文档内容
专题 26.4 反比例函数与几何图形【九大题型】
【人教版】
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】.........................................................................................................1
【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】.................................................................................................7
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】...........................................................................................................13
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】...........................................................................................................17
【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】.......................................................................................................23
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】...........................................................................................................29
【题型7 反比例函数中的定值问题】....................................................................................................................37
【题型8 反比例函数中的存在性问题】................................................................................................................43
【题型9 反比例函数中的最值问题】....................................................................................................................52
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】
【例1】（23-24九年级·上海松江·阶段练习）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−3,0)
，C(2,0)，将ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C落在点C′处，则过点C′
k
的反比例函数y= 中，k的值为（ ）
x
A．12 B．−12 C．−4 D．−3
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．证明△ABC是等腰
直角三角形，根据旋转角∠A′BE=∠C′BF，求出点C′的坐标即可得到答案．【详解】解：∵ A(−3,5)，B(−3,0)，C(2,0)，
∴AB=5,BC=−2−(−3)=5，AB⊥x轴，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
过点A′作A′E⊥AB于点E，过点C′作C′F⊥x轴于点F，
∴A′E=3，
BE=❑√52−32=4，
∵△A′BC′是△ABC旋转得到，
∴ ∠A′BE=∠C′BF，
在△A′BE和△C′BF中，
{∠A′BE=∠C′BF
)
∠A′EB=∠C′FB ，
AB=C′B
∴△A′BE≌△C′BF(AAS)，
∴BF=BE=4,C′F=A′E=3，
∴OF=BF−OB=4−3=1，
∴C′ (1,−3)，
k
故过点C′的反比例函数y= 中，k的值为k=1×−3=−3．
x
故选D．
k
【变式1-1】（2024·山东日照·模拟预测）如图，点A、B是反比例函数y= (k≠0)图象上的两点，延长
x
线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE0)的图象经过点B、D，若▱OABC的面积为24，则
x
k的值为 ．【答案】−8
( k)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，设B b， ，C(c，0)，根据平
b
( k) (b+c k )
行四边形面积计算公式可得c⋅ − =24，再由两点中点坐标公式得到D ， ，则
b 2 2b
b+c k
⋅ =k，可得c=3b，据此可得答案．
2 2b
( k)
【详解】解：设B b， ，C(c，0)，
b
∵▱OABC的面积为24，
( k)
∴c⋅ − =24，
b
∵点D是BC的中点，
(b+c k )
∴D ， ，
2 2b
∵反比例函数图象经过点D，
b+c k
∴ ⋅ =k，
2 2b
∴c=3b，
∴−3k=24，
∴k=−8，
故答案为：−8．
【变式2-3】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，一次函数y=kx−4k(k≠0)的图象与反比例函数
m−1
y= (m−1≠0)的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC,AB．
x
已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是12．(1)求点A的坐标及m和k的值．
(2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式
m−1
≥kx−4k的解集．
x
(3)若直线y=x+t与四边形 ABCO有交点时，直接写出t的取值范围．
3
【答案】(1)A(4,0)，m=−11，k=−
8
( 3)
(2)① 8,− ；②−4≤x<0或x≥8
2
(3)−4≤t≤7
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质：
（1）令y=0，可得A(4,0)，再由平行四边形ABCO的面积是12，可得C(−4,3)，进而得到m=−11，
3
k=− ，即可；
8
（2）①联立两函数解析式，即可求解；②直接观察图象，即可求解；
（3）分别求出直线y=x+t过点C，A时t的值，即可求解．
【详解】（1）解：令y=0， 则kx−4k=0，
∴x=4，
∴A(4,0)，
∴OA=4，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC=OA=4，
∵CB⊥y轴，
∴设C(−4,b)，
∵平行四边形ABCO的面积是 12，
∴4b=12，即b=3，
∴C(−4,3)，m−1=−4×3=−12，即m=−11，
∵点C在直线y=kx−4k上，
∴3=−4k−4k，
3
∴k=− ；
83
（2）解：①由（1） 知， k=− ,
8
3 3
∴直线AC的解析式为 y=− x+
8 2
由（1） 知，m=−11，
12
∴反比例函数的解析式为 y=− ，
x
3 3
{ y=−
8
x+
2
)
{x=−4) {
x=8
)
联立得： ，解得： 或 3 ，
12 y=3 y=−
y=− 2
x
( 3)
∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为 8,− ；
2
m−1
②由图可得， 当−4≤x<0或x≥8时，反比例函数 y= (m−1≠0)的图象在一次函数
x
y=kx−4k(k≠0)的图象上方或两图象相交，
m−1
∴不等式 ≥kx−4k的解集为：−4≤x<0或x≥8；
x
（3）解：如图所示， 当直线y=x+t经过点C时， t取最大值，当直线y=x+t经过点A时，t取最小
值，
将点C(−4,3)代入y=x+t， 得：
3=−4+t，解得t=7；
