ，所以 .故选：D.
3．（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列 中， 成公比为3的等比数列，则
（ ）
A．14 B．34 C．41 D．86
【答案】C
【解析】因为 成公比为3的等比数列，可得 ，所以
又因为数列 为等差数列，所以公差 ，
所以 ，所以 ，解得 .故选：C.
4．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 成等差数
列，则 的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，化为： ，解得 ．故选：D
5．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知 为公差不为0的等差数列 的前n项和.若
， ， ， 成等比数列，则 （ ）
A．11 B．13 C．23 D．24
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
化简得 （舍去）或 ，所以 .选：C
6．（2022·安徽·合肥市第七中学二模（理））正项等比数列 中， ， ， 成等差数列，若
，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【解析】由题意可知， ， ， 成等差数列，所以 ，即 ，
所以 ， 或 （舍），所以 ， ，故选：D.题组二 等比中项
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若
则 的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得 ，由等比中项的性质可得
，因此， .故选：B.
2．（2022·福建·模拟预测）已知数列 为等比数列，则“ ， 是方程 的两实根”
是” ，或 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在等比数列中，若 ， 是方程 的两实根，
， ，则 ， ，
则 ，则 或 ，即充分性成立，
当 ，或 时，能推出 ，但无法推出 ，即必要性不成立，
即“ ， 是方程 的两实根”是“ ，或 ”的充分不必要条件，故选：A．
3．（2021·山西阳泉·高三期末（理））两数1､9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线 的离心
率为（ ）A． 或 B． 或 C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ， ，
若 ，曲线方程为 ，表示椭圆，离心率为 ，
时，曲线方程为 ，表示双曲线，离心率为 ．
故选：A．
4．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列 是等比数列，满足 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
所以， ，
因此， .
故选：B.
5．（2022·内蒙古包头·高一期末）在正项等比数列 中， ，则
（ ）
A．5 B．10 C．50 D．10000
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因此， .故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）实数 ， ， ， ， 等比数列，则xyt等于（ ）
A．-4 B．1 C．8 D．-8
【答案】D
【解析】设 ， ， ， ， ，由等比数列知 ，
，因为 ，所以 ，所以 ，故选：
7．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知 中， ， 、 分别是 、
的等差中项与等比中项，则 的面积等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】由于 、 分别是 、 的等差中项与等比中项，
则 ，得 ，
，得 .
由余弦定理得 ，整理得 ，
，解得 或 .
当 时， 的面积为 ；
当 时， 的面积为 .
综上所述， 的面积为 或 .故选：D.
题组三 前n项和的性质
1．（2022·江西·模拟预测（文））已知等比数列 的前n项和为 ，公比为 ，且 ，则（ ）
A．36 B．39 C．40 D．44
【答案】B
【解析】由题可得 ，由 ，得 ，
解得 ，所以 ，所以 .故选：B．
2.（2022·辽宁大连）已知等比数列 的前 项和为 ，则实数 的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【解析】等比数列 的前 项和为 ，
当 时，可得 ，可得 ，
当 时， ，则
所以
因为 为等比数列，所以 ，即
解得 ，经检验符合题意.故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的前n项和为 ，则r的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时, ,
当 时，
所以 ，故选B.
4．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 中，已知 ，则数列的前16项和 为
A．20 B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得， ，则 ，根据等比数列的性质可知
构成公比为 等比数列， ，且
，故选B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前10项中所有奇数项
之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，又 ，
即前10项分别为 ，
所以数列 的前10项中 ， ，所以 ，
故选：C．
题组四 最值问题
1．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，若存在 、 ，使
得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，由 可得 ，解得 ，
因为 ，则 ， ，可得 ，
由已知 、 ，所以， ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .故选：D.
2．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成
等比数列，若 ， 为数列 的前n项和，则 的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【解析】由于 ， ， 成等比数列，所以 ，
∴ ，
解得 ∴ ，∴
所以 ，由双勾函数性质知 在 上单调递增，所以当
时， 取得最小值为： ，所以 的最小值为 .
故选：C.
3．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 中， ，则 的最小值为___________.
【答案】【解析】设 的公比为 ，由等比数列的知识可知 ， ，
结合 可得 ， .
由基本不等式及等比数列的性质可得 ，
当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为 .故答案为： .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为q，前n项和为 ，若 ，则 的最小
值是______．
【答案】
【解析】由题知， ，
又 ，则 ，当且仅当 时，等号成立.
即 的最小值是 故答案为：
题组五 等比数列的实际运用
1．（2022·河北沧州）（多选）学校食坣每天中都会提供 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的
一种），经过统计分析发现：学生第一天选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 .而前一天选择了
套餐的学生第二天诜择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ；前一天选择 套餐的学生第一天选
择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率也是 ，如此往复.记某同学第 天选择 套餐的概率为 ，选择
套餐的概率为 .一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择 套餐的人数为 ，则下列说法正确的
是（ ）A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】ABC
【解析】由于每人每次只能选择 两种套餐中的一种，所以 ，故A正确；
依题意， ，则 .
又 时， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故B正确
所以 ，
当 时， ，
所以 ，所以C正确， 错误.
故选：ABC.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健
步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，
从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了96里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
D．此人第五天和第六天共走了30里路
【答案】AC
【解析】设此人第 天走了 里路，则数列 是首项为 ，公比 为 的等比数列，其前n项和为Sn，因 ，即 ，解得 ， ，
由于 ，即此人第二天走了96里路，A正确；
由于 ， ，B错误；
后五天走的路程为 (里)， (里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C
正确；由于 ，D错误.故选：AC故答案为：１或 .
3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生
日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的
一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结
果精确到0.1．参考数据： ， ．）
A．2.9天 B．3.9天 C．4.9天 D．5.9天
【答案】C
【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a＝3，公比为 ，其前n项和为An．
1
莞的长度组成等比数列{bn}，其b＝1，公比为2，
1
其前n项和为Bn．则An ，Bn ，由题意可得： ，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．∴n ．故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国
家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000
元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除
生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入
为（ ）（取 ， ）
A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元
【答案】D
【解析】设 ，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为 ，
，、
同理可得 ，所以 ，而 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，
所以 ， ，
总利润为 ．
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中
有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔
底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为 ，则有 ，解得 ，从塔底数第二层灯的盏数为 ，
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若
干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两
边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，
第 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则 的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，
则 ，所以 .
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，
则 ，所以 .
所以 ，即 ，化简得
解得： 或 (舍)
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏
图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人
们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行
路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路
程之和为___________里.（取1.18=2.14）【答案】4560
【解析】第8匹马､第7匹马､……､第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，
且首项为400，公比为1.1，
故这8匹马的最长日行路程之和为 里.
故答案为：4560.
