文档内容
第 1 讲 素养提升之立体几何选填专项冲刺
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：空间几何体外接球
突破二：空间几何体内切球
突破三：用基底表示向量
突破四：向量模及最值
突破五：向量数量积最值
突破六：空间向量的平行与垂直
突破七：异面直线所成角
突破八：直线与平面所成角
突破九：二面角
突破十：空间距离
突破十一：立体几何综合问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、空间向量的数量积
1.1、定义：已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ；即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
1.2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式 可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式 可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
1.3、向量 的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 共线的向量 ， 向量 称为向量 在向量 上的投影向量．类似地，可以将向量 向直线 投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别
为 ， ，得到 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是
向量 所在直线与平面 所成的角．
1.4、空间向量数量积的几何意义：向量 ， 的数量积等于 的长度 与 在 方向上的投影
的乘积或等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积.
2、空间向量运算的坐标表示
设 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
3、空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
3.1、两个向量的平行与垂直
平行（ ）
垂直（ ） （ 均 为非零向量）
特别提醒：在 中，应特别注意，只有在 与三个坐标平面都不平行时，才能写成 .例如，若 与坐标平面 平行，则 ，这样 就没有意义了.
3.2、向量长度的坐标计算公式
若 ，则 ，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的
体对角线的长度
3.3、两个向量夹角的坐标计算公式
设 ，则
3.4、两点间的距离公式
已知 ，则
4、用向量法求空间距离
4.1、点到直线的距离
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，由勾股定理得：
4.2、点到平面的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.5、用向量法求空间角
5.1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为 ，则
①
② .
5.2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的角为 ，则有
①
② .（注意此公式中最后的形式是： ）
5.3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若 于A， 于B，平面PAB交 于E，则∠AEB为二面角 的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.若 分别为面 ， 的法向量
①
② 根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
第二部分：重难点题型突破
突破一：空间几何体外接球
1．（2022·四川成都·一模（理））已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 把 折
起，使二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）已知正三棱锥 ，
若 平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）三棱锥 中， 平面
，其外接球表面积为 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，
侧面 为正三角形，则其外接球体积最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知点 是长方体 的外接球球心， 为球面上一点， ，若 与 所成的角为 ，则四棱锥 的体积的最大值
为__________．
6．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）三棱锥 中，
，则三棱锥的外接球表面积为___________.
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）在正四面体 中， 为 边的中点，过点 作该正四面体外
接球的截面，记最大的截面面积 ，最小的截面面积为 ，则 __________；若记该正四面体内切球和
外接球的体积分别为 和 ，则 __________．
突破二：空间几何体内切球
1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一
为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长
方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体 中，截面 经过四面体的内切球（与四个面都相
切的球）球心 ，且与 、 分别截于 、 .如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥
与三棱锥 的表面积分别为 ， ，则必有（ ）
A． B． C． D． 的大小不能确定
3．（2022·福建·高三阶段练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ， ，
这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·河北张家口·高二期中）球O为正四面体 的内切球， ， 是球O的直径，点M在
正四面体 的表面运动，则 的最大值为__________．
5．（2022·湖南·雅礼中学高二阶段练习）如图，已知球 是棱长为 的正方体 的内切球，
则球 的体积为________，平面 截球 的截面面积为________．
突破三：用基底表示向量
1．（2022·甘肃·测试·编辑教研五高二期末（理））如图，空间四边形 中， ， ，
，且 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古·包头一中高二期中（理））已知空间四边形ABCO中， ， ， ，M
为OA中点，点N在BC上，且 ，则 等于（ ）A． B．
C． D．
3．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图，在三棱柱 中，G是 与 的交
点，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川·射洪中学高二期中（理））如图，在三棱锥 中，设 ， ， ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
突破四：向量模及最值
1．（2022·四川南充·高三期中（文））如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别是棱
、 的中点，动点 在正方形 （包括边界）内运动，若 面 ，则线段 长度的最小
值是（ ）A． B．3 C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体 的棱长为4，点E是棱 的中点，动点P在
正方形 内（包括边界）运动，且 平面 ，则 长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）如图，正方体 的棱长为2，点 在 上，点 在
