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第十六讲：等差、等比数列
【考点梳理】
数列 的前 项和为 与通项公式为
1.
的前 项和为 ，通项公式为 ，则
若数列
注意：根据 求 时，不要忽视对 的验证．
2.等差数列
（1）如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
（2）通项公式的推广： ．
（3）等差中项
若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ．
（4）等差数列的性质
在等差数列 中，当 时， ．
特别地，若 ，则 ．
（5）等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
（6）在等差数列 中，若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；若
，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
3.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则它的通项公式 ．
推广形式：
（2）等比中项：如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．
即 是 与 的等比中项 ⇔ ， ， 成等比数列 ⇒ ．
（3）等比中项的推广．
若 时，则 ，特别地，当 时， ．（4）等比数列的前n项和公式
等比数列 的公比为 ，其前 项和为
【典型题型讲解】
考点一：等差、等比数列基本量运算
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15， ， ， 成等差
数列，则 （ ）
A． B． C． D．5
例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【方法技巧与总结】
等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差
公比
或项数 ．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． 和
或
是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前 项和．利用等差数列的前 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练】
1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列 的公差
_________．
2．（2022·广东中山·高三期末）已知 为正项等比数列，且 ，设 为该数列的前 项积，则
（ ）A．8 B．16 C．32 D．64
3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列 的前n项和 ，若 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·广东汕头·高三期末）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东中山·高三期末）在数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
________．
6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列 中， 分别是方程 的两个根，则
__________.
7.（2022·广东潮州·高三期末）设 是首项为2的等比数列， 是其前n项和．若 ，则
_________．
8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列 的前n项和是 ，且 ，则 ______．
9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列 前n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值．
10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，求数列 的前 项和 .11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列 的前n项和为 ．
(1)求数列 的通项公式 及前n项和 ；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
在 这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)在任意相邻两项 和 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，
求数列 的前200项的和 .
13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 满足 是 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列 的前n项和为 ，且 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，当 时， ，求数列 的前n项和
15．（2022·广东惠州·一模）已知数列 满足 ，且数列 是
等差数列.
(1)求数列 的通项公式：
(2)设数列 的前 项和为 ，若 且 ，求集合A中所有元素的和 .
.
考点二：等差、等比数列的判定或证明
【典例例题】例1．（2022·广东·一模）已知正项数列 ，其前n项和 满足 .
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的表达式；
(2)数列 中是否存在连续三项 ， ， ，使得 ， ， 构成等差数列？请说明理由.
例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列 ， 满足 ， ，且 ，
(1)求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
(2)求数列 ， 的通项公式．
【方法技巧与总结】
1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；
2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。【变式训练】
1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列 是等比数列，公比为 ，前 项和为 ，下列
判断正确的有（ ）
A． 为等比数列 B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．若 ，则
2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列 的公差， 为其前n项和，若 为递
减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列 为递减数列 B．数列 是等差数列
C． ， ， 依次成等差数列 D．若 ， ，则
3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列 中， .则下列结论
中正确的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
4.（2022·广东汕头·一模）已知数列 的前n项和为 ， .(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的前n项和为 ；
(2)设 ，证明： .
5．（2022·广东深圳·一模）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列 满足 ， ，且 （ ）．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 的前n项和为 ，若 ，均有 ，求实数 的最小值．
7．（2022·广东佛山·高三期末）设 为等比数列 的前 项和， 、 、 成等差数列.
(1)求证： 、 、 成等差数列；
(2)若 ， 是数列 的前 项积，求 的最大值及相应 的值.8.已知数列{an}满足
(1)问数列 是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式.
考点三：等差、等比综合应用
【典例例题】
例1.在① ，② 这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列 满足 ，且 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 的前n项和为 ， ，_________，求 ．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列
通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数
列．
【变式训练】
1.已知等差数列 公差不为0，正项等比数列 ， ， ，则以下命题中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
2.已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
4．已知数列 是公差为2的等差数列，数列 是首项为2的等比数列，且 ．设
数列 满足 ，其中 ，其前n项和为 ．(1)求 的值．
(2)若 ，求证： ．
5．已知公差为正数的等差数列 ， 与 的等差中项为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)从 中依次取出第 项、第 项、第 项、…、第 项，按照原来的顺序组成一个新数列 ，求数
列 的前 项和 ．
【巩固练习】
一、选择题：
1．若 ， ， ， 成等比数列，则下列三个数列：① ；② ；③ ，
必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若 、数列 的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．数列 为等比数列， ， ，命题 ，命题 是 、 的等比中项，则 是 的
（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 满足 ， ， ，则下列
选项不正确的是（ ）
A． 是等比数列 B．
C． 是等比数列 D．
二、选择题：
6．若数列 是等比数列，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
7．已知等差数列 的公差和首项都不等于0，且 ， ， 成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．数列{an}的前n项和为Sn， ，则有（ ）
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．
三、填空题：
9．在等比数列 中， 为其前n项和，若 ， ，则 的公比为______．
10．设等比数列 的前n项和为 ，若 ，且 ，则λ＝________.
四、解答题：
11.已知公比大于1的等比数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和．
12.已知数列{ }满足 ， ．
(1)证明{ }是等比数列，并求{ }的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．13.已知数列 和 ，其中 ， ，数列 的前 项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 是各项为正的等比数列， ，求数列 和 的通项公式．
14.设 是各项为正的等比数列 的前 项的和，且 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 （ ）个相同的数 ，组成数列 ，记数列
的前 项的和为 ，求 的值.
15.（2022·广东茂名·二模）已知 是首项为1，公差不为0的等差数列，且a ，a ，a 成等比数列．
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(1)求数列 的通项公式；(2)求证： ．
