文档内容
第 1 讲 直线与圆综合问题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
突破二：两条直线平行与垂直
突破三：直线方程
突破四：距离问题
突破五：圆的方程
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
突破七：圆的切线问题
突破八：两圆的公共弦问题
突破九：圆的弦长问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点 ， （ ），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与 轴垂直，直线的倾斜角 ，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率 ，直线的倾斜角 ，直线与 轴重合或者平行。
2、两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或 ， 斜率都不存在.3、两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
4、直线方程
①直线 过点 和斜率 （已知一点+斜率）：
②直线 的斜率为 且在 轴上的纵截距为 （已知斜率+纵截距）：
③直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ：
④直线的一般式方程：
5、直线系方程
（1）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线 平行的直线系方
程都可表示为
Ax+By+m=0
(其中 为参数且 ≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定 的值.
（2）垂直直线系方程
一般地，与直线 垂直的直线系方程都可表示为
Bx−Ay+m=0(其中
为参数），然
后依据题设中的另一个条件来确定 的值.
6、点到直线的距离
平面上任意一点 到直线 ： 的距离 .7、对称问题
（1）点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点 关于点 的对称点
由：
（2）点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点 关于直线 ： 的对称点
①设 中点为 利用中点坐标公式得 ，将 代入直线 ：
中；
②
整理得：
（3）直线关于点对称问题(求 关于点 的对称直线 ，则 ）
方法一：在直线 上找一点 ，求点 关于点 对称的点 ，根据 ，再由点斜式求解；
方法二：由 ，设出 的直线方程，由点 到两直线的距离相等 求参数.
方法三：在直线 任意一点 ，求该点关于点 对称的点 ，则该点 在
直线 上.（4）直线关于直线对称问题
4.1直线 ： （ ）和 ： （ ）相交,求 关于
直线 的对称直线
①求出 与 的交点
②在 上任意取一点 (非 点），求出 关于直线 的对称点
③根据 ， 两点求出直线
4.2直线 ： （ ）和 ： （ ）平行,求 关于
直线 的对称直线
①
②在直线 上任取一点 ，求点 关于直线 的对称点 ，利用点斜式求直线 .
8、圆的标准方程我们把方程 称为圆心为 半径为 的圆的标准方程.
9、圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；记
;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;
10、圆的一般方程
对 于 方 程 （ 为 常 数 ） ， 当 时 ， 方 程
叫做圆的一般方程.
①当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆；
②当 时，方程表示一个点
③当 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：① 和 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③ .
11、直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
（1）几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
（2）代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数弦长公式：
12、圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
13、圆与圆的公共弦
（1）圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
（2）公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
（3）公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
1．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）已知 、 ，直线 过点 ，且与线段
相交，则直线 的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设直线 交线段 于点 ，记点 ，如下图所示：
当直线 从点 运动到点 （不包括点 ）时，直线 的倾斜角逐渐减小，且为钝角，此时直线 的斜率 ；
当直线 从点 运动到点 （不包括点 ）时直线 的倾斜角逐渐增大，且为锐角，
此时直线 的斜率 .
综上所述，直线 的斜率的取值范围是 .
故选：C.
2．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）已知直线 和以 ， 为端点的
线段相交，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】
直线 恒过定点 ，且 ， ，由图可知， 或 .
故选：C.
3．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知点 ， ，若点 在线段AB上，则 的取
值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】设 ，则 ，
因为点 在线段 上，所以 的取值范围是 ，
故选：A.
4．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））已知直线 与曲线 有两个不
同的交点，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意，将已知转化为直线 与曲线 有两个不同的交点，
直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与
轴的交点），
画出图形如下图所示．
当直线 ，即直线 与圆相切时，
则有 ，解得 ， ．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有 ，
∴实数 的取值范围是 ．故答案为： ．
突破二：两条直线平行与垂直
1．（2022·江苏南通·高二期中） 是直线 与直线 平行的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【详解】若直线 与直线 平行，则有 解得 或 ，
故当直线 与直线 平行时， 或 .