上，且 ， 面 ，则 的长为（ ）．
A． B． C．2 D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，
点 在底面 上（包括边界）移动，且满足 ，则线段 的长度的最大值为（ ）A． B． C． D．3
5．（2022·辽宁·沈阳市第十中学高二阶段练习）向量 ，若 ，则
__________．
6．（2022·河南·高二阶段练习）设 ，向量 ，且 ，则
___________.
7．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知 、 是空间内两个单位向量，且 ，如果空
间向量 满足 ，且 ， ，则对于任意的实数 、 ， 的最小值为
______．
突破五：向量数量积最值
1．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）在棱长为2的正四面体 中，点 满足
，点 满足 ，当 、 最短时，
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江台州·高二期中）已知点P是棱长为1的正方体 的底面 上一点（包
括边界），则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2022·贵州·高二期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖
臑 中， 平面 ， ， ，E是BC的中点，H是 内的
动点（含边界），且 平面ACD，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
4．（2022·广东·江门市广雅中学高二期中）如图所示，在棱长为1的正方形 中，点P是
的中点，点M，N是矩形 内（包括边界）的任意两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海·高二专题练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体
的棱长是2，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）在棱长为1的正方体 中，点E为底面
内一动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
突破六：空间向量的平行与垂直
1．（2022·安徽·亳州二中高二期中）设 ，向量 ， ， ，且 ，
，则 （ ）A． B． C．4 D．3
2．（2022·山东·聊城市茌平区第二中学高二阶段练习）已知 ， ， ，
， ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·大庆二中高二阶段练习）已知两个向量 ， ，且 ，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2022·河南·北大公学禹州国际学校高二开学考试）如图，平面 平面 是等边三角
形，四边形 是矩形，且 ，E是 的中点，F是 上一点，当 时， （ ）
A．3 B． C． D．2
5．（2022·山东·莱州市第一中学高二阶段练习）已知向量 ，点 ．在直线
上，存在一点E，使得 ，则点E的坐标为___________．
6．（2022·山东省实验中学高二期中）已知 ， ，且 与 垂直，则 的值为
___________.
突破七：异面直线所成角
1．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）如图， 分别是正方形 的边 的中点，将
沿着 折起到 的位置，使平面 平面 ，连接 ， ，则 所成角的余弦
值是（ ）A． B． C． D．
2．（2022·河北张家口·高二期中）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是正三角形，
， ，F是棱 上一点，且满足 ，则异面直线 与 所成角的余弦值是
（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·河南·高二阶段练习（文））如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为矩
形， 是线段 的中点， 是线段 上一点（不与 两点重合），且
．若直线 与 所成角的余弦值是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知四棱锥 的底面 是边长为2的正方形，
平面 ，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为 ，则
（ ）A． B．4 C．2 D．3
5．（2022·辽宁沈阳·高二期中）已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面
ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为 ，则SD＝（ ）
A．2 B． C．4 D．1
突破八：直线与平面所成角
1．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）已知四棱柱ABCD-ABC D 的侧棱AA 垂直于底面，底面
1 1 1 1 1
ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA=2BC，E为DD 的中点，F为AD的中点，则直线EF
1 1 1
与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
2．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）在四棱雉 中， 平面 ， ，底
面是边长为4的菱形，且 ， 是 的中点，则 与平面 所成的角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆锥的底面圆心为 ，顶点为 ，侧面展开图对应扇形的圆心
角为 ， ， 是底面圆周上的两点， 与平面 所成角的正弦值为 ，则 与 所成角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江·余姚中学高二阶段练习）已知圆柱 中，点 在圆 上， ， ，点 、
在圆 上，且满足 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为__________.
5．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知几何体 如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则
___________.
6．（2022·全国·高三专题练习）正四棱柱ABCD﹣ABC D 中，AB＝2，AA＝4，E为AB的中点，点F满
1 1 1 1 1
足 ，动点M在侧面AADD内运动，且MB∥平面DEF，则|MD|的取值范围是
1 1 1
__________________．
突破九：二面角
1．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高二期中）已知菱形 中， ，沿对角线AC折叠之
后，使得平面 平面 ，则二面角 的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中， 中点为 ，则二面角 的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东·日照一中高二阶段练习）已知菱形 中， ，沿对角线 折叠之后，使得
平面 平面 ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2022·河南·安阳县实验中学高二开学考试（理））在矩形 中， ， ，沿对角线
把矩形折成二面角 的平面角为 时，则 __________.
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高二阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且 ，若 ， ，则平面APB与平面PBC夹角
的余弦值为______．
6．（2022·福建·泉州七中高二阶段练习）如图所示，在四棱锥 中， // ，且
，若 ， ，则二面角 的余弦值为______．
突破十：空间距离
1．（2022·浙江·高二阶段练习）在棱长为2的正方体 中， 在线段 上，且
，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部
且满足 ，则P到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西省运城中学校高二期中）如图，在三棱柱 中，底面 是边长为 的正三
角形， ，顶点 在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线 上的动
点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）A． B．2 C． D．
4．（2022·浙江·高二期中）在棱长为3的正方体 中，平面 与平面 之间的距离
为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2022·重庆·高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， ，底面 为菱形，边长
为4， ， 平面 ，异面直线 与 所成的角为60°，若 为线段 的中点，则点
到直线 的距离为______ .