将点A(4,0)代入y=x+t， 得：
0=4+t，解得t=−4，
∴若直线y=x+t与四边形ABCO有交点时， t的取值范围为−4≤t≤7．
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】
【例3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴k
上，B在第一象限，反比例函数y= (k>0)的图像经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻
x
折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为8❑√2，则点B坐标是（ ）
A．(2❑√2,4) B．(4,2❑√2) C．(4❑√2,2) D．(2,4❑√2)
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形与折叠的性质，勾股定理，矩形面积与反比
例函数的中k的关系是解题的关键．
(a b)
根据题意设B(a,b)，则ab=8❑√2，E , ，可求出反比例函数解析式，可得F的纵坐标为b，根据折叠
2 2
2❑√2
的性质可得BF=OF=a− ，在直角△AOF中，根据勾股定理即求出b的值，由此即可求解
b
【详解】解：根据题意，设B(a,b)，则OC=a，BC=b，
∴OC·BC=ab=8❑√2，
∵点E是矩形对角线OB的中点，
(a b)
∴E , ，且点E在反比例函数图象上，
2 2
a b ab 8❑√2
∴k= × = = =2❑√2，
2 2 4 4
2❑√2
∴反比例函数解析式为y= ，
x
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=b，即点F的纵坐标为b，
2❑√2
∴把点F的纵坐标代入反比例函数解析式得，b= ，
x
2❑√2 (2❑√2 )
解得，x= ，即F ,b ，
b b2❑√2
∴BF=a− ，
b
2❑√2
∵沿着EF折叠，点B与点O重合，如图所示，连接OF，则OF=BF=a− ，
b
在Rt△AOF中，OA2+AF2=OF2，
∴b2+ (2❑√2) 2 = ( a− 2❑√2) 2 ，且ab=8❑√2，则a= 8❑√2 ，
b b b
解得，b=2❑√2（负值舍去），
∴a=4，
∴B(4,2❑√2)，
故选：B ．
【变式3-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴
k
的负半轴上，反比例函数y= (x<0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接
x
EF，AF，若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k值为（ ）
A．−6 B．−5 C．−3 D．−2
【答案】A
( k)
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，首先设A(a,0)，表示出D a, ，再根据
a
D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S =2，转化为S =4，列出等式即可求解，根据
△AEF △ACF中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
【详解】解：设A(a,0)，
∵矩形ABCD，
( k)
∴D a, ，
a
∵E为AC的中点，
∴E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
k
∴E的纵坐标为 ，
2a
( k )
∴E 2a, ，
2a
∵E为AC的中点，
( k)
∴点C 3a, ，
a
( k )
∴点F 3a, ，
3a
∵△AEF的面积为2，AE=EC，
∴S =4，
△ACF
1 1 (k k )
∴ CF·AB= × − ×(−2a)=4，
2 2 a 3a
解得k=−6，
故选：A．
4
【变式3-2】（2024·广西·模拟预测）如图，点A是反比例函数y=− (x<0)上一动点，点C的坐标为
x
(1,0)，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，以BA、BC为边作矩形ABCD，将矩形ABCD绕点C顺时针旋
转90°得到矩形FECG，在点A运动的过程中，点A的对应点F坐标为(m,n)，则m与n满足的关系式为
．【答案】mn−m−n–3=0
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，由点F坐标为(m,n)，点C的坐
标为(1,0)，得出EF=CG=m−1，FG=CE=n，根据旋转的性质得到BC=CE=n，
AB=CD=CG=m−1，进一步得到OB=n−1，于是得到A(1−n,m−1)，于是得到
(1−n)(m−1)=−4，即mn−m−n−3=0．
【详解】解：∵点F坐标为(m,n)，点C的坐标为(1,0)，
则EF=CG=m−1，FG=CE=n，
∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FECG，
∴BC=CE=n，AB=CD=CG=m−1，
∴OB=n−1，
∴A(1−n,m−1)，
4
∵A在此反比例函数y=− (x<0)图象上，
x
∴(1−n)(m−1)=−4，
∴mn−m−n−3=0．
故答案为：mn−m−n−3=0．
【变式3-3】（2024·广西·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点
k
重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y= （k>0，x>0）的图象经过AE
x
上的两点A、F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．14
【答案】C
( k )
【分析】连接BD，先证明BD∥AE，得出S =S ，设A的坐标为 m, ，即可求出F点的坐标和
△ABE △OAE m
E点的坐标，由S =18即可得出关于k的等式，解出即可．
△ABE
【详解】解：如图，连接BD，
∵ ABCD O
四边形 为矩形， 为对角线交点，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴BD∥AE，
∴S =S =18，
△ABE △OAE
( k )
设A的坐标为 m, ，
m
∵AF=EF，
k
∴F点的纵坐标为 ，
2m
又∵F点在反比例函数图象上，k k
∴将F点的纵坐标代入反比例函数解析式得： = ，即x=2m，
2m x
( k )
∴F点的坐标为 2m, ，
2m
∴E点的坐标为(3m,0)，
1 1 k
∵S = ·x ·y = ×3m× =18，
△OAE 2 E A 2 m
解得：k=12．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，判定出BD∥AE从而得到
S =S 是解题关键．
△ABE △OAE
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】
【例4】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正
k
半轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为9，则k
x
的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质.首先设出A、C点的坐标，再根据菱形的性质可得D
点坐标，再根据D点在反比例函数上，再结合面积等于9，解方程即可．
( k)
【详解】解：设点A的坐标为(a,0)，点C的坐标为 c, ，
c
∵菱形OABC的面积为9，
k
∴a⋅ =12，点D也是AD中点，
c
(a+c k )
∴点D的坐标为 , ，
2 2ck
{ a⋅ =9 )
c
∴ ，
a+c k
⋅ =k
2 2c
解得k=3，
故选：D．
【变式4-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶
4❑√3
点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，则菱形OABC的面积为 ．
x
【答案】8❑√3
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数系数k的几何意义，连接AC，可得AC⊥OB，根据反比例
函数系数k的几何意义可得△AOB的面积，即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