所以 是直线 与直线 平行的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直线 ： 与 ： 平行，则实数 （ ）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ： 的斜率存在且 ，
所以 ： 的斜率存在且 ，即 .
故选：C
3．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知 ， ，直线 与直线
垂直，则 的最小值是___________.
【答案】
【详解】 的法向量 的法向量
两直线垂直得 ，即
当且仅当 时取等号.
故答案为： .4．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知直线 ： ， ： ，若
，则实数 _________．
【答案】－3或0
【详解】当 时，直线 ： ， ： ，此时显然 ，符合题意；
当 时，整理可得直线 ： ， ： ，
由 ，则 ，解得 .
故答案为：－3或0
突破三：直线方程
1．（2022·北京四中高二期中）与直线 平行，且与圆 相切的直线方程为
______.
【答案】 或
【详解】由圆的方程知：圆心为 ，半径 ；
设所求直线方程为： ，
则圆心到直线距离 ，解得： 或 ，
所求直线方程为： 或 .
故答案为： 或 .
2．（2022·福建·晋江市季延中学高二期中）直线 被圆
截得的弦长为定值，则直线l的方程为
_________________________．
【答案】
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，显然点C的轨迹是直线 ，
直线 ，由 解得 ，即直线l过定点 ，
因直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值，因此直线l平行于圆心C的轨迹，
设直线l的方程为： ，有 ，解得 ，
此时直线l与圆心C的轨迹的距离为 ，即直线l与圆C相交，
所以直线l的方程为 .
故答案为：3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）直线l过点 ，若点 到直线 的距离为3，则直线 的方程为
______.
【答案】 或
【详解】解：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时点 到直线 的距离为3，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
所以此时点 到直线 的距离为 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为： 或 .
故答案为： 或 .
4．（2022·广东湛江·高三阶段练习）写出与直线 垂直且和圆 相切的一
条直线的方程：__________．
【答案】 或
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，设与直线 垂直的直线方程为：
，
依题意， ，解得 或 ，
所以所求的直线方程是 或 .
故答案为： 或
突破四：距离问题
1．（2022·浙江·高二期中）点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】由直线 ，整理可得 ，
令 ，解得 ，
点 到直线 距离的最大值为点 到定点 的距离，则 ，
故选：D.
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函数 的最小值是（ ）A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】 ，
则其几何意义为点 到两定点 的距离和，点 表示为横坐标上的点，作出如图所
示：
根据将军饮马模型，作出点 关于 轴对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，
则 ，此时直线 的直线方程为
令 ，则 ，故当 时， .
故选：A.
3．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难
入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上
点 与点 的距离.结合上述观点，可得 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
记点 、 、 ，则 ，
当且仅当点 为线段 与 轴的交点时，等号成立，即 的最小值为 .故选：C.
4．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）点 到直线 （ 为
任意实数）的距离的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将直线 方程整理为： ，
由 得： ， 直线 恒过点 ，
当 时，点 到直线 的距离最大，最大值为 .
故选：B.
5．（2022·山东青岛·高二期中）直线 过点 ， 和 两点到直线l的距离相等，则直线l
的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【详解】依题意，得
当直线 斜率不存在时，直线 为 ，此时 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ，不
满足题意；
当直线 斜率存在时，设直线 为 ，即 ，
因为 和 两点到直线l的距离相等，
所以 ，即 ，解得 或 ，
所以直线 为 或 ，即 或 .
故选：B.
6．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）若圆M： 上至少有3个点到直线l：的距离为 ，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆M： 的圆心 ，半径
显然一条直线过圆M的某条半径的中点并垂直于该半径时，圆M上恰有3点到该直线距离为圆M半径的
一半，即 ，
因此圆M上至少有3个点到直线l： 的距离为 ，等价于圆心M到直线l的距离 ，
则有 ，解得 或 ，
所以k的取值范围是 .
