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第 1 讲 等差（等比）数列
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
突破二：等差（等比）中项
突破三：等差（等比）数列下标和性质
突破四：等差（等比）数列的单调性
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
突破六：等差（等比）数列片段和性质
突破七：两个等差数列前 项和比的问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、等差中项
由三个数 ， , 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做 与 的等差中项.这三
个数满足关系式 .
2、等差数列的单调性
①当 ，等差数列 为递增数列
②当 ，等差数列 为递减数列
③当 ，等差数列 为常数列
3、等差数列的四种判断方法
(1)定义法 （或者 ）( 是常数) 是等差数列．
(2)等差中项法： ( ) 是等差数列．
(3)通项公式： ( 为常数) 是等差数列．（ 可以看做关于 的一次函数）
(4)前 项和公式： ( 为常数) 是等差数列．( 可以看做关于 的二次函数，
但是不含常数项 ）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
4、等差数列前 项和性质
(1)若数列 是公差为 的等差数列,则数列 也是等差数列,且公差为(2)设等差数列 的公差为 , 为其前 项和,则 ， ， ， ,…组成公差
为 的等差数列
(3)在等差数列 ， 中，它们的前 项和分别记为 则
(4)若等差数列 的项数为 ,则
， 。
(5)若等差数列 的项数为 ,则
， ， ，
5、等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比中项⇔ ，
， 成等比数列⇔ .
6、等比数列的单调性
已知等比数列 的首项为 ，公比为
1、当 或 时，等比数列 为递增数列；
2、当 或 时，等比数列 为递减数列；
3、当 时，等比数列 为常数列（ ）
4、当 时，等比数列 为摆动数列.
7、等比数列的判断（证明）
1、定义： （或者 ）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证 （特别注意 ）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于 的指数型函数（只可判断）
8、等比数列前 项和的性质
公比为 的等比数列 的前 项和为 ,关于 的性质常考的有以下四类:
(1)数列 ， ， ， ,…组成公比为 （ ）的等比数列
(2)当 是偶数时,
当 是奇数时,(3)
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
1．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）“数列 为等差数列”是“数列 为等比数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】取 ，则 ，故 为等差数列，
但 ， ， ， 不为等比数列，故数列 不是等比数列，
故“数列 为等差数列”推不出“数列 为等比数列”，
若数列 为等比数列，故 ，其中 ，
故 ，
故 ，故数列 为等差数列，
故“数列 为等比数列”可推出“数列 为等差数列”，
故“数列 为等差数列”是“数列 为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（2022·山东省莒南第一中学高三期中）“数列 为等比数列”是“数列 为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】数列 为等比数列，设其公比为 ，则 也为等比数列，且 ，
所以 ，所以， 为等差数列，
反之，若数列 为等差数列，例如 则 ，即 ，
满足数列 为等差数列，但推不出“数列 为等比数列”（ 正负随取构不成等比数列）.
所以，“数列 是等比数列”是“数列 为等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知等比数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等差等列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列
【答案】B
【详解】解：因为等比数列 满足 ， ，
则 ， 故数列 是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则 ， 故数列 是以0为首项，以-1为公差的等差数
列，故B正确；
由A知： 。故数列 是递增数列，故C错误；
由B知： ，故数列 是递减数列，故D错误；
故选：B
4．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列 满足 ，则“ ， ， ”是“
为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：“ ， ， ”，取 ，则 ，
为等比数列．
反之不成立， 为等比数列，设公比为 ，则 ， ，只有
时才能成立满足 ．
数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练习）数列 中，“ ， ”是“ 是公比为2的等比数列”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【详解】解：若 是公比为2的等比数列，则一定有 ， ，
若 ， ，则 不一定为等比数列，例如当 ，满足 ， ，但此
时该数列不是等比数列.
所以“ ， ”是“ 是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件.
故选：B
6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列
是（ ）
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】C
【详解】当n=1时，a =S =a-1;
1 1
当n≥2时，an=Sn-Sn- =(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).
1
当a-1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a≠1时，该数列为等比数列.
故选:C
突破二：等差（等比）中项
1．（2022·广西河池·模拟预测（文））已知 ， ，且 是 与 的等差中项，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 是 与 的等差中项，所以 ，所以 ，
因为 ， ，则 ，当且仅当 时取等号.