【详解】解：如图，连接AC交OB于点D，
∵ OABC
， 四边形 是菱形，
∴AD⊥OB，OD=DB,AD=DC，
1 1
∴S =S =S =S = S = |k)=2❑√3，
△ADO △ADB △CDO △CDB 4 菱形OABC 2
∴S =4×2❑√3=8❑√3，
菱形OABC
故答案为：8❑√3．k
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数y= （k≠0）的图像与正比例函数
x
y=2x的图像相交于A(1,a)、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
(1)求k的值；
(2)以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．
【答案】(1)2
(2)D(1+2❑√5,2)，8❑√5
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数综合应用、勾股定理等
知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
（1）首先结合点A(1,a)在直线y=2x上，可求得点A的坐标，再将点A(1,2)代入反比例函数解析式，即
可获得答案；
（2）首先解得点B坐标，然后根据勾股定理求得AB=2❑√5，再结合菱形的性质求解D点坐标及菱形的面
积．
【详解】（1）解：∵点A(1,a)在直线y=2x上，
∴a=2×1=2，
即点A的坐标为(1,2)，
k
∵点A(1,2)是反比例函数y= 的图像与正比例函数y=2x图像的交点，
x
∴k=1×2=2，即k的值是2；
2
（2）由题意，可得 =2x，
x
解得x=1或−1，
经检验x=1或−1是原方程的解，
∵点B在第四象限，∴B(−1,−2)，
∵点A(1,2)，
∴AB=❑√(1+1) 2+(2+2) 2=2❑√5，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC∥x轴，
∴AD=AB=2❑√5，
∴D(1+2❑√5,2)，
∴菱形的面积=2❑√5×(2+2)=8❑√5．
k
【变式4-3】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数y=k x+1的图象与反比例函数y= 2点
1 x
的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1,−2)，连接OB、OA、OD、DC、AC，四边形
OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
1
(4)设点P是直线AB上一动点，是否存在点P，使S = S ，若存在，请直接写出满足条件点P
△OAP 2 菱形OACD
的坐标，若不存在，请说明理由．
2
【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y=
x
3
(2)△AOB的面积为
2
(3)x<−2或00)的图象上，BC交反比例函数的图象于点E，则CE的长为（ ）
x
3 3 4
A．1 B． C． D．
4 5 5
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性
质，由正方形的性质及和勾股定理E求出边长，则可求得点D的坐标，由点D在反比例函数图象上，即可
求得k的值，从而确定函数解析式，然后求出OB的长，代入解析式得点E的纵坐标，最后求出CE的长，
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠ADC=∠DAB=90°，
由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=2，
∴AD=CD=BC=AB=1（负值已舍去），
(1 ) 5
∴D ,1 ，OB=OA+AB= ，
4 4
k
∵点D在反比例函数y= ，
x
1
∴k= ，
4
1
∴反比例函数y= ，
4x
5 1
∴当x= ，y= ，
4 5
1
∴BE= ，
51 4
∴CE=CB−BE=1− = ，
5 5
故选：D．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与
k
原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y= (k>0,x>0)的图像与正方形的两边AB，BC
x
分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON=45°，MN=2，则k的值为 ．
【答案】❑√2+1
【分析】延长BA到G，使得AG=CN，连接OG，易证△OCN≌△OAG(SAS)，根据全等三角形的性
质，进一步证明△MON≌△MOG(SAS)，根据全等三角形性质，求出AM的值，再设正方形边长为a，
在△BMN中根据勾股定理即可求出正方形的边长，进一步可知M点坐标，即可求出k的值．
【详解】解：延长BA到G，使得AG=CN，连接OG，如图所示：
在正方形OABC中，OA=OC，∠OCB=∠OAB=∠COA=90°，
∴∠OAG=∠OCN，
∴△OCN≌△OAG(SAS)，
∴∠CON=∠GOA，OG=ON，
∵∵∠MON=45°，
∴∠CON+∠AOM=45°，
∴∠AOM+∠GOA=45°，
∵OM=OM，∴△MON≌△MOG(SAS)，
∴MN=MG，
即MN=MA+CN，
设AM=x，
∵MN=2，
∴CN=2−x，
∵M，N在反比例函数上，
∴CN⋅OC=AM⋅OA，
∵OC=OA，
∴2−x=x，
解得x=1，
设正方形边长为a，则BM=a−1，BN=a−1，
在△BMN中，根据勾股定理，得2(a−1) 2=4，
解得a=1+❑√2或1−❑√2（舍)，
∴M点坐标为(1+❑√2，1)，
将M点坐标代入反比例函数解析式，
得k=1+❑√2．
故答案为：1+❑√2．
【点睛】本题考查了反比例函数与正方形的综合，涉及三角形全等，正方形的性质，勾股定理等，构造全
等三角形求出AM的长再根据勾股定理求出正方形的边长是解题的关键，本题综合性较强．
【变式5-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的
k
顶点B(2,4)在反比例函数y= 的图象上，AB⊥x轴于点A．点D为边AB中点，过点D作DE⊥AB交该
x
函数图象于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，过点E的正比例函数y=ax的图象与该函数的另一个交点为
点G．
(1)k= ．(2)求点E的坐标及四边形ADEF的面积．
k
(3)当正比例函数y=ax的值大于反比例函数y= 的值时，直接写出x的取值范围．
x
【答案】(1)8
(2)E(4,2)，四边形ADEF的面积为4
(3)−44
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题
的关键．
k
（1）直接把点B(2,4)代入反比例函数y= ，求出k的值即可；
x
（2）根据点D为边AB中点求出D点坐标，进而可得出E点坐标，由EF=DE=AD,AB⊥x轴，EF⊥x
轴可知四边形ADEF是正方形，进而可得出其面积；
（3）先求出G点坐标，再由函数图象可直接得出结论．
k
【详解】（1）解：∵点B(2,4)在反比例函数y= 的图象上，
x
k
∴4= ，
2
解得k=8，
故答案为：8；
（2）解：∵点D为边AB中点，B(2,4)，
∴D(2,2)，
∵k=8，
8
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
∵DE⊥AB交该函数图象于点E，
8
∴当y=2时，2= ，
x
解得x=4，
∴E(4,2)，
∴EF=ED=AD=2，
∵AB⊥x轴，EF⊥x轴，DE⊥AB，
∴四边形ADEF是正方形，∴四边形ADEF的面积=EF⋅ED=2×2=4；
（3）解：∵E(4,2)，
∴G(−4,−2)，
k
∴当−44时，正比例函数y=ax的值大于反比例函数y= 的值．
x
【变式5-3】（2024·辽宁盘锦·二模）如图，正方形ABCD在第一象限，点A(2，4)，B(4，4)，反比例
k
函数y= (x>0)的图象与正方形ABCD的边有交点．
x
(1)接写出k的取值范围；
k
(2)当反比例函数y= (x>0)图象与AB交于点E，且E是AB中点，连接OE，点F在第一象限反比例函数
x
k
y= (x>0)图象上，点X为x轴上一点，且OF平分∠EOX，求点F的坐标．
x
【答案】(1)8≤k≤24
(2)(2❑√6,❑√6)
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质：
k
