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濉溪县 2024-2025 学年度第二学期第二次模拟考试
九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．）
1. 在 这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值，熟知正数和0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数是解题
的关键．分别求出四个数的绝对值即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴四个数中，绝对值最大的数是 ，
故选A．
2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨
道时飞行 大约需要 ．数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：数据 用科学记数法表示为 ，
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握公式是解题的关
键．同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方逐项分析即可．
【详解】解：A， ，故该选项不正确，不符合题意；
B， ，故该选项不正确，不符合题意；
C， ，故该选项正确，符合题意；
D， ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下
右图是其中一种卯，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的
图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚
线之间，即故选：D．
5. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 ，道路 与 的夹角 ，城市规
划部门想新修一条道路 ，要求 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，等腰三角形性质及三角形外角性质，先根据平行线的性质，由
得到 ，然后根据等腰三角形性质及三角形外角性质即可计算 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
6. 某校七、八年级为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，准备选取“渡江战役纪念馆”、
“合肥科技馆”、“包公园”、“古道逍遥津”作为候选研学基地．若各年级随机选择一个，则该校七年
级和八年级最终只有一个年级选择“古道道遥津”作为研学基地的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及该校七年级和八年级最终只有一个年级选择“古道道遥津”作为研学基地
的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将“渡江战役纪念馆”、“合肥科技馆”、“包公园”、“古道逍遥津”分别记为 ， ，
， ，
列表如下：
由表可知，共有16种等可能的结果，其中该校七年级和八年级最终只有一个年级选择“古道道遥津”作为
研学基地的结果有6种，
该校七年级和八年级最终只有一个年级选择“古道道遥津”作为研学基地的概率为 ．
故选：D
7. 如图，四边形 中， 平分 ，且 为垂足， ．若
，则 的长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，延长 交于点 ，证明
，得到 ，进而得到 ，证明 ，
列出比例式进行求解即可．【详解】解：延长 交于点 ，
∵ 平分 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
8. 如图是抛物线 （ ， ， 是常数且 ）的图象，则双曲线 和直线
在同一坐标系中的位置可能为（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物
线图象可得，当 时， ，即 ，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知
，则 ；又抛物线与 轴交于负半轴，则 ，即可判断一次函数的图象，采用数形
结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：根据抛物线图象可得，当 时， ，即 ，故双曲线 分别位
于第二、四象限；
由抛物线图象可知 ， ，则 ，
∵抛物线与 轴交于负半轴，则 ，
∴直线 经过第二、三、四象限，故选项A符合题意．
故选：A．
9. 已知三个实数 ， ， 满足 ， ，则（ ）A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用；将 得到
，根据 得出 ，将 ，代入 即可进行解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
综上： ， ，故选：B．
10. 如图， 为 的中点，若点D在直线
上运动，连接 ，则在点D运动过程中，线段 的最小值是（ ）
A. 2.4 B. 3 C. 4 D. 4.8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，勾股定理，
面积法，想到将求 的最小值值转换为求 的最小值，因想到连接 证明 ，求 的
最小值则应该求 的最小值，是解题的关键．
连接 将 与 的交点记为G，利用三角形相似的性质，进行角度转换证明 ，F是
的中点，可得 ，再根据当 时， 最短，此时 最短，根据直角三角形的面
积以及相似三角形的性质，求得 的最小值，即可得出 的最小值．
【详解】解：如图，连接 将 与 的交点记为G，
，
，
，，
，
，
，
，
中， ，
，即 ，
∵F是 的中点，
，
，
∴
在 中， ,
∴ ，
∴ ，即 ，
∴当 时， 最短，此时 也最短，
当 时， ，
，
，，
即线段 的最小值是4．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
12. 满足不等式组 的所有正整数解的和为____________．
【答案】7
【解析】
【分析】首先根据不等式的性质，求出不等式组中的每个不等式的解集，然后在其公共解集中，找出符合
条件的正整数，再求和即可.
【详解】解：由 得， ，
由 得， ，
∴不等式组的解集为： ；
∴不等式组的正整数解为：3，4，
∴所有正整数解的和为3+4=7．
故答案为：7.
