文档内容
第1讲 等差数列、等比数列（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】等差数列、等比数列的基本运算....................................................................................3
【考点二】等差数列、等比数列的性质...........................................................................................4
【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明................................................................................6
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.
2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列{a }的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
n
A． B． C．1 D．
2．（2024·全国·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两
点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列{a }的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
n
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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学科网（北京）股份有限公司7．（2023·全国·高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C．15 D．40
8．（2023·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
二、填空题
9．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
10．（2023·全国·高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
考点突破
【考点一】等差数列、等比数列的基本运算
核心梳理：
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a＝a＋(n－1)d，
n 1
a＝a ＋(n－m)d.
n m
(2)等比数列的通项公式：a＝aqn－1，
n 1
a＝a ·qn－m.
n m
(3)等差数列的求和公式：
S＝＝na＋d.
n 1
(4)等比数列的求和公式：
S＝
n
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布
施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布
施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A．413 B．427 C．308 D．133
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列 的前 项和记为 ，若 ，则成立的是
（ ）
A．
B． 的最大值是
C．
D．当 时， 最大值为
4．（23-24高三上·河南·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ( 为常数)，则（ ）
A． B． 的公比为2 C． D．
三、填空题
5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则
.
6．（2023·全国·高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
规律方法：
等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a、公差d或公比q.
1
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S ＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a ＝
n n
p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行
相关计算．
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学科网（北京）股份有限公司【考点二】等差数列、等比数列的性质
核心梳理：
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a ＋a ＝a ＋a ＝2a；对于
m n p q k
等比数列，有a a＝aa＝a.
m n p q
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有S ，S －S ，S －S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S －S ，S －S ，…成等
m 2m m 3m 2m m 2m m 3m 2m
比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．
(2)对于等差数列有S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过 层
薄膜，记光波的初始功率为 ，记 为光波经过第 层薄膜后的功率，假设在经过第 层薄膜时光波的透
过率 ，其中 ，2，3… ，为使得 ，则 的最大值为（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
二、多选题
3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知 是等比数列 的前n项和，若存在 ， ， ，使得
，则（ ）
A．
B． 是数列 的公比
C．数列 可能为等比数列
D．数列 不可能为常数列
4．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列{a }的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则
n
下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．当 最大
B．使得 成立的最小自然数
C．
D． 中最小项为
三、填空题
5．（2024·上海闵行·三模）设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则
.
6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差数列 中， 为前 项和， ，则 .
规律方法：
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明
核心梳理：
等差数列 等比数列
定义法 a －a＝d ＝q(q≠0)
n＋1 n
通项法 a＝a＋(n－1)d a＝aqn－1
n 1 n 1
中项法 2a＝a ＋a (n≥2) a＝a a (n≥2，a≠0)
n n－1 n＋1 n－1 n＋1 n
前n项和法 S＝an2＋bn(a，b为常数) S＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)
n n
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．
一、解答题
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列 满足: .
(1)证明: 是等比数列;
(2)求数列 的前 项和 .
3．（2023·河南·模拟预测）已知 为数列 的前 项和，且 为正项等比数列，
， .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
5．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差
数列．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 ．
6．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐
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学科网（北京）股份有限公司只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果
他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为 ；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2
天选择米饭套餐的概率为 .已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为 .
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ，
（i）证明： 为等比数列；
（ii）证明：当 时， .
规律方法：
(1)a＝a a (n≥2，n∈N*)是{a}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要
n－1 n＋1 n
注意各项不为0.
(2){a}为等比数列，可推出a，a，a 成等比数列，但a，a，a 成等比数列并不能说明{a}为等比数列．
n 1 2 3 1 2 3 n
(3)证明{a}不是等比数列可用特值法．
n
专题精练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）设数列{a }的前 项之积为 ，满足 （ ），则 （ ）
n
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·三模）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）记 为等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．20 B．16 C．14 D．12
4．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列 的公差为 ，数列 满足 ，则“ ”
是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·江苏南通·二模）若 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东广州·一模）记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列 中， 为其前n项和，若 ，
则 的值为（ ）
A．10 B．18 C．36 D．40
8．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列 满足 .记数列
的前n项和为 .若对任意的 ，都有 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若 为等差数列， ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．
B． 是数列 中的项
C．数列 单调递减
D．数列 前7项和最大
10．（2023·山东德州·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ， ，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的最大值为
C．数列 为等差数列，且和数列 的首项、公差均相同
D．数列 前 项和为 ， 最大
11．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列 中， ， ，若 ，
，则（ ）
A． 有最小值， 无最小值 B． 有最小值， 无最大值
C． 无最小值， 有最小值 D． 无最大值， 有最大值
三、填空题
12．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， ，则
．
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学科网（北京）股份有限公司13．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则 的
最小值为 .
14．（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则实数
．
四、解答题
15．（2023·四川南充·一模）已知数列{a }是首项为2的等比数列,且 是 和 的等差中项．
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若数列 的公比 ,设数列{b }满足 ,求{b }的前2023项和 ．
n n
16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列{a }的前 项和为 ， ，等比数列{b }的公比为 ，
n n
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前10项和．
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列 对任意正整数 满足：
．
(1)若 为等差数列，求 ；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
18．（2024·山东·二模）已知{a }是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且 成等比数列.
n
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学科网（北京）股份有限公司(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设 ，求数列{b }的前 项和 .
n
19．（2023·湖南常德·一模）已知数列 满足 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求 的前n项和 .
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