（1）结合正方形的性质求出点C的坐标为(4,6)，然后分别求出反比例函数y= (x>0)图象过点A和点D
x
时k的值，即可求解；
（2）过点E作EG⊥x轴于点G，交OF于点P，过点P作PH⊥OE于点H，根据角平分线的性质可得
PH=PG，证明Rt△POG≌Rt△POH，可得OG=OH，然后求出点E的坐标为(3,4)，可得EH=2，在3 ( 3)
Rt△HEP中，根据勾股定理可得PG= ，从而得到点P的坐标为 3, ，分别求出直线OF的解析式，
2 2
反比例函数解析式，然后联立两解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，点A(2，4)，B(4，4)，
∴AB=BC=2，AB∥CD∥x轴，
∴点C的坐标为(4,6)，
k
当反比例函数y= (x>0)图象过点A时，k=8，
x
k
当反比例函数y= (x>0)图象过点C时，k=24，
x
∴k的取值范围为8≤k≤24；
（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴于点G，交OF于点P，过点P作PH⊥OE于点H，
∵OF平分∠EOX，
∴PH=PG，
∵OP=OP，
∴Rt△POG≌Rt△POH，
∴OG=OH，
∵点A(2，4)，B(4，4)，E是AB中点，
∴点E的坐标为(3,4)，
∴EG=4,OG=OH=3，OE=❑√32+42=5，
∴EH=2，
在Rt△HEP中，PE2=EH2+PH2，
3
∴(4−PG) 2=22+PG2，解得：PG= ，
2( 3)
∴点P的坐标为 3, ，
2
设直线OF的解析式为y=mx，
( 3) 3
把点 3, 代入得： =3m，
2 2
1
解得：m= ，
2
1
∴直线OF的解析式为y= x，
2
k
把(3,4)代入y= (x>0)得：k=12，
x
12
∴反比例函数解析式为y= ，
x
12
{ y= )
x {x=2❑√6) {x=−2❑√6)
联立得： ，解得： 或 （舍去），
1 y=❑√6 y=−❑√6
y= x
2
∴点F的坐标为(2❑√6,❑√6)．
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】
k
【例6】（2024·广东佛山·二模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 2图象交于点B（﹣1，6）、
1 x
点A，且点A的纵坐标为3．
(1)填空：k＝ ，b＝ ；k＝ ；
1 2
k
(2)结合图形，直接写出kx+b＞ 2时x的取值范围；
1 x
(3)在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
【答案】(1)3，9，-6
(2)﹣2＜x＜﹣1或x＞0
6
(3)M点的坐标为（﹣5， ）
5
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
6
（3）设点M的坐标为（m，- ），则D（m，0），C（m，3），即可得出AC=-2-m，CD=3，OD=-m，根
m
据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标．
k
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b与反比例函数y= 2图象交于点B（-1，6）、A，
1 x
∴k=-1×6=-6，
2
6
∴反比例函数y=- ，
x
6
把y=3代入得，3=- ，
x
∴x=-2，
∴A（-2，3），
{−2k +b=3)
把A、B坐标代入y=kx+b得 1 ，
1 −k +b=6
1
{k =3)
解得 1 ，
b=9
故答案为：k=3，b=9，k=-6，
1 2
k
（2）由图象可知，kx+b＞ 2时x的取值范围是-2＜x＜-1或x＞0；
1 x
6
（3）设点M的坐标为（m，- ），
m
∵CD⊥x轴于D，
∴D（m，0），
∵AC∥OD，A（-2，3），∴C（m，3），
∴AC=-2-m，
∴CD=3，OD=-m，
1
∴S AODC= （AC+OD）•CD，
梯形 2
1
即12= （-2-m-m）×3，
2
解得m=-5，
6
∴M点的坐标为（-5， ）．
5
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析
式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键．
【变式6-1】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，
k
OA∥BC，反比例函数y= (k>0，x>0)经过点A、点B，已知OA=2BC，若△OAB的面积为9，则k
x
的值为 ．
【答案】12
k k
【分析】本题考查了反比例函数y= (k>0，x>0)系数k的几何意义：从反比例函y= (k>0，x>0)
x x
图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．过点A作AD⊥x轴于点
D，过点B作BE⊥x轴于点E，则△OAD∽△CBE，所以OA:CB=OD:CE=AD:BE=2:1，设
CE=a，BE=b，则OD=2a，AD=2b，即点A的坐标是(2a，2b)，利用S =S 建立方程
ΔOAB 梯形ADEB
可求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ADO=∠BEC=90°，∵OA∥BC，
∴∠AOD=∠BCE，
∴△OAD∽△CBE，
∵OA=2BC
∴OA:CB=OD:CE=AD:BE=2:1，
设CE=a，BE=b，则OD=2a，AD=2b，即点A的坐标是(2a，2b)，
k
∵反比例函数y= (k>0，x>0)经过点A、点B，
x
∴k=2a⋅2b=4ab，
∴B(4a,b)，
∴DE=2a，
1 1
∴S =S = (AD+BE)⋅DE= (2b+b)⋅2a=9，
ΔOAB 梯形ADEB 2 2
解得ab=3，
∴k=4ab=12．
故正确答案为：12．
【变式6-2】（23-24九年级·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图像
k
与x轴交于点A(2,0)，与y轴交于点B，与反比例函数y= (x>0)的图像交于点C(m,2)．
x
(1)求b和k的值：
(2)如果直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点D，求直线BD的表达式；(3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形ADEC是梯形时，求点E的坐标．
【答案】(1)−4，6
(2)y=−3x−4
( 8)
(3)(0,2)或 0,
3
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类
求解是解题的关键．
（1）把点A(2,0)代入一次函数y=2x+b求出b=−4，把点C(m,2)代入y=2x−4求出m=3得点C(3,2)
k
，把C(3,2)代入y= (x>0)，求出k的值即可；
x
（2）证明△BFA≌△AEG(AAS)，得到点G的坐标为(−2,2)，再用待定系数法即可求解；
（3）结合梯形的定义分CE∥AD和DE∥AC两种情况，运用待定系数法分别求出DE的解析式，即可求
解．
【详解】（1）解：∵一次函数y=2x+b的图像与x轴交于点A(2,0)，
∴把点A(2,0)代入一次函数y=2x+b，得：
2×2+b=0,
∴b=−4
∴一次函数的解析式为：y=2x−4，
把点C(m,2)代入y=2x−4，得：2m−4=2，
解得，m=3,
∴C(3,2)，
k
把C(3,2)代入y= (x>0)，得，
x
k=3×2=6,
（2）解：过点A作AG⊥AB交BD于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过
点G与x轴的平行线于点E，如图，∵∠ABG=45°，故△ABG为等腰直角三角形，
则AG=AB，
∵∠BAF+∠GAE=90°，∠GAE+∠AGE=90°，
∴∠BAF=∠AGE，
∵∠BFA=∠AEG=90°，
∴△BFA≌△AEG(AAS)，
∴AE=BF=2，EG=AF=4，
故点G的坐标为(−2,2)，
设直线BG的表达式为y=kx+b，
{ b=−4 )
把B(0,−4),G(−2,2)代入得， ，
2＝−2k+b
{k=−3)
解得 ，
b=−4
故直线BD的表达式为y=−3x−4；
（3）解：∵ADEC是梯形，
∴当CE∥AD时，如图，
∵C(3,2)，点E在y轴上，
∴E(0,2)；
当DE∥AC时，如图，4
对于y=−3x−4，当y=0时，x=− ，
3
( 4 )
∴D − ,0 ，
3
设直线DE的解析式为y=2x+p，
( 4 ) 4
