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第十六讲：等差、等比数列
【考点梳理】
数列 的前 项和为 与通项公式为
1.
的前 项和为 ，通项公式为 ，则
若数列
注意：根据 求 时，不要忽视对 的验证．
2.等差数列
（1）如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
（2）通项公式的推广： ．
（3）等差中项
若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ．
（4）等差数列的性质
在等差数列 中，当 时， ．
特别地，若 ，则 ．
（5）等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
（6）在等差数列 中，若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；若
，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
3.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则它的通项公式 ．
推广形式：
（2）等比中项：如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．
即 是 与 的等比中项 ⇔ ， ， 成等比数列 ⇒ ．
（3）等比中项的推广．
若 时，则 ，特别地，当 时， ．（4）等比数列的前n项和公式
等比数列 的公比为 ，其前 项和为
【典型题型讲解】
考点一：等差、等比数列基本量运算
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15， ， ， 成等差
数列，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【详解】设等比数列 的公比为 ， ，
故由题意可得： ， ，
解得 ， ，
故选：A
例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】．B
【详解】A选择中，由 即 ，解得
B选项中，C选项中，由 ， ，
D选项中，
故选：B
【方法技巧与总结】
等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差
公比
或项数 ．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． 和
或
是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前 项和．利用等差数列的前 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练】
1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列 的公差
_________．
【答案】．2
【详解】由题意知， ，
，
解得 .
故答案为：
2．（2022·广东中山·高三期末）已知 为正项等比数列，且 ，设 为该数列的前 项积，则
（ ）A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【详解】因为 是正项等比数列，所以 ， （ 舍去），
．
故选：C．
3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列 的前n项和 ，若 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：因为 ，
所以 .
故选：B.
4．（2022·广东汕头·高三期末）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列 的公差为 ，由题知 ，解得 ，
所以， ， ，
则 ， .
故选：D.
5．（2022·广东中山·高三期末）在数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
________．
【答案】【详解】由 得： ，而 ，
于是得数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则有 ，
所以数列 的通项公式为： .
故答案为：
6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列 中， 分别是方程 的两个根，则
__________.
【答案】8
【详解】根据韦达定理可得 ，由等差数列的性质可得 ，
从而可得 .
故答案为：8
7.（2022·广东潮州·高三期末）设 是首项为2的等比数列， 是其前n项和．若 ，则
_________．
【答案】.62
【详解】设数列 的公比为 ，则根据题意得，
又 ，所以计算得 .
由等比数列前n项和 得，数列 的前五项和为，
故答案为：62.8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列 的前n项和是 ，且 ，则 ______．
【答案】.136
【详解】由题意得 ．
故答案为：136
9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列 前n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值．
【答案】．(1) (2)7
【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为 ，则 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2） ，
，
由题得 ，解得 ，
因为 ，所以n的最小值是7．
10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，求数列 的前 项和 .【答案】．(1) (2)
（1）
设数列 的公比为 ，依题意可得
解得 或 ，又因为数列 的各项均为正数，所以 .
从而可求得 ，
所以， .
（2）
，
11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列 的前n项和为 ．
(1)求数列 的通项公式 及前n项和 ；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．在 这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】．(1) ；
(2)若选 ， ；
若选 ， .
(1)
设等差数列的公差为 ，由 ，可得：
；
(2)
若选 .
因为 ，
所以 ，
因此 ，
，两个等式相减得：
，
，
；
若选 ，因为 ，
所以 ，因此有：
.
12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在任意相邻两项 和 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，
求数列 的前200项的和 .
【答案】．(1) (2)
（1）
解：设等差数列 的公差为 ，
由题得 ，即 ，
整理得 ，
解得 .
所以 .
（2）
方法一：由题意可知， 的各项为
即 ，因为 ，
且 ，
所以 ， ， ， ， ， ， 会出现在数列 的前200项中，
所以 前面（包括 ）共有126+7=133项，所以 后面（不包括 ）还有67个1，
所以 ，
方法二：在数列 中， 前面（包括 ）共有 项，
令 ，则 ，
所以 ， ， ， ， ， ， 会出现在数列 的前200项中，
所以 前面（包括 ）共有126+7=133项，所以 后面（不包括 ）还有67个1，
所以 ，
13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 满足 是 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】．(1) (2)
(1)
设等比数列 的公比为q，
，又 ，∴ ， ， ；
(2)，
①，
②，
①-②得： ，
.