故选：A
2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知正项等比数列 满足 ，若 是
和 的等差中项，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】正项等比数列 满足 ，所以 ，且 ，解得 ，又因为 是 和 的等差中项，
所以 ，得 ，
即 ，
，
当且仅当 时，等号成立.
故选：A.
3．（2022·山西·高三期中）已知数列 是等差数列，且 ．若 是 和
的等差中项，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：因为数列 是等差数列，
所以 是正项等比数列，
又 ，
所以 ，
解得 或-1（舍），
又因为 是 和 的等差中项，
所以 ，
则 ，即 ．
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号．
故选：A．
4．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且 ，若 ， ， 成等比数列，则 ______．
【答案】
【详解】设a，b，c的公差为d，则 ， ，则 ，化简得
，
因为 ，所以 ，则 ，得 ，因此 ．
故答案为：
5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为
__________．
【答案】
【详解】解：由题意得 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立．
故 的最小值为 ．
故答案为：
6．（2022·天津河东·高二期末）设各项均为正数的等差数列 的前n（ ）项和为 ， ，且
是 与 的等比中项，则数列 的公差d为______．
【答案】1
【详解】设各项均为正数的等差数列 的公差为 ，
因为 是 与 的等比中项，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍）.
经检验满足题意.
故答案为：1.
突破三：等差（等比）数列下标和性质1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 满足 （ ， ），则
_____．
【答案】
【详解】因为数列 是等差数列，故 ，解得 ；
令 ，
则 ，
故
解得 .
故答案为： .
2．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知数列 为等差数列，其前 项和为
，则 ___________.
【答案】55
【详解】由题意知数列 为等差数列，设公差为d， ，
则 ，即 ，
所以 ，
故答案为：55
3．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）设 为公比 的等比数列，若 和 是方程
的两根，则 ___________.
【答案】13122
【详解】由 解得 或
和 是方程 的两根，所以
所以公比
则
故答案为：13122
4．（2022·福建省福州第八中学高三阶段练习）在正项等比数列 中，若 ，则______．
【答案】2
【详解】 ．
故答案为：2
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
， ，则 ___________.
【答案】 ##
【详解】等差数列 中， ，则 ，
等比数列 中， ，则 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为
___________.
【答案】
【详解】由题设知： ，又 为等比数列，
∴ ，且 ，而 ，
∴ ，故 .
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ，
，则 ___________.
【答案】
【详解】在等比数列 中， ，
由等比数列的性质，可得 .
在等差数列 中， ，由等差数列的性质，可得 .
.
故答案为：
突破四：等差（等比）数列的单调性
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列 中， 记
，则数列 （ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】C
【详解】解：依题意可得公差 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
因为 ， ， ，
， ，
，
又当 时， ，且 ，即 ，所以当
时，数列 单调递增，
所以数列 无最大项，数列 有最小项 .
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足
若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知 ，
对任意的 ，都有 成立，即 ，即 ，
又数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，，且 是单调递增数列，当 时， ，
，即 ，解得 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ，
， ，则使 成立的最大自然数 的值为（ ）
A．9 B．10
C．18 D．19
【答案】C
【详解】由 ，可得 一个大于 ，另一个小于 ，由 ，可得 大于 .
又 其中一个大于 ，则 都大于 ，故 .
若 ，由 ，可得 均大于 ，与题意矛盾.
故 ，由 ，可得： ， .
因为 ，又 ，当 时 单调递增，当 时 单调递减.
故当 时， 单调递增，于是此时 .
当 时， 单调递减，而 .
.
故当 时都有 ，而 是满足 成立的最大自然数 .
故选：
4．（2022·安徽·高三开学考试）设正项等比数列 的前 项乘积为 ， 已知 ，则 的
（ ）
A．最大值为 32 B．最大值为 1024
C．最小值为 D．最小值为
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为 ，因为 ,即 ，
化简可得 ，
且 ，所以
所以 ，且等比数列各项为正，所以
即等比数列是递减数列，且
所以 有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，
则
所以 的最大值为32.
故选:A.
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为
261，则 的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【详解】奇数项共有 项，其和为 ，
∴ ．
偶数项共有n项，其和为 ，
∴ ．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为 ，
偶数项的和为 ， ，则公差 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意 ， ，
所以， ，，
所以， ， .