6．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数
（ 且 ）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面
的问题：如图，在长方体 中， ，点E在棱AB上， ，动点
P满足 .若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在
长方体 内部运动，F为棱 的中点，M为CP的中点，则点M到平面 的距离的最
小值为___________.突破十一：立体几何综合问题
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，在多面体 中，底面 为菱形，
平面 ， ， ，点M在棱 上，且 ，平面
与平面 的夹角为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．平面 平面 B．
C．点M到平面 的距离为 D．多面体 的体积为
2．（2022·全国·模拟预测）在三棱锥 中， 为等边三角形， 平面 ， ，
，点G是P在平面 内的射影，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，
平面 ，且 ．若点 分别为棱 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． 平面
B．直线 和直线 所成的角为
C．过点 的平面与四棱锥 表面交线的周长为
D．当点 在平面 内，且 时，点 的轨迹为一个椭圆
4．（多选）（2022·广东·高三阶段练习）在正方体 中，点P在线段 上运动，则下列结
论正确的有（ ）A．直线 ⊥平面
B．直线 平面
C．异面直线AP与 所成角的取值范围是
D．三棱锥 体积为定值
5．（多选）（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，正方体 棱长为1，点 是线
段 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．三棱锥 的体积为定值
C．若动点 在以点 为球心， 为半径的球面上，则 的最小值为
D．过点 ， ， 作正方体的截面，则截面多边形的周长的取值范围是
6．（多选）（2022·广东惠州·高二阶段练习）在棱长为1的正方体 中,已知E为线段
的中点,点F和点P分别满足 , ,其中 ,则下列说法正确的是（ ）
A．当 时,平面 与平面FAC的夹角余弦值为
B．当 时,四棱锥 的外接球的表面积是C． 的最小值为
D．存在唯一的实数对 ,使得 平面PDF
7．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）如图，正方体
的棱长为 ， 分别是棱 的中点，过点 的平面分别与直线 交
于点 ， 为侧面 （含边界）上的一个动点.给出以下命题：
①四边形 一定为菱形；
②四棱锥 的体积为定值；
③平面 与平面 所成的角不大于 ；
④ 的最小值为 .
其中正确命题的序号是______.
8．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习）如图，在正方体 中，
为棱 的中点.动点 沿着棱 从点 向点 移动，对于下列三个结论：
①存在点 ，使得 ，且这样的点 有两个；
② 的面积越来越小；
③四面体 的体积不变.所有正确的结论的序号是__________.
9．（2022·北京师大附中高三阶段练习）如图，在正方体 中， 为棱 的中点， 是棱
上的动点（不与端点 ， 重合）.给出下列说法：
①当 变化时，三棱锥 的体积不变；
②当 变化时，平面 内总存在与平面 平行的直线；
③当 为 中点时，异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
④存在点 ，使得直线 .
其中所有正确的说法是______.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）在棱长为2的正方体中挖掉一个体积最大的圆锥（圆锥的底面在
正方体的底面上），再将该圆锥重新熔成一个圆柱，则该圆柱表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·高二阶段练习）已知棱长为12的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该
正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为 ，
则它的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个
顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）A． B．
C． D．
5．（2022·江西·高二阶段练习）如图，在长方体 中， ，当
时，有 平面 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
6．（2022·湖南岳阳·高二期中）平行六面体 中，
则它的对角线 的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱 的底面为正三角形，M，N分别为AC， 的中
点，若 ，则异面直线 与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°8．（2022·上海·模拟预测）如图，正方体 中，M是 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 相交，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线AC异面，直线 平面
D．直线 与直线 垂直，直线 ∥平面
二、多选题
9．（2022·辽宁沈阳·高二期中）如图所示，平行六面体 ，其中 ， ，
， ，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线AC与直线 是相交直线
D． 与AC所成角的余弦值为
10．（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）已知在直三棱柱 中，底面是一个等腰直角三角
形，且 ，E、F、G、M分别为 的中点．则（ ）
A． 与平面 夹角余弦值为 B． 与 所成角为
C． 平面EFB D．平面 ⊥平面
11．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）如图，四棱柱 的底面ABCD是正
方形，O为底面中心， 平面ABCD， ．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面 的一个法向量为
D．点B到直线 的距离为
三、填空题
12．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱
、 、 两两夹角都为 ，且 ， ， ， 、 分别为 、 的中点，则
与 所成角的余弦值为__________.
13．（2022·江苏南通·高三阶段练习）如图为某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八
个一样的四面体得到的，它的表面是由正三角形和正方形组成，设被截正方体的棱长为2a，若球О以该几
何体的中心为球心，且与正三角形表面相切，则该球被其中一个正方形表面截得的截面面积为__________.
14．（2022·北京·杨镇第一中学高二期中）在棱长为1的正方体 中， ， 分别为 ，
的中点，点 在正方体的表面上运动，且满足 ，给出下面四个结论：
①点 可以是棱 的四等分点，且靠近点 ；
②线段 的最大值为 ；
③点 的轨迹是正方形；
④点 轨迹的长度为 ．
则其中所有正确结论的序号是________．
（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分）四、双空题
15．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）如图1， 是平行四边形，
，如图2，把平行四边形沿对角线 折起，则三棱锥 体积的最大值为______________．若 与
成 角，则 的长为______________．
16．（2022·天津河北·高二期中）在棱长为2的正方体 中，E为 的中点，以D为原
点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 到直线 的
距离为______________；点D到平面 的距离为______________．