14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，当 时， ，求数列 的前n项和
【答案】．(1) (2)
(1)
解：设数列 公比为 ，因为数列 正项等比数列，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，所以 ，即 ，
解得 或 (舍去)，所以 ，
所以数列 的通项公式 .
(2)
解：由 ，所以 ，
当 时，可得 ，且 ，
所以 时， ，当 时， ，适合 ，
15．（2022·广东惠州·一模）已知数列 满足 ，且数列 是
等差数列.
(1)求数列 的通项公式：
(2)设数列 的前 项和为 ，若 且 ，求集合A中所有元素的和 .
【答案】．(1) (2)
(1)
由 ，故 ，
可得 ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∵数列 是等差数列，
∴数列 的公差 ，
∴ ，
∴ ；
(2)
由(1)得 ， ，
∴ ，
可得 ，∴ 为奇数时 ，故1，3，5，...109都是集合A中的元素，
又 ，
∴ 为偶数时 ，
由 得 ，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，
∴ .
考点二：等差、等比数列的判定或证明
【典例例题】
例1．（2022·广东·一模）已知正项数列 ，其前n项和 满足 .
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的表达式；
(2)数列 中是否存在连续三项 ， ， ，使得 ， ， 构成等差数列？请说明理由.
【答案】．(1)证明见解析， ；
(1)
依题意，正项数列 中， ，即 ，当 时， ，即 ，
整理得 ，又 ，因此，数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
则 ，因为 是正项数列，即 ，
所以 .
(2)
不存在，
当 时， ，又 ，即 ，都有 ，
则 ，假设存在满足要求的连续三项 ，使得 构成等差数列，
则 ，即 ，
两边同时平方，得 ，即 ，
整理得： ，即 ，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列 中不存在满足要求的连续三项.
例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列 ， 满足 ， ，且 ，
(1)求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
(2)求数列 ， 的通项公式．
【答案】．(1) ， ，证明见解析 (2) ，
(1)
∵
∴ ， .
∵ ，∴ ＝
∴
∴ 是 为首项， 为公比的等比数列
(2)
由（1）知 是 为首项， 为公比的等比数列.
∴ ，∴
∵ ，∴∴当 时，
.
当 时， 也适合上式
所以数列 的通项公式为
数列 的通项公式为 .
【方法技巧与总结】
1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；
2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。
【变式训练】
1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列 是等比数列，公比为 ，前 项和为 ，下列
判断正确的有（ ）
A． 为等比数列 B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．若 ，则
【答案】．AD
【详解】A选项，设 ，则 ，所以 为等比数列，A正确；
B选项，若 ，则 没意义，故B错误；
C选项，当 时， ，等比数列的任一项都不能为0，故C错误；D选项，由题意得 ， ，
由 得， ， ，即 ，
所以 ，故D正确；
故选：AD.
2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列 的公差， 为其前n项和，若 为递
减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列 为递减数列 B．数列 是等差数列
C． ， ， 依次成等差数列 D．若 ， ，则
【答案】.BD
【详解】由题意可知数列 是等差数列，且递减，
则 ，
不妨举例如：
则 ，这三项不构成递减数列，故A错；
而 ,这三项不构成等差数列，说明C错；
对于B， ，是关于n的一次函数，
因此 是等差数列，故B正确；
对于D， ，则 ，
，则 ，故 ，故D正确，
故选：BD.
3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列 中， .则下列结论
中正确的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
【答案】．ABD
【详解】因为数列 中， ，
所以 ，
则 是以1为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
由累加法得 ，
所以 ，
当n为奇数时， 是递增数列，所以 ，
当n为偶数时， 是递减数列，所以 ，
所以 ， 是以1为首项，以 为公比的等比数列，又 ，所以 ，
故选：ABD
4.（2022·广东汕头·一模）已知数列 的前n项和为 ， .
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的前n项和为 ；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.
（1）当 时， ，即 由 ，则 两式相减可得
，即 所以 ，即 数列 为等比数列则
，所以 则
（2） 所以
5．（2022·广东深圳·一模）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析 (2)
（1）由 ，得 ，
又 ，故 ，
故 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）
由（1）可知 ，所以 ，
所以 ．
6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列 满足 ， ，且 （ ）．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 的前n项和为 ，若 ，均有 ，求实数 的最小值．
【答案】．(1)证明见解析 (2)
(1)
解：因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
(2)
解：由（1），得 ，所以 ， ，…， （ ），
所以
（ ），
经检验当 时， ，亦满足 ，
所以 ( )，
所以 ，
因为任意 ，均有 ，
所以 ( ) ，
又因为 ( )，
所以 ，即实数 的最小值为 .