把D − ,0 代入y=2x+p得，− ×2+p=0，
3 3
8
∴p= ，
3
8
∴直线DE的解析式为y=2x+ ，
3
8
当x=0时，y= ，
3
( 8)
∴E 0, ，
3
( 8)
综上，点E的坐标为(0,2)或 0,
3
k
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·阶段练习）如图，直线y=k x+b与反比例函数y= 2的图象交于A
1 x
(1,6)，B(a,3)两点．（1）求k 、k 的值？
1 2
k
（2）直接写出k x+b− 2>0时x的取值范围？
1 x
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反
比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）k=﹣3，k=6；（2）1＜x＜2；（3）PC=PE，理由见解析．
1 2
【分析】（1）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式求得a
的值，再把点A，B代入一次函数解析式利用待定系数法即可求得k 的值；
1
（2）当y＞y 时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，据此解答即可；
1 2
（3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE＝3，BC＝m﹣2，OD＝m+2，利用梯形的面积是
12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，进而可得结论．
6
【详解】解：（1）由题意：k=1×6=6，∴反比例函数的解析式为：y= ，
2 x
6
又∵B（a，3）在y= 的图象上，∴a=2，
x
∴B（2，3），
∵直线y=k x+b过点A（1，6），B（2，3），
1
{k +b=6 ) {k =−3)
∴ 1 ，解得： 1 ；
2k +b=3 b=9
1
∴k=﹣3，k=6；
1 2
（2）当y＞y 时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，x的取值范围：1＜x＜2；
1 2
（3）判断PC=PE．
理由：设点P的坐标为（m，n），
∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），
∴C（m，3），CE=3，BC=m－2，OD=m＋2，
BC+OD m−2+m+2
∴S = ×CE，即 ×3=12，解得：m＝4，
梯形OBCD 2 2
又∵mn＝6
3 1
∴n= ，即PE= CE
2 2
∴PC=PE．
【点睛】本题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，解题时要注意反比例函数图象上的点的坐标特点和利用待定系数法求函数解析式的方法，此外还要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，
从而确定关键点的坐标．
【题型7 反比例函数中的定值问题】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、
y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数
k
y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．
x
（1）当点M是边BC的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求 OMN的面积；
△ MB
（2）在点M的运动过程中，试证明： 是一个定值．
NB
4
【答案】（1）y= ；（2）证明见解析．
x
【分析】（1）①由矩形的性质及M是BC中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式；
②先求出点N的坐标，从而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根据S OMN＝S OABC﹣S OAN﹣
△ 矩形 △
S COM﹣S BMN计算可得．
△ △
2a a
（2）设M（a，2），据此知反比例函数解析式为y＝ ，求出N（4， ），从而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣
x 2
a
，再代入计算可得．
2
【详解】(1)①∵点B(4，2)，且四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，
∵点M是BC中点，
∴CM＝2，
则点M(2，2)，4
∴反比例函数解析式为y＝ ；
x
4
②当x＝4时，y＝ ＝1，
x
∴N(4，1)，
则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S
△OMN 矩形OABC △OAN △COM △BMN
1 1 1
＝4×2﹣ ×4×1﹣ ×2×2﹣ ×2×1
2 2 2
＝3；
(2)设M(a，2)，
则k＝2a，
2a
∴反比例函数解析式为y＝ ，
x
a
当x＝4时，y＝ ，
2
a
∴N(4， )，
2
a
则BM＝4﹣a，BN＝2﹣ ，
2
4−a 4−a
MB
∴ ＝ a＝4−a＝2．
NB 2−
2 2
【点睛】本题是反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性
质、割补法求三角形的面积．
k
【变式7-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）已知双曲线y= 的图象过点（1，2）．
x
（1）求k的值，并求当x>3时y的取值范围；
k
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线y= 的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标
x
与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
k
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线y=
x
上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
2
【答案】（1）k=2，03时，00)上，顶点D在反比例函数y= 2 (x>0)上．
x x
(1)如图1，当D点坐标为(4,1)时．
①求k 的值；
2
②求m，n的值；(2)如图2，当m，n满足什么关系时，k >k ，并说明理由；
1 2
(3)如图3，当k =k 时，在AD的延长线上取一点E，过点E作EF⊥EA交x轴于点F，交反比例函数图象
1 2
于点G，当G为EF的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．
（用含m的代数式表示）
【答案】(1)① k 的值为4；②m，n的值为1，3；
2
(2)当n>m时，k >k ；
1 2
2
(3) m
3
【分析】（1）①将点D的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论；
②过点D作DM⊥x轴，可得△AOB≌△DMA，可用m，n表达点D的坐标，建立关于m，n的二元一次
方程组即可得出结论；
（2）过点C作CN⊥y轴于点N，可得△AOB≌△CNB，可用m，n表达点C的坐标，由此建立关于m，n
的不等式，解之即可；
（3）过点E作EH⊥x轴于点H，设EH=t，由等腰三角形的性质可表达点F和点G的坐标，由此建立关
于m的方程，解之即可．
k
【详解】（1）解：①将点D(4,1)代入反比例函数解析式y= 2，
x
∴k =4×1=4；
2
即k 的值为4；
2
②如图，过点D作DM⊥x轴于点M，
∴∠AOB=∠AMD=90°
，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAM=∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠BAO=∠ADM，
∵AB=AD，
∴△AOB≌△DMA(AAS)，∴OB=AM=n，OA=DM=m，
∴OM=m+n，
∴D(m+n,m)，
{m+n=4) {m=1)
∴ ，解得 ．
m=1 n=3
∴m，n的值为1，3；
（2）解：当n>m时，k >k ，理由如下：
1 2
如图，过点C作CN⊥y轴于点N，
同理（1）可得△AOB≌△BNC，k =m(m+n)，
2
∴OB=CN=n，OA=NB=m，
∴ON=m+n，
∴C(n,m+n)，
∴k =n(m+n)，