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有
偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【详解】设等差数列 的公差为 ，项数为 ，前 项和为 ，则 ，即这个数
列的项数为20，故选择B.
4．（2020·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首
项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ,
则 ,又它的首项为1，所以通项为 ，
中间两项的和为 ，解得 ，所以项数为8，故选B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之
和为 ，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设这个等比数列 共有 项，公比为 ，
则奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ，
，
等比数列 的所有项之和为 ，则 ，
解得 ，因此，这个等比数列的项数为 .
故选：C.
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列 共有 项，其中 ，偶数项和为84，奇数项和为
170，则 （ ）A．3 B．4 C．7 D．9
【答案】A
【详解】因为等比数列 共有 项，所以等比数列中偶数项有 项，奇数项有 项，
由题意得 ，所以偶数项和为 ，奇数项和为
，相减得
故选：A
突破六：等差（等比）数列片段和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A． B．13 C．-13 D．-18
【答案】D
【详解】由 ，可设
∵ 为等差数列，∴S ，S S ，S S 为等差数列，
3 6 3 9 6
即a， 6a， 成等差数列，∴ ，即
∴
故选:D.
2．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 中其前n项和为 , 则 为．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由等差数列前 项和性质可知： ， ， 成等差数列
又 ，
本题正确选项：
3．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】等差数列 的前 项和为 ，则有 成等差数列，即 ，而 ，则 ，
所以 .
故选：B
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列 的前n项和为 ，则
= .
【答案】16
【详解】由等差数列性质知： 也成等差，
所以 成等差，即 ，
因此 ,故答案为16.
5．（2022·四川南充·三模（理））若等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 _____．
【答案】511
【详解】因为等比数列中 成等比数列，
所以 成等比数列，
所以 ，
即 ，解得： .
故答案为：511
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若
， ，则 ________.
【答案】
【详解】 ，且 ，
、 、 成等比数列，即 ，
因此， .
故答案为： .
7．（2022·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）已知 为等比数列 的前n项和，若 ，
，则 _____________.
【答案】30
【详解】 由等比数列的性质可知， ， ， 构成首项为10，公比为1
的等比数列，所以8．（2022·全国·高二课时练习）一个等比数列 的前 项和为10，前 项和为30，则前 项和为
_____________.
【答案】70
【详解】试题分析：由题意得
9．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 是等比数列，其前 项和为 .若 ， ，则
___________.
【答案】
【详解】解：因为等比数列等长连续片段的和为等比数列，因此设前10项的和为20,那么依次得到
40,80,160,这样可知前30项的和为140，那么比值即为140:2=7
突破七：两个等差数列前 项和比的问题
1．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列 的前n项和分别为 ，则
的公差为___________.
【答案】8
【详解】 可得 ，
又 ， ，
， ，
，所以 ， ，
即 的公差为8.
故答案为：8.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知数列 、 均为正项等比数列， 、 分别为数列 、 的
前 项积，且 ，则 的值为___________.
【答案】
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 （常数），
所以，数列 为等差数列，同理可知，数列 也为等差数列，
因为 ，同理可得 ，因此， .
故答案为： .
3．（2022·天津·南开中学高二期末）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意自然数
都有 ，则 的值为______.
【答案】
【详解】由等差数列的性质可得： ．
对于任意的 都有 ，
则 ．
故答案为： ．
4．（2022·上海·高二课时练习）已知两个等差数列 和 的前 项和的比 ，则它们相应的
第 项的比 ______．
【答案】
【详解】由等差数列的求和公式可得 ，同理可得
，
所以， .
故答案为： .
5．（2022·四川·达州市第一中学校高一阶段练习）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若
，则 ______.
【答案】【详解】∵数列 ， 都是等差数列，
∴ ．
故答案为： ．
6．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，则
______.
【答案】
【详解】 ，当 时
故答案为
7．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知 、 分别是等差数列 、 的前 项的和，且
.则 ______.
【答案】
【详解】试题分析：由等差数列性质可知
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 .若 ，则
（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】A
【详解】由 得： ，即 ，
数列 为递增的等差数列，， ， ，
当 且 时， ；当 且 时， ；
有最小值，最小值为 .
故选：A.
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知 是各项不全为零的等差数列，前n项和是 ，
且 ，若 ，则正整数m＝（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，则
，
所以 ，解得 .
