文档内容
第 1 讲 等差（等比）数列
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
突破二：等差（等比）中项
突破三：等差（等比）数列下标和性质
突破四：等差（等比）数列的单调性
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
突破六：等差（等比）数列片段和性质
突破七：两个等差数列前 项和比的问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、等差中项
由三个数 ， , 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做 与 的等差中项.这三
个数满足关系式 .
2、等差数列的单调性
①当 ，等差数列 为递增数列
②当 ，等差数列 为递减数列
③当 ，等差数列 为常数列
3、等差数列的四种判断方法
(1)定义法 （或者 ）( 是常数) 是等差数列．
(2)等差中项法： ( ) 是等差数列．
(3)通项公式： ( 为常数) 是等差数列．（ 可以看做关于 的一次函数）
(4)前 项和公式： ( 为常数) 是等差数列．( 可以看做关于 的二次函数，
但是不含常数项 ）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
4、等差数列前 项和性质
(1)若数列 是公差为 的等差数列,则数列 也是等差数列,且公差为(2)设等差数列 的公差为 , 为其前 项和,则 ， ， ， ,…组成公差
为 的等差数列
(3)在等差数列 ， 中，它们的前 项和分别记为 则
(4)若等差数列 的项数为 ,则
， 。
(5)若等差数列 的项数为 ,则
， ， ，
5、等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比中项⇔ ，
， 成等比数列⇔ .
6、等比数列的单调性
已知等比数列 的首项为 ，公比为
1、当 或 时，等比数列 为递增数列；
2、当 或 时，等比数列 为递减数列；
3、当 时，等比数列 为常数列（ ）
4、当 时，等比数列 为摆动数列.
7、等比数列的判断（证明）
1、定义： （或者 ）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证 （特别注意 ）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于 的指数型函数（只可判断）
8、等比数列前 项和的性质
公比为 的等比数列 的前 项和为 ,关于 的性质常考的有以下四类:
(1)数列 ， ， ， ,…组成公比为 （ ）的等比数列
(2)当 是偶数时,
当 是奇数时,(3)
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
1．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）“数列 为等差数列”是“数列 为等比数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·山东省莒南第一中学高三期中）“数列 为等比数列”是“数列 为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知等比数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等差等列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列
4．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列 满足 ，则“ ， ， ”是“
为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·全国·高三专题练习）数列 中，“ ， ”是“ 是公比为2的等比数列”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列
是（ ）
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列突破二：等差（等比）中项
1．（2022·广西河池·模拟预测（文））已知 ， ，且 是 与 的等差中项，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知正项等比数列 满足 ，若 是
和 的等差中项，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·高三期中）已知数列 是等差数列，且 ．若 是 和
的等差中项，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且 ，若 ， ， 成等比数
列，则 ______．
5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为
__________．
6．（2022·天津河东·高二期末）设各项均为正数的等差数列 的前n（ ）项和为 ， ，且
是 与 的等比中项，则数列 的公差d为______．
突破三：等差（等比）数列下标和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 满足 （ ， ），则
_____．
2．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知数列 为等差数列，其前 项和为
，则 ___________.
3．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）设 为公比 的等比数列，若 和 是方程的两根，则 ___________.
4．（2022·福建省福州第八中学高三阶段练习）在正项等比数列 中，若 ，则
______．
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
， ，则 ___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为
___________.
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ，
，则 ___________.
突破四：等差（等比）数列的单调性
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列 中， 记
，则数列 （ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足
若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ，
， ，则使 成立的最大自然数 的值为（ ）
A．9 B．10
C．18 D．19
4．（2022·安徽·高三开学考试）设正项等比数列 的前 项乘积为 ， 已知 ，则 的
（ ）
A．最大值为 32 B．最大值为 1024C．最小值为 D．最小值为
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为
261，则 的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为 ，
偶数项的和为 ， ，则公差 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有
偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
4．（2020·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首
项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之
和为 ，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列 共有 项，其中 ，偶数项和为84，奇数项和为
170，则 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
突破六：等差（等比）数列片段和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A． B．13 C．-13 D．-18
2．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 中其前n项和为 , 则 为．
A． B． C． D．3．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列 的前n项和为 ，则
= .
5．（2022·四川南充·三模（理））若等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 _____．
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若
， ，则 ________.
7．（2022·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）已知 为等比数列 的前n项和，若 ，
，则 _____________.
8．（2022·全国·高二课时练习）一个等比数列 的前 项和为10，前 项和为30，则前 项和为
_____________.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 是等比数列，其前 项和为 .若 ， ，则
___________.
突破七：两个等差数列前 项和比的问题
1．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列 的前n项和分别为 ，则
的公差为___________.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知数列 、 均为正项等比数列， 、 分别为数列 、 的
前 项积，且 ，则 的值为___________.
3．（2022·天津·南开中学高二期末）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意自然数
都有 ，则 的值为______.
4．（2022·上海·高二课时练习）已知两个等差数列 和 的前 项和的比 ，则它们相应的
第 项的比 ______．5．（2022·四川·达州市第一中学校高一阶段练习）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若
，则 ______.
6．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，则
______.
7．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知 、 分别是等差数列 、 的前 项的和，且
.则 ______.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 .若 ，则
（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知 是各项不全为零的等差数列，前n项和是 ，
且 ，若 ，则正整数m＝（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
3．（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列 满足： ， ， .若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
4．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知正项等比数列 满足 （其中
），则 的最小值为（ ）．
A．6 B．16 C． D．2
5．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， 是 与 的等比中项，则 的最小值为
（ ）
A． B．C． D．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列 ，其前n项和为 ，前
n项积为 ，满足 ．则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最大值为 D．
7．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，满足
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知数列 为等比数列，若 ， 为函数 的
两个零点，则 （ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C． ，使得
D． ，都有
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知 为数列 的前 项之和，且满足 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C． 可能为等比数列 D． 的最小值为0，最大值为20
11．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满
足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最大项 D．
12．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则下列说法中一定正确
的是（ ）
A．数列： ， ， ， 成等比数列
B．当 时，数列 是等比数列
C． 是等比数列
D． 是等比数列
三、填空题
13．（2022·河南开封·一模（文））在数列 中， ， .记 是数列 的前
项和，则 ______.
14．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 中， ， ，已知
，则 ___________.
15．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设等比数列 满足 ，记 为
中在区间 中的项的个数，则数列 的前50项和 ___________.
16．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））由正数组成的等比数
列 中，若 ，则 __________．