【点睛】本题主要考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取
较小，小大大小中间找，大大小小解不了．13. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 ， 在函数 的图象上，过点 作
轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 ， ，若 ，且四边形 的面
积为 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，设 ，则 ， ，从而可求出
，然后由四边形 的面积为 ，即 ，再代入即可求解，掌握知识
点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点 在函数 的图象上，
∴设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
14. 如图，在正方形 中，点E，F为边 上的点，将 ， 分别沿 折叠，
点B，D恰好落在 上的点G处，再将 沿 折叠，点C落在 上的点H处．
（1） _______；
（2）若 ，则 的长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形：根据折叠的性质求得 是解
题的关键．（1）利用折叠的性质及三角组成平角即可求得 ，从而求得 ，则根据特殊角正
弦函数可求得结果；
（2）由 及 ，可求得 ，进而求得 ，在 中，利用三角函数
即可求得结果．
【详解】解：（1）由折叠的性质得： ，
即 ，
而 ，
∴ ；
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ；
∴ ；
由折叠知： ， ，
∴ ；
在 中， ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的计算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关计
算法则是解题的关键；
先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，然后进行乘法运算后合并即可．
【详解】解：
16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，
的顶点都在格点上．
（1）将 向左平移6个单位长度得到 ，请画出 ；
（2）以原点O为旋转中心，将 按逆时针方向旋转 ，得到 ，请画出 ．
（3）若将 绕某一点旋转可得到 ，那么旋转中心的坐标为__________，旋转角度为
__________°．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作——旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键；
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ， ， ，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出 ， ， ，的对应点 ， ， ，即可；
（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心；
【小问1详解】
解：如图， 即为所作∶
【小问2详解】
如图， 即为所作∶
【小问3详解】
如图，若将 绕某一点旋转可得到 ，那么旋转中心P的坐标为 ，旋转角度为 ；故答案为： ； ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，
盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出
7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？
【答案】合伙人数为7人，物价为53钱
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系．设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：① 人数−物品价值 ，②物品价值
人数 ，据此可列方程组即可解答．
【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，
根据题意得
解得
答：合伙人数为7人，物价为53钱．
18. 【观察思考】
一人巷是位于合肥市国家 级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一
定规律组合砌成的（如图②）．当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此
类推．
【规律发现】
若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则
（1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）；
（2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为 ；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为
；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为 ；……；当竖放的方砖为n时，墙
体的长度为__________．（墙体长度单位均为 ）
【规律应用】
（3）已知需要砌一段长为 的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？
【答案】（1） ； （2） ； （3）需要方砖423块．
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类他规律探索，一元一次方程的应用：
（1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放 块方砖；
（2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为 ；
（3）根据（2）所求得到方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放 块方砖；
当竖放2块方砖，就横放 块方砖；
当竖放3块方砖，就横放 块方砖；
当竖放4块方砖，就横放 块方砖；
……，以此类推，当竖放n块方砖，就横放 块方砖；
故答案为： ；
（2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为 ；
当竖放的方砖为2时，墙体的长度为 ；
当竖放的方砖为3时，墙体的长度为 ；
……；
以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为 ；
故答案为： ．
（3）当 时，
解得 ，
∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为 （块），
的
∴方砖 总数为 （块），
答：需要方砖423块．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统，它极大的方便了航海时轮船的定位． 如
图，灯塔B位于港口A的北偏东 方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，
且B，C之间的距离为9km． 一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东
37°方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据： ，
， ， ）【答案】32km
【解析】
【分析】延长 交直线 于点E，则 ，解直角三角形 ，求出 ，可得 ，解直
角三角形 ，求出 ，进而可得结果．
【详解】解：延长 交直线 于点E，则 ，
在直角三角形 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
则在直角三角形 中，∵ ，
∴ ，
∴ km；
答：D处距离港口A32km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，熟练
掌握锐角三角函数的知识是解题关键．
20. 如图1， 是 的直径， 是弦，D是 的中点， 与 交于点E， 为 的切线，
点F在 延长线上，
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理等知识．
（1）连接 ，证明 ，则 ，由 为 的切线，得到
，则 ，进一步证明 ，即可得到结论；
（2）设 ，则 ，在 中， ，解得 ，得
到 ， ，则 ，即可求出答案．【小问1详解】
证明：如图1，连接 ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴
【小问2详解】
如图，设 ，则 ，
在
中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测
试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四
个等级
部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）所抽取的学生成绩为C等级为__________人；在扇形统计图中D组所在扇形圆心角的度数为
__________
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】（1）7，
（2）85 （3）估计成绩为A等级的人数约为120人
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关
键．
（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可求出C等级人数；
用360度乘以D等级人数所占的比例即可求出D组所在扇形圆心角的度数；
（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中7人，D中1人，B中
12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为： ；
（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．
【小问1详解】
解：总人数为： （人），
∴抽取的学生成组为C等级的人数为： （人）；
．
故答案为：7， ；
【小问2详解】
解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为： ；
【小问3详解】
解：成绩为A等级的人数为： （人），
答：成绩为A等级的人数为120．七、（本题满分12分）
22. 如图1，菱形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ．
（1）求证： ；
（2）求 的最小值；
（3）如图2，线段 的中点是点 ，连接 ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，三角函数，
（1）由 ，所以 ．因为 是菱形，且 ，所以 与
都是正三角形，从而 ， ，故 ．
（2）解：过 作 延长线的垂线，交于点 ，设 ，则 ，根据勾股定
理，得 ，所以当 时， 有最小值为 ．
（3）解：方法一：过点 作边 的垂线，交 与点 ，交 于点 ．再过点 向边 所在的直
线作垂线，交 的延长线于点 ．设 ，则 ，可得四边形 的
面积．方法二：取 中点 ，连接 ，过 作 于 ，得，求出 ， ，可得四边形 的面
积．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ 与 都 是正三角形，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过 作 延长线的垂线，交于点 ，设 ，则 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中，据勾股定理，得
，
∴当 时， 有最小值为 ．
【小问3详解】
解：方法一：过点 作边 的垂线，交 于点 ，交 于点 ．再过点 向边 所在的直
线作垂线，交 的延长线于点 ．设 ，则 ，
∵线段 的中点是点 ，∴ ．
故 ．
过点 作边 的垂线，交 于点 ．
同理可得 ，
∴四边形 的面积 ．
方法二：取 中点 ，连接 ，过 作 于 ，
则 ，
∵ ，
所以 ，
同理： ，
∴ ．
八、（本题满分14分）23. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含 的代数式表示）
（2）点 ， 在抛物线上，其中 ， ，
若 的最小值是 ，求 的最大值；
若对于 ，都有 ，求出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ， 或 ．
【解析】
【分析】（ ）通过配方配成顶点式即可求解；
（ ） 由抛物线对称轴为 ， ，当 时， 的最小值为 ，求出 ，然后
代入即可求解；
当 时， 取最大值，最大值为 ，当 时， ，根据有 ，则
，再解出 的范围即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解： 抛物线对称轴为 ，
∵ ，
∴抛物线开口向上
∵ ，
∴当 时， 的最小值为 ，∵ 的最小值是 ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ；
∵ ， ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ，
当 时， ，
对于 ， 均有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系
求参数的范围，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