1
若k >k ，则n(m+n)>m(m+n)，
1 2
∵m>0，n>0，
∴n>m，
即当n>m时，k >k ；
1 2
（3）解：由（2）得C(n,m+n)，D(m+n,m)，又k =k ，
1 2
∴n(m+n)=m(m+n)，
∵m>0，n>0，
∴n=m，即OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠EAF=45°，
∵EF⊥EA，
∴△AEF是等腰直角三角形，
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，∵△AEF
是等腰直角三角形，
∴EH=AH=HF，
设EH=t，AH=HF=t，
∴E(m+t,t)，F(m+2t,0)，
∵点G是EF的中点，
( 3 1 )
∴G m+ t, t ；
2 2
∵m=n，
∴k =k =2m2 ，
1 2
( 3 1 ) 2m2
∵点G m+ t, t 在y= 上，
2 2 x
∴2m2= 1 t ( m+ 3 t ) ，整理得3t2+2mt−8m2=0，
2 2
2
∴t=−2m（舍）或t= m；
3
2
故答案为： m．
3
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与
判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用m，n表达出点C，D的坐标是解题关键．
【变式7-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y
4
轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y= 的图象
x
上．(1)求点P的坐标；
(2)若OA=OB，求∠P的度数；
1 n
(3)如果直线AB的关系式为y=kx+ n，且00)，则P(a,a)，代入反比例函数解析式求得a的值即可；
（2）由等腰直角三角形的性质求出∠BAD，再由角平分线的定义求得∠PAD和∠POA的度数，进而由
三角形外角的性质求得结果；
（3）由已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得MN+NQ的表达式，根据MN+NQ是定值求出k的值和
MN+QN的值即可．
【详解】（1）解：过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，如图1，∵AP和OP分别是∠BAF和∠AOB的平分线，
∴PC=PD=PE，
设PC=PD=PE=a(a>0)，则P(a,a)，
4
把P(a,a)代入y= 得：a2=4，
x
∴a=2（负值舍去），
∴P(2,2)；
（2）如图1，∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠BAD=135°，
∵AP和OP分别是∠BAF和∠AOB的平分线，
∴∠PAD=67.5°，∠POA=45°，
∴∠APO=∠PAD–∠POA=22.5°，
故答案为：22.5°；
4
（3）把y=1代入y= 中，得x=4，
x
∴M(4，1)，n
把y=1代入y=− 中，得x=–n，
x
∴N(−n，1)，
1 1
把x=–n代入y=kx+ n中，得y=−kn+ n，
2 2
( 1 )
∴Q −n,−kn+ n ，
2
1
当−kn+ n<1时，
2
( 1 ) 1 ( 1)
∴MN+QN=(4+n)+1− −kn+ n =kn+ n+5= k+ n+5，
2 2 2
1
当k=− 时，MN+QN=5；
2
1
当−kn+ n>1时，
2
( 1 ) 3 ( 3)
∴MN+QN=(4+n)+ −kn+ n−1 =−kn+ n+3= −k+ n+3，
2 2 2
3
当k= 时，MN+QN=3，但k<0，故此情况舍去，
2
1
综上：当k=− 时，MN+QN的和是定值d=5．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，直角三角
形的性质，三角形外角的性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
【题型8 反比例函数中的存在性问题】
k
【例8】（23-24九年级·山西临汾·期末）如图，一次函数y=−2x+b与反比例函数y= (x>0)的图像交于
x
A、B两点，且A点坐标为(m,4)，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为(0,6)．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知△BON的面积为3，求点B的坐标；
(3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点
的坐标；若不存在，在请说明理由．
4
【答案】(1)y=−2x+6，y=
x
(2)B(2,2)
(3)存在．P (3,6)，P (−1,2)，P (1,−2)
1 2 3
【分析】（1）先求出一次函数解析式，再把(m,4)代入求出m，然后再求反比例函数解析式；
( 4)
（2）先求出N(3,0)，设B m, ，然后利用△BON的面积为3列方程求解即可；
m
（3）设P(a,b)，然后分3种情况利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）把(0,6)代入y=−2x+b，得b=6，
∴y=−2x+6，
把(m,4)代入y=−2x+6，得4=−2m+6，
解得m=1，
k
∴把(1,4)代入y= ，得k=4，
x
4
∴y= ；
x
（2）当y=0时，0=−2x+6，
∴x=3，
∴N(3,0)，∴ON=3，
( 4)
设B m, ，
m
∵△BON的面积为3，
1 4
∴ ×3× =3，
2 m
∴m=2，
∴B(2,2)；
（3）设P(a,b)，
当AB为对角线时，由题意，得
0+a 1+2 0+b 4+2
= ， = ，
2 2 2 2
∴a=3,b=6，
∴P (3,6)，
1
当OA为对角线时，由题意，得
0+1 a+2 0+4 b+2
= ， = ，
2 2 2 2
∴a=−1,b=2，
∴P (−1,2)，
2
当OB为对角线时，由题意，得
0+2 1+a 0+2 4+b
= ， = ，
2 2 2 2
∴a=1,b=−2，
∴P (1,−2)，
3
综上可知，P点的坐标为P (3,6)，P (−1,2)，P (1,−2)．
1 2 3
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交
点，以及反比例函数与几何综合等知识，数形结合是解答本题的关键．
2
【变式8-1】（23-24九年级·山西临汾·期中）如图，一次函数y=− x+6的图象与x轴，y轴交于F，E两
3
k
点，与反比例函数y= 的图象交于点A(a,4),B(b,2),AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C．
x(1)求a，b的值及反比例函数的表达式．
9
(2)若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当S = 时，求点P的坐标．
△ABP 2
(3)在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ为等腰三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12
【答案】(1)a=3，b=6，y=
x
(9 )
(2) ,0
2
(5 )
(3)存在，理由见解析， ,0 或(3,0)
2
【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，比例系数的意义及等腰三角形的性质，勾股定理解三角
形，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
（1）分别将点A和点B代入函数解析式，得出a=3，b=6，将点的坐标代入反比例函数即可确定函数解
析式；
（2）点P在线段CD上，连接AP,BP．结合图形得出S =9，设点P(m,0)，根据图形的面积及
四边形ABCD
反比例函数的意义求解即可；
（3）设点Q(n,0)，连接QA,BQ．用勾股定理分别表示出AB、AQ、BQ，然后分三种情况分析：①
当AQ=BQ时，②当AB=AQ时，③当AB=BQ时，分别求解即可．
2
【详解】（1）解：将点A(a,4)代入y=− x+6，
3
2
得4=− a+6，解得a=3，
3
2
将点B(b,2)代入y=− x+6，
3
2
得2=− b+6，解得b=6，
3
∴点A的坐标为(3,4)，点B的坐标为(6,2)，∴k=12，
12
∴反比例函数的表达式为y= ．
x
（2）如图，点P在线段CD上，连接AP,BP．