故选：C
7．（2022·河北·石家庄市第十八中学高二阶段练习）若第一象限内的点 关于直线 的对称
点在直线 上，则 的最小值是（ ）
A．25 B． C．17 D．
【答案】B
【详解】设 关于直线 的对称点为 ，依据题意可得：
，解方程组得 ，又 对称点在直线 上，代入可得
，且 在第一象限，则 ，则
，当且仅当 时，即 时，等号成立.
故选：B
8．（2022·湖北·高二阶段练习）平面直角坐标系中有点 ， ，直线 经过点 ，且 点到直
线 的距离是 ，则直线 的方程是__________．
【答案】 或
【详解】由直线 经过点 ，且点 ， ，当直线斜率不存在时，此时直线 的方程为 ，满足 点到直线 的距离是 ；
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，转化为 ，
因为 点到直线 的距离是 ，所以 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ．
故答案为： 或 .
9．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知直线 与
平行，则 ， 间的距离为___________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 且 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 ， 间的距离为 .
故答案为：
10．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二阶段练习）已知直线 ，
，则直线 与 之间的距离最大值为______.
【答案】5
【详解】直线 化简为： ，
令 且 ，解得 ， ，
所以直线 过定点 ，
直线 化简为： ，
令 且 ，解得 ， ，
所以直线 过定点 ，，
当 与直线 ， 垂直时，直线 ， 的距离最大，
且最大值为 ，
故答案为：5．
11．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）实数 满足：
，则 的最小值为________【答案】 ##4.5
【详解】由题设可得 ， ，
故 ，
设 ， ，则 ，
即函数 的图象的点 与直线 上的点 的连线段的平方，
而 ，令 ，则 ，此时 对应的函数值为1，
故函数 的图象在 处的切线为 ，
的最小值即为平行线 ， 之间的距离，
此距离为 ，故 的最小值为 ，
故答案为：
12．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）若实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为______.
【答案】2
【详解】由 ， ，故 可理解为曲线 上一点 与直线 上一点
间的距离的平方，对于函数 ，令 ，故可得 ，即函数 在 处的切线方
程为 ，切线方程与直线 平行，则函数 在 处的切线方程与直线 之间的
距离 ，故 的最小值为 .
故答案为：2.13．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知 为直线 上的动点，
，则m的最小值为___________.
【答案】
【详解】由 表示 到 和 的距离之和，
又 关于直线 的对称点为 ，
∴ 到 和 的距离之和的最小值为 与 之间的距离，
∴ .
故答案为： .
突破五：圆的方程
1．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）若直线 截取圆 所得弦长为2，则
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】因为圆 的半径为1，直径为2，故直线 过 的圆心 ，
故 ，解得 .
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 恒过定点P，则与圆C：
有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】直线 ，即 ，
由 解得 ，即 ，圆C： 的圆心 ， ，
所以所求圆的标准方程为 .
故选：B
3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）已知方程 表示圆，则k的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】因为 表示圆，
所以 ，解得 ，
得 的取值范围是 .
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 ，则 的外接圆的方程是___________．
【答案】
【详解】解：设 外接圆的方程为 ，
由题意得 ，解得 ，
所以 的外接圆方程为 .
故答案为： .
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））设圆心 在直线 与直线 上，点 在
上，则 的方程为______．
【答案】
【详解】由题意 解得 ，
设 的方程为 ，将 代入得 ，即 ，
所以 的方程为 ，
故答案为： .
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
1．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知圆C： 上的点到直线l：
的最大距离为M､最小距离为m，若 ，则实数k的值是（ ）
A． B．1 C． 或1 D． 或1
【答案】D
【详解】圆C： 的圆心坐标为 ，半径为 ；直线l： 化为一般式是 .