故选：C
3．（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列 满足： ， ， .若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【答案】A
【详解】令 ，则
故 ， 为常数，
故数列 是等差数列
故选：A.
4．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知正项等比数列 满足 （其中
），则 的最小值为（ ）．
A．6 B．16 C． D．2
【答案】D【详解】解：因为等比数列 满足 ，
所以由等比数列的性质，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为2．
故选：D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， 是 与 的等比中项，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由等比中项定义知： ， ，
（当且仅当 ，即 ， 时取等
号），
即 的最小值为 .
故选：B.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列 ，其前n项和为 ，前
n项积为 ，满足 ．则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最大值为 D．
【答案】B
【详解】若 ，则 不合乎题意，
所以 ，故数列 为正项等比数列，因为 ， ， ，
若 ，则 ，
则 ， ，则 ，
这与已知条件矛盾，所以 不符合题意，
所以 ，故D错误；
因为 ， ，
所以数列 为各项为正的递减数列，
所以， 无最大值，故C错误；
又 ，
所以 ， ，
所以 ，故A错误；
又 ， ，
所以 是数列 中的最大项，故B正确.
故选：B.
7．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，满足
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设公比为q（显然 ），
由 得 ，
即 ，得 或 （舍去），
所以 递增且 ，
所以 最小值为 ．
故选：C
8．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知数列 为等比数列，若 ， 为函数 的两个零点，则 （ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】B
【详解】解：因为 ， 为函数 的两个零点，
所以 ，所以 或
所以，当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以， .
故选：B
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C． ，使得
D． ，都有
【答案】ABD
【详解】 ， ， ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，则 ，A正确；
，，B正确；
令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ，即 ， ，
即 ，
，C错误，D正确.
故选：ABD.
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知 为数列 的前 项之和，且满足 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C． 可能为等比数列 D． 的最小值为0，最大值为20
【答案】CD
【详解】当 时， ，解得 或 ，当 时， ，
，
整理得 ，当 时，若 ，可得 此时为等差数列，若
， ，
可得数列 为等比数列， ；当 时，可得 ，数列 为等差数列，
若 ，可得 ，若 ，可得 ；故A错误；B错误；C正确；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 时，
；故D正确.
故选：CD.
11．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满
足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最大项 D．
【答案】AC
【详解】由 可得： 和 异号，即 或 .
而 ， ，可得 和 同号，且一个大于1，一个小于1.
因为 ，所有 ， ，即数列 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.
对于A：公比 ，因为 ，所以 为减函数，所以 为递减数列.故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，所以 .故B错误；
对于C：等比数列 的前 项积为 ，且数列 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所
以 是数列 中的最大项.故C正确；
对于D：
因为 ，所以 ，即 .故D错误.
故选：AC
12．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则下列说法中一定正确
的是（ ）
A．数列： ， ， ， 成等比数列
B．当 时，数列 是等比数列
C． 是等比数列
D． 是等比数列
【答案】BD
【详解】解：A选项中，当 时，数列 ， ， ， ， 为等比数列，但 ，所以 ， ， ， 就不能构成等比数列，故A错误；
B选项中，当 时， ， ，
则 ，所以 为常数，
所以数列 是等比数列，故B正确；
C选项中，当 时，则 ，即 ，
所以 不能构成等比数列，故C错误；
D选项中， ，则 为常数，
所以 是等比数列，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2022·河南开封·一模（文））在数列 中， ， .记 是数列 的前
项和，则 ______.
【答案】
【详解】当 为奇数时， ，所以，数列 的奇数项成以 为首项，公差为 的等差数列，
所以， ；
当 为偶数时， ，
所以， .
因此， .
故答案为： .
14．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 中， ， ，已知
，则 ___________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
两式相减可得： ，所以数列 中奇数项和偶数项都是以 为公差的等差数列，
因为 ，由 可得： ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
故答案为： .
15．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设等比数列 满足 ，记 为
中在区间 中的项的个数，则数列 的前50项和 ___________.
【答案】114
【详解】设等比数列 的公比为q，则 ，
解得 ，故 ，
因为 为 中在区间 中的项的个数，
所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
故 ,
故答案为：114.
16．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））由正数组成的等比数
列 中，若 ，则 __________．
【答案】
【详解】由已知，数列 为正项等比数列，所以 ，所以
由等比中项性质可知：
所以
.故答案为： .