∵AD=4,BC=2,CD=OC−OD=6−3=3
，
1
∴S = ×(4+2)×3=9．
四边形ABCD 2
设点P(m,0)，则PD=m−3,PC=6−m，
1 1 1 1
∴S = ×AD×PD= ×4×(m−3)=2m−6，S = ×BC×PC= ×2×(6−m)=6−m，
△ADP 2 2 △BCP 2 2
∴S =S −S −S =9−(2m−6)−(6−m)=−m+9．
△APB 四边形ABCD △NDP △BCP
9
又∵S = ，
△ABP 2
9
∴ =−m+9，
2
9
∴m= ，
2
(9 )
∴点P的坐标为 ,0 ．
2
（3）存在，理由如下：
如图，设点Q(n,0)，连接QA,BQ．
∵A(3,4),B(6,2)
，
∴AB=❑√(6−3) 2+(2−4) 2=❑√13，AQ=❑√(3−n) 2+42，
∴BQ=❑√(6−n) 2+22．
分三种情况：
①当AQ=BQ时，AQ2=BQ2，
∴(3−n) 2+42=(6−n) 2+22，
5
解得n= ，
2
(5 )
∴Q ,0 ；
2
②当AB=AQ时，AB2=AQ2，
∴13=(3−n) 2+16，
∴(3−n) 2+3=0．
∵(3−n) 2+3>0，
∴此情况不成立
③当AB=BQ时，AB2=BQ2，
∴13=(6−n) 2+22，
∴(6−n) 2=9，
∴6−n=±3，
∴n=3或n=9．
2
令y=0，得0=− x+6，
3
∴x=9，
∴F(9,0)，
∴此时点Q与点F重合，不能构成三角形，
∴Q(3,0)，
(5 )
综上所述，当点Q的坐标为 ,0 或(3,0)时，△ABQ为等腰三角形．
2【变式8-2】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于
A，BC⊥y轴于C，BA=3，BC=5，有一反比例函数图象刚好过点B．
(1)分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
(2)动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的
点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
15 3
【答案】(1)y= ，y=− x+3
x 5
( 27) 27
(2) 5,− 或(5,− )或(5❑√5−10,3)
4 28
【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函
数的性质，菱形的性质等知识是解题的关键．
（1）根据题意分别求出A点，B点和C点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据函数解析式设出P点和D点的坐标，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形则点Q在直线
BA上，且PD=DB=BQ，据此等量关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，A(5,0)，B(5,3)，C(0,3)，
k
设过点B的反比例函数解析式为y= ，
x
k
代入B点坐标得，3= ，
5
解得k=15，
15
∴过点B的反比例函数的解析式为y= ，
x
设直线AC的解析式为y=kx+b，
{5k+b=0)
代入A点和C点坐标得， ，
b=3{ k=− 3 )
解得 5 ，
b=3
3
∴过A，C两点的一次函数的表达式为y=− x+3；
5
（2）存在，
( 3 ) ( 15)
设P m,− m+3 ，则D m, ，
5 m
①若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，则点Q在直线BA上，且PD=DB=BQ，
∴ 15 − ( − 3 m+3 ) =❑ √ (m−5) 2+ ( 3− 15)
2❑
，
m 5 m
16 32
整理得 m2− m+7=0，
25 5
5 35
解得m= 或 ，
4 4
5 15 ( 3 ) 39
当m= 时，PD= − − m+3 = =BQ，
4 m 5 4
( 39)
∴此时Q 5,3− ，
4
( 27)
即Q 5,− ；
4
35 15 ( 3 ) 111
当m= 时，PD= − − m+3 = =BQ，
4 m 5 28
( 111)
∴Q此时 5,3− ，
28
( 27)
即Q 5,− ；
28
②若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，则点Q在直线BC上，且PD与BQ互相垂直平分，
3 15
− m+3+
则Q点的纵坐标为3，且 5 m ，
=3
2
−5±5❑√5
解得m= ，
2
∵m>0，
5❑√5−5
∴m= ，
2∴Q(5❑√5−10,3)，
( 27) 27
综上所述，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，则Q点的坐标为 5,− 或(5,− )或
4 28
(5❑√5−10,3)．
【变式8-3】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a，8)，AB⊥x轴于点
AB 4 k
B， = ，反比例函数y= 的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数图象的
OB 3 x
另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标；
(2)连接CD，OD，求S ；
△OCD
(3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存
在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
12
【答案】(1)y= ，E(−3，−4)
x
(2)9
(3)存在，12❑√5
AB 4
【分析】（1）根据 = 得出点A、D的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点E是反比例函数
OB 3
和直线OA的交点，所以先求出直线OA的表达式，再将反比例函数的表达式与直线OA的表达式联立，即
可求出点E的坐标；
（2）根据S =S −S −S 即可求出S ；
△OCD △OAB △OBD △ACD △OCD
（3）存在，当OM=ON时，四边形EMCN是平行四边形，当OM=ON=OC时，可证∠MCN=90°，
此时平行四边形EMCN为矩形，利用勾股定理分别求出CM、CN，即可得到矩形的周长．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为(a，8)，AB⊥x轴于点B，
∴AB=8，AB 4
∵ = ，
OB 3
∴OB=6，
∴A(6，8)，
又∵点 D的纵坐标为2，
∴D(6，2)，
k
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
x
∴k=6×2=12，
12
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
设直线OA的解析式为y=bx，
∵点A 在直线OA上，
∴6b=8，
4
解得 b= ，
3
4
∴直线OA的解析式为 y= x，
3
12
{ y= ，)
x
联立得
4
y= x，
3
{x =3，) {x =−3，)
解得 1 或 2
y =4 y =−4，
1 2
∴C(3，4)，E(−3，−4)；
（2）解：由（1）可知C(3，4),D(6，2),B(6，0)，
∵S =S −S −S ，
△OCD △OAB △OBD △ACD
1 1 1
∴S = OB×|y )− OB×|y )− AD×|x −x )
OCD 2 A 2 D 2 B c
1 1 1
= ×6×8− ×6×2− ×(8−2)×(6−3)
2 2 2
=24−6−9
=9；
（3）解：在x轴上存在两点M，N，使以点 E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下：∵设M(m，0)，N(−m，0)，
∴OM=ON，
∵C(3，4)，E(−3，−4)，
∴OC=OE，
∴四边形 EMCN是平行四边形，当 MN=CE=2OC=2×❑√32+42=10时，
∴OM=ON=5，即m=5或−5，
∴OM=ON=OC，
∴∠OMC=∠OCM，∠ONC=∠OCN，
∵∠OMC+∠OCM+∠ONC+∠OCN=180°，
∴∠OCM+∠OCN=90°，即∠MCN=90°，
∴此时平行四边形EMCN为矩形，
∵点M在点N 的左侧，
∴m=−5，
∴CM=❑√(3+5) 2+42=4❑√5， CN=❑√(5−3) 2+42=2❑√5，
∴矩形EMCN周长为 (4❑√5+2❑√5)×2=12❑√5.