由点到直线的距离公式可知，圆心 到直线l： 的距离为
，
易知当l与圆C相切时 ；
当l与圆相交时， ，均不合题意，故直线l与圆C必相离，
此时圆C上的点到直线l的最大距离为 ，最小距离为 .
因为 ，所以 ，得 ，即 ，解得 或 .
经检验直线l与圆C相离，符合题意.综上， 或 .
故选：D.
2．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）直线 被圆 截得的最短弦长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆 ，直线 恒过点 ，
点 在圆内，当点 是圆的弦中点时，弦长最短，
圆心和点 的距离 ，
所以最短弦长 .
故选：D
3．（2022·全国·模拟预测）已知点P是曲线 上的动点，则点P到直线 的距离的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 得 ，所以曲线C是以 为圆心， 的圆，因为点
到直线 的距离为 ，所以点P到直线 的距离的最大值为 .
故选：B．
4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知 是圆 上的一点，则 的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 表示圆上的点 到点 的距离，
由 可化为 ，则圆心为 ，半径为 ，
点 到圆心的距离为 ，
所以点 到点 的距离的最小值为 ，
即 的最小值是 .
故答案为： .
5．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）直线 分别与 轴， 轴交于 两点，点 在圆
上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 直线 ， 令 ，得 ，令 ，得 ，
，
点 到直线 的距离为 的高 ，
又 圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离为： ，
所以点 到直线的距离 的最大值为 ，最小值为 ，
则 面积为 ，最大值为 ，
最小值为 ，所以 面积的取值范围为 ，故A，B，C错误.
故选：D.6．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知圆 的方程为 ， 是圆 上一动
点，点 ， 为线段 的中点，则 的最小值为__________.
【答案】 ##
【详解】设 ， ，点 为线段 的中点，有 ，得 ，
在圆 上，满足圆的方程，则有 ，化简得 点轨迹方程为
，
点轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，如图所示，
，所以 的最小值为 .
故答案为：
7．（2022·北京市第五十七中学高三阶段练习）若点 在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点 作圆
的切线，切点为 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】原点 ，而点 ，有 ，圆O与圆C半径分别为1，2，显然圆O与圆C外离，
因PQ切圆C于点Q，有 ，因此 ，
当且仅当 最小时， 取得最小值，而点P在圆 上，于是得 ，
所以 .
故答案为：
8．（2022·湖南·衡阳市一中高二期中）已知 是曲线 上两个不同的点， ，则
的最大值与最小值的比值是__________．
【答案】【详解】由 ，得 ，
， 或 ．
当 时，原方程化为 ，当 时，原方程化为 ．
所以方程 表示的曲线为圆P： 的左半部分和圆Q：
的右半部分．
画出方程所表示的曲线如图：
有 ， ， ， ， ， ， ， ，
当 、 分别与图中 、 两点重合时， 取最大值为6，
当 、 分别与图中 、 、 、 四点中的某两点重合时， 取最小值为 ，
的最大值与最小值的比值是 ．
故答案为：
9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）一束光线从点 射出，经 轴上一点 反射后到达圆
上一点 ，则 的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：由题知：圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
如图，设 关于 轴对称的点为 ，
所以，
因为 ，当且仅当 三点共线，
，当且仅当 三点共线，
所以， ，当且仅当， 三点
共线， 三点共线时等号成立，
所以， 的最小值为故答案为：
10．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知O是坐标原点，A，B是圆O： 上两点，且
，若弦 的中点为 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】设点 ，因此 表示 ，
由 ，
因为 ，所以 ，因为 是弦 的中点，
所以 ，所以 ，
当点 在线段 上时， 最小，
最小值为 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
突破七：圆的切线问题
1．（2022·江苏连云港·高二期末）从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】 的圆心为 ，
设切点为A，半径 ，如图所示，由切线性质知， ，
则切线长 ．
故选: C．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 是圆 ： 的对称轴，过点
作圆 的一条切线，切点为 ，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：圆 即 ，圆心为 ，半径为 ，
由题意可知 过圆的圆心 ，
则 ，解得 ，点 的坐标为 ，
作示意图如图所示：
，切点为 ，则 ，
所以 ．
故选：B．
3．（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点 引圆 的切线，则切线的方程为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】C
【详解】若切线与 轴垂直，则切线方程为 ，此时圆心 到直线 的距离为 ，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，解得 ，此时，所求切线的方程为 .