7．（2022·广东佛山·高三期末）设 为等比数列 的前 项和， 、 、 成等差数列.
(1)求证： 、 、 成等差数列；
(2)若 ， 是数列 的前 项积，求 的最大值及相应 的值.
【答案】．(1)证明见解析；(2)当 或 时， 取得最大值 .
(1)
解：设等比数列 的公比为 .
当 时，则 ，则 ，故 ，
由已知可得 ，得 ，整理得 ，
即 ，因为 ，可得 ，故 ， ，所以， ，
因此， 、 、 成等差数列.
(2)
解： ，所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以， ，显然 ，令 ，解得 ，
故当 或 时， 取最大值，且 .
8.已知数列{an}满足
(1)问数列 是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式.
【解析】(1)由 ，解得： ， ， ， ，∵a －a
3 2
＝2，a －a ＝3，∴ ，
4 3
∴数列{an}不是等差数列.
又∵ ， ，∴ ，∴数列{an}也不是等比数列.
(2)证明：∵对任意正整数n， 为偶数，所以 ，∴ ，即
，其中 ，∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
从而对 n∈N*， ，则 .
∀
∴数列 的通项公式是 (n∈N*).
考点三：等差、等比综合应用
【典例例题】
例1.在① ，② 这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列 满足 ，且 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 的前n项和为 ， ，_________，求 ．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
【解析】(1)设等差数列 的公差为d，则 ，
因为 ，且 成等比数列，
所以 ，解得： 或 （舍），
所以 ．
(2)选择①：设等比数列 的公比为q，
因为 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 或 （舍），
所以 ．选择②：设等比数列 的公比为q，
因为 ， ，即 ，可得 或 （舍），
所以 ．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列
通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数
列．
【变式训练】
1.已知等差数列 公差不为0，正项等比数列 ， ， ，则以下命题中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列 公差为 ，正项等比数列 公比为 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，
由 得 ， ， ，
所以 时， ， 时， ．
， ，由 ， ，
即 ， （*），
令 ， ，（*）式为 ，其中 ， 且 ，
由已知 和 是方程 的两个解，记 ， 且 ， 是一次函数， 是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程 才
可能有两解（题中 时， ， 时， ，满足同增减）．
如图，作出 和 的图象，它们在 和 时相交，
无论 还是 ，由图象可得， ， ，
时， ， 时， ，
因此 ， ， ， ，
即 ，
故选：B
2.已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
等差数列的通项公式是关于 的一次函数， ，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列 的通项公式是关于 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当 时，如下图所示，当公差 时，如下图所示，
如图可知当 时， ， ， ， .
故选：D
3．已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【解析】(1)设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原
命题得证．
(2)由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
4．已知数列 是公差为2的等差数列，数列 是首项为2的等比数列，且 ．设数列 满足 ，其中 ，其前n项和为 ．
(1)求 的值．
(2)若 ，求证： ．
【解析】(1)解：因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
，
；
(2) ．
当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以 ，
.
5．已知公差为正数的等差数列 ， 与 的等差中项为 ，且 ．(1)求 的通项公式；
(2)从 中依次取出第 项、第 项、第 项、…、第 项，按照原来的顺序组成一个新数列 ，求数
列 的前 项和 ．
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，
与 的等差中项为 ， ，解得： ；
， ，
；
(2)由（1）得： ，即 ，
.
【巩固练习】
一、选择题：
1．若 ， ， ， 成等比数列，则下列三个数列：① ；② ；③ ，
必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若 ， ， ， 为 ，则 不为等比数列，①不符合；
由 ， ， ， 必非零且公比为 ，则 也非零且公比为 ，②符合；
若 ， ， ， 为 ，则 不为等比数列，③不符合；
故选：B
2．已知数列 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若 、数列 的第2项、数列
的第5项恰好构成等比数列，则数列 的通项公式为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，所以 ，所以 ，
，又 、数列 的第2项、数列 的第5项恰好构成等比数列，
即 ， ， 构成等比数列，所以 ，
解得 ， （舍去），所以 .