【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判
定，根据要求求出点的坐标是解答本题的关键．
【题型9 反比例函数中的最值问题】
k
【例9】（2024·四川泸州·模拟预测）直线y=−x+2a(常数a>0)和双曲线y= (k>0,x>0)的图像有且
x
只有一个交点B．
(1)求点B的坐标（用含a的式子表示）；
(2)如图1，一次函数y=−x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图像上，且满足∠BPO=∠QPA．
①若a=1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；
OM−BP
②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求 的值．
PM
【答案】(1)B(a,a)
1 OM−BP
(2)①当m− =1时，BP+PQ的值最小，最小值为❑√3；② =1
m PM
【分析】（1）构建方程组根据有且只有一个交点，即Δ=b2−4ac=0，确定k与a的关系，再求出方程组
的解即可；
1
（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B'，连接QB'交OA于P，此时∠BPO=∠QPA，设Q(m, )
m
，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB
于K.利用全等三角形的性质证明OJ=PB，JH=PH，JM=PM即可解决问题．
{y=−x+2a
)
【详解】（1）解：由 k 消去y得到关于x的一元二次方程，x2−2ax+k=0，图像有且只有一
y=
x
个交点B，且二次项系数为1，一次项系数为−2a，常数项为k，根据根的判别式得，
∴Δ=0得，(−2a) 2−4k=0，
a2 {x=a)
∴k=a2，即反比例函数解析式为y= ，解方程组得到， ，
x y=a
∴B(a,a)．
（2）解：①如图所示，
1
作过B关于OA的对称点B'，连接QB'交OA于P，此时∠BPO=∠QPA，设Q(m, )，a=1，
m∴B(1,1)，则B′ (1,−1)，
∴BP+PQ=B′P+PQ=B′Q=❑ √ (m−1) 2+ ( 1 +1 ) 2 ，整理得，❑ √ ( m− 1 −1 ) 2 +3，
m m
∵1>0，
1
∴当m− =1时，BP+PQ的值最小，最小值为❑√3；
m
②如图所示，
过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K，由题意，B(a,a)，A(2a,0)，
∴OH=BH=AH=2a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BKJ=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP(ASA)，
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM，
∴△BJM≌△APM(ASA)，
∴JM=PM，
∴OM−PB=OJ+JM−PB=JM=PM，OM−BP
∴ =1．
PM
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的
判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问
题，属于中考压轴题．
【变式9-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图1，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于
m
A(1,0)和B(0,2)，以AB为对角线作矩形OACB，点C恰好在反比例函数y= (x>0)的图象上．
x
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图2，作线段BC的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；
(3)如图3，若点D是x轴上一点，则△BCD周长的最小值为 ．
2
【答案】(1)一次函数y=−2x+2，反比例函数表达式y=
x
3
(2)
2
(3)❑√17+1
【分析】（1）将A(1,0)和B(0,2)代入y=kx+b可得k和b的值，从而得出点C的坐标，即可解决问题；
（2）利用割补法求出△ABE的面积即可；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于D′，此时△BCD的周长最小，根据勾股定理求出B′C
的长，从而得出答案．
【详解】（1）解：将A(1,0)和B(0,2)代入y=kx+b得，
{k+b=0)
，
b=2{k=−2)
解得 ，
b=2
∴y=−2x+2，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB=2，
∴C(1,2)，
∴m=2，
2
∴y= ，
x
2
∴一次函数y=−2x+2，反比例函数表达式y= ；
x
(1 )
（2）解：由题意知E ,4 ，
2
1 3
∴S = ×3×1= ；
△ABE 2 2
(1 )
（3）：由题意知E ,4 ，
2
1 3
∴S = ×3×1= ；
△ABE 2 2
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于D′，此时△BCD的周长最小，
∵B(0,2)，
∴B′(0,−2)，
∴B′C=❑√12+42=❑√17，
∴BD+CD的最小值为❑√17，
∴△BCD周长的最小值为❑√17+1+，
故答案为：❑√17+1．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称−最
短路线问题是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在
k
x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y= 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点
x
D，交边BC于点E．若点C的坐标(2,2)．则阴影部分面积S最小值为 ．
3 1
【答案】 /1 /1.5
2 2
【分析】本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识点，由题意可得：则A点的纵坐标为
k
2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y= 可得到A点的坐标为
x
k ( k)
（ ，2），点E的坐标为 2，
2 2
，再根据S =S +S 列出解析式，然后根据二次函数的性质即可解答；将阴影部分的面积函数
阴影部分 △ACE △OBE
解析式表示出来是解题关键．
【详解】解：∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，
∴AC∥OB，BC⊥OB，
∵C的坐标为(2，2)，k ( k)
∴A点的坐标为（ ，2），点E的坐标为 2， ，点E的坐标为(2,0)，
2 2
∴S =S ❑ +S ❑ = 1 × ( 2− k) × ( 2− k) + 1 ×2× k = 1 k2− 1 k+2= 1 (k−2) 2+ 3 ．
阴影部分 △ ACE △ OBE 2 2 2 2 2 8 2 8 2
3
当k=2时，S 最小，最小值为 ．
阴影部分 2
3
故答案为： ．
2
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(1,6) 和B(3,2)都在反比例
6
函数y= 的图像上．
x
(1)在y轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
【答案】(1)存在，点P的坐标为(0,5)；
(2)在x轴上是否存在一点Q，使△QAB的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（答案不唯一）
【分析】（1）由AB是定值，则PA+PA′最小即为△PAB的周长最小，利用轴对称可解决问题；
（2）根据题意，提出问题即可；
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，利用轴对称的性质求最小值问题，熟练掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】（1）解：存在；
如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A的坐标为(1,6)，
∴点A′的坐标为(−1,6)，
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
{−k+b=6) {k=−1)
∴ ，解得 ，
3k+b=2 b=5
∴直线A′B的解析式为y=−x+5，
∴点P的坐标为(0,5)；
（2）解：在x轴上是否存在一点Q，使△QAB的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由，
如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点Q，此时△QAB的周长最小，
∵点B的坐标为(3,2)，
∴点B′的坐标为(3,−2)，
设直线AB′的解析式为y=mx+n，
{ m+n=6 ) {m=−4)
∴ ，解得 ，
3m+n=−2 n=10∴直线AB′的解析式为y=−4x+10，
∴点的坐标为．