综上所述，所求切线方程为 或 .
故选：C.
4．（2022·四川省南充高级中学高二阶段练习（理））若圆C: 上任意一点关于直线
的对称点都在圆 上，由点 向圆 作切线，则切线段长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】 圆 ，
化简为: ，
圆的圆心坐标: ， 半径为 ，
圆 关于直线 对称，
在直线 上，
可得 ，即 ，
点 与圆心的距离为 ，
点 向圆 所作切线长为 当且仅当
时切线长最小，最小值为4 .
故选：C.
5．（2022·全国·高二课时练习）过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程为
_________．
【答案】 或
【详解】由已知圆心 ，半径 .
又 ，所以，点 在圆外.
当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 .
此时，圆心到直线 的距离 ，所以直线 不是圆的切线；
当直线 斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为 ，
整理可得， .
因为直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离 ，
即 ，整理得， ，解得， 或 .
当 时，直线方程为 ；
当 时，直线方程为 ，化为一般式方程为 .
所以切线 的方程为 或 .
故答案为： 或 .
6．（2022·全国·高二课时练习）曲线 与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取
值范围是________．
【答案】
【详解】直线l过点A（2，4），又曲线 的图象是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
如图，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，
即 ，解得 .
当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为 ，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为 .
故答案为：
突破八：两圆的公共弦问题
1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圆 与圆 公共弦所在直线方
程为___________．
【答案】
【详解】解法一：设 、 为公共弦上两点，
则 ，得 ，
同理得 ，
∴ 两圆的公共弦方程为 ．
解法二：直接把两圆方程相减得 为公共弦方程．
故答案为： ．
2．（2022·四川成都·高二期中（文））圆 与圆 的公共弦长为______．
【答案】
【详解】圆 与圆 的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即 ，
圆 的圆心为 ，半径 为2，
圆心 到 的距离 ，
∴两圆公共弦长 ，
故答案为： .
3．（2022·天津·耀华中学高二期中）两圆 和 相交于两点 ，则公
共弦 的长为__________.
【答案】 ##
【详解】由 ，解得 ，或 ，
所以不妨取两圆的交点为 ，
所以 .
故答案为： .
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））过点 作圆 的两条切线，切点分
别为A，B，则直线AB 的方程为_____．（请用直线方程的一般式作答）
【答案】
【详解】由题设，圆心为 、 ，则以 为直径的圆为 ，所以 为 和 的公共弦，
故直线 的方程，将两圆方程相减可得： .
故答案为：
突破九：圆的弦长问题
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）若直线 被圆 截得
线段的长为6，则实数 的值为__________.
【答案】25
【详解】 ，圆心
又根据弦长公式 可得：
故答案为：25
2．（2022·四川省绵阳江油中学模拟预测（理））若直线 过 ，且被圆
截得的弦长为 ，则直线 方程为______
【答案】 或
【详解】由 ，得 ，
所以圆 的标准方程为 ，即圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以圆心到直线 的距离为 ，
当斜率不存在时，直线 的方程为 ，也符合题意；
当斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
因为圆心 到直线 ： 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以直线方程为 ．
即所求直线 的方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（2022·广东·模拟预测）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相交于点 两
点，若 ，则 ______．【答案】
【详解】设点 ，则直线 的方程为 ，即 ，
因为 ， 的半径为2，
故弦 的弦心距为 ，即圆心 到直线 的距离为 ，
故 ，解得 ，即 ,
故 ,
故答案为： .