故选：A.
3．已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，由 ①，可得： ②，两式相减得： ，
所以 ， ，
当 时， ，
故数列 是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以 ，
所以
故选：C
4．数列 为等比数列， ， ，命题 ，命题 是 、 的等比中项，则 是 的
（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A【解析】因为数列 为等比数列，且 ， ，若 ，则 ，
则 是 、 的等比中项，即 ；
若 是 、 的等比中项，设 的公比为 ，则 ，
因为 ，故 ，即 .
因此， 是 的充要条件.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 满足 ， ， ，则下列
选项不正确的是（ ）
A． 是等比数列 B．
C． 是等比数列 D．
【答案】B
【解析】对于A：当 是奇数时， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以当 是奇数时， ，即 ．
即 是以首项为 ，公比为1的等比数列，
即选项A正确；
对于B：由A知：当 是奇数时， ，
所以 ，即选项B错误；
对于C：当 为偶数时， ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 是以首项为2，公比为2的等比数列，
故选项C正确；
对于D：
，即选项D正确．
故选：B.
二、选择题：
6．若数列 是等比数列，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
【答案】AD
【解析】设等比数列 的公比为 ，
，则 是以 为公比的等比数列，A对；
时， ，则 不是等比数列，B错；
， 时， ，
此时 不是等比数列，C错；，所以， 是公比为 的等比数列，D对.
故选：AD．
7．已知等差数列 的公差和首项都不等于0，且 ， ， 成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题设，若 的公差和首项分别为 ，而 ，
∴ ，整理得 ，又公差和首项都不等于0，
∴ ，故D正确，C错误；
∵ ，
∴ ，故A正确，B错误.
故选：AD
8．数列{an}的前n项和为Sn， ，则有（ ）
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．
【答案】ABD
【解析】依题意 ，
当 时， ，
当 时， ，，所以 ，
所以 ，
所以 .
当 时， ；当 时， 符合上式，所以 .
，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
三、填空题：
9．在等比数列 中， 为其前n项和，若 ， ，则 的公比为______．
【答案】１或 .
【解析】解：当 时，满足 ， ，此时 ；
当 时，由 ， ，
可得： ，解得 ，此时 .
综上所述：公比 的值为：１或 .
故答案为：１或 .
10．设等比数列 的前n项和为 ，若 ，且 ，则λ＝________.
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，
将 代入，可得 .
故答案为：
四、解答题：
11.已知公比大于1的等比数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和．
【解析】(1)设等比数列 的公比为 ,由 ， ，
可得 ，即得 ，
解得 或 （舍去），
故 ，
由数列 的前n项和为 ，可得 ，
当 时， ， 适合该式，
故 ；
(2)若 ，则 ，
故 ，即 ，
即 为常数列，则数列 的前n项和为2n.
12.已知数列{ }满足 ， ．(1)证明{ }是等比数列，并求{ }的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】(1)由题意可得：
∵
所以 是首项为2，公比为2的等比数列
则 ，即
因此{ }的通项公式为
(2)由（1）知 ，令 则
所以 ．
．
综上 ．
13.已知数列 和 ，其中 ， ，数列 的前 项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 是各项为正的等比数列， ，求数列 和 的通项公式．
【解析】(1)当 时， ，从而 是等差数列，，所以 是等比数列
又 ，则
所以
(2) 是各项为正的等比数列，设其首项为 ，公比为q，
由 ，可得 ，则 （定值）
则数列 为等差数列，设其首项为 ，公差为d，
由数列 的前 项和 ，
可得方程组 整理得
解得 ，则
由 ，可得 ，则
则数列 的通项公式为 ；数列 的通项公式为 ．
14.设 是各项为正的等比数列 的前 项的和，且 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 （ ）个相同的数 ，组成数列 ，记数列
的前 项的和为 ，求 的值.
【解析】(1)解：设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
则等比数列 的通项公式为 ， .
(2)解：数列 中在 之前共有 项，
当 时， ，当 时， ，
则 ，
.
则所求的数列 的前 项和为 .
15.（2022·广东茂名·二模）已知 是首项为1，公差不为0的等差数列，且a ，a ，a 成等比数列．
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(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： ．
【解析】(1)设等差数列 的通项公式为d（d≠0），
由 ，所以 ，
又 ，得 ， .
(2)∵ ，
∴ ，
.