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））过点 作一条直线与圆 分别交于M，N两点.若弦
MN的长为 ，则直线MN的方程为______.
【答案】 或 （其他形式，只要正确亦可）
【详解】由题意可知，直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则直线MN的方程为 ，即
.
若弦MN的长为 ，则圆心 到直线MN的距离为 ，所以 ，解得
.
故直线MN的方程为 或 ，即 或 .
故答案为： 或 .
5．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知圆 过平面内三点 ， ， ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若点B也在圆 上，且弦AB长为 ，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）设圆 的方程为 ，，解得
即 ，故圆 的标准方程为 ．
（2）圆心 到直线 的距离 ，
当直线 斜率不存在时， 方程为： ，此时 ，不符合题意；
当直线 斜率存在时，设直线 方程为： ，
，解得
∴直线 方程为 或 ．
6．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知圆 : ，点 坐标为
， 为圆 上动点， 中点为 .
(1)当点 在圆 上动时，求点 的轨迹方程；
(2)过点 的直线 与 的轨迹相交于 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1） ，所以 在圆 外.
设 ，由于 的中点是 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 点的轨迹方程为 .
（2） 点的轨迹方程为 ，所以 是以 为圆心，半径为 的圆，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
由 ，解得 或 ，满足 .
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
由于 ， ， ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
7．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知圆 ，直线
.
(1)若直线 与圆 交于 两点， ，求 的值.
(2)求证：无论 取什么实数，直线 与圆 恒交于两点；
(3)求直线 被圆 截得的最短弦长，以及此时直线 的方程.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3) ，
【详解】（1）依题意，圆心 ，
根据圆的弦长公式
解之：
（2）
由直线方程
解得定点 ，
又 ， 在圆内，
无论 取什么实数，直线 与圆 恒交于两点得证.
（3）由弦长公式
此时此时
综上：
8．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知直线 经过直线 和
的交点，且与直线 垂直.
(1)求直线 的方程；
(2)若圆 过点 ，且圆心 在 轴的负半轴上，直线 被圆 所截得的弦长为 ，求圆 的标准方
程.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由已知，得 解得两直线交点为 ，
设直线 的斜率为 ，因为直线 与 垂直，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（2）设圆 的标准方程为 ，
则由题意，得
解得 或 （舍去），
所以 ，所以圆 的标准方程为： .
9．（2022·山东省济南市莱钢高级中学高二期中）已知圆 和点 ．
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线 截得的弦长为8的圆M的方程；
【答案】(1) 或
(2)
【详解】（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为： ，为圆O的切线；
当切线l的斜率存在时，设直线方程为： ，即 ，
∴圆心O到切线的距离为： ，解得：
∴直线方程为： ．
综上，切线的方程为： 或（2）点 到直线 的距离为： ，
又∵圆被直线 截得的弦长为8，由垂径定理得： ，
∴
∴圆M的方程为：
10．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 相切
于点 .
(1)求圆 的方程；
(2)若过点 的直线 被圆 截得的弦 的长为4，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）解：因为圆 的圆心在直线 上，
所以设圆心为 ，
又因为圆与直线 相切于点 ，
所以 ，
解得 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆 的方程 ；
（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为 ，
圆心到直线的距离为 ，
所以弦长为 ，成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离为 ，
所以弦长为 ，
解得 ，
所以直线方程为： ，所以直线 的方程为 或 .
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：直线 的斜率为 ，设直线的倾斜角为 ，且
所以 ，则 .
故选：B.
2．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知直线的方程为 ，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 .
故选: .
3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知x，y满足 ，若不等式 恒
成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 可化为 ，表示的是以 为圆心， 为半径的
圆，
可以看作是直线 在 轴上的截距，
当直线 与圆 相切时，纵截距 取得最大值或最小值，
此时 ，解得 或 ，所以 ，
又因为不等式 恒成立，所以 ，
则c的取值范围是 .
故选：B.
4．（2022·浙江大学附属中学高二期中）若直线 与 互相垂直，则实
数 （ ）A． B． C． 或0 D． 或0
【答案】D
【详解】解：若直线 与 互相垂直，
则 ，即 ，解得 或 .
故选：D.
5．（2022·河北·任丘市第一中学高二阶段练习）已知圆 与圆
的公共弦所在直线恒过点 ，且点 在直线 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由圆 ，圆 ，
两式相减，得圆 与圆 的公共弦所在直线方程为： ，
联立 ，解得 ，即 ， ，
又 在直线 上，
，即 ．
有 ，得 ．当且仅当 时取等，
的取值范围是 .
故选：C．
6．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）过点 作圆 的切线，则切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知点 在圆 上， ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，化简可得 .
故选：B
7．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知动点M，N分别在抛物线 ： 和圆 ：
上，则 的最小值为（ ）A． B． C．5 D．6
【答案】A
【详解】设 ，则 ，即 ，
由题意可得： ，
∵ ，
令 ，则 在R上单调递增，且 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
即 ， ，则 .
故选：A.
8．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知直线 ： 和圆 ： 交于A，B两
点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆 的标准方程为 ，
圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以弦长 ，
在 中，由余弦定理可得：
.
故选：C
9．（2022·四川·威远中学校高二期中（文））一条光线从点 射出，经x轴反射后，与圆
相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D．【答案】A
【详解】 点关于x轴的对称点为 ，所以反射光线经过 ，
当反射光线所在直线与 轴垂直时，即 ，
圆 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以直线 与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为 ，
则反射光线所在直线的方程为 ，即 ，
因为反射光线与圆相切，所以 ，解得 或 ，
所以反射光线所在直线的方程为 ，或 ，
整理得 或 .
故选：A.
10．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知圆 ，圆
，过圆 上任意一点 作圆 的两条切线 、 切点分别
为 、 ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，圆 的圆心为 ，半径为1，圆 的圆心 ，半径为2，
所以 ，
而 ，所以两圆相离，
，要使 取得最小值，
需要 和 越小，且 越大才能取到，
设直线CM和圆 交于H，G两点（如下图），则 的最小值是 ，
， ，
则 ，
所以 ，
故选：C.
11．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二阶段练习）若圆 与圆 关于直线
对称，圆 上任意一点 均满足 ，其中 ， 为坐标原点，则圆 和圆
的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
设圆心 关于直线 的对称点为 ，
则有 ，解得 ，所以 .
又圆 的半径 ，则圆 的半径 ，
所以圆 的方程为 .
设 ，则 ， .
又 ，则 ，
整理可得， ，圆 的方程为 ，圆心 ， .
则圆 和圆 圆心距 ，
又 ，则
所以，圆 和圆 外切，所以两圆的公切线有3条.
故选：C.
二、多选题
12．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 在圆内 B．圆M关于 对称
C．直线 与截圆M的弦长为 D．直线 与圆M相切
【答案】BCD
【详解】已知圆 ，则其标准方程为 ，
，圆心 ，
将点 到圆心 的距离 ，
所以，点 在圆外，A选项错误；
将圆心 代入直线 ，得 ，成立
所以直线过圆心，则圆 关于直线 对称，B选项正确；
因为圆心 直线 的距离 ,
可得弦长为 ,C选项正确；
因为圆心 直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相切，D选项正确；
故选：
13．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设动直线 交圆
于A，B两点（C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点 B．当 取得最大值时，
C．当 最小时，其余弦值 D． 的取值范围是
【答案】AD【详解】对于A，由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以直线 过定点 ，故A正确；
对于B，由 可知，圆心 ，半径 ，
当直线 经过圆心 时， 取得最大值 ，
所以 ，解得 ，故B不正确；
对于C，显然点 在圆 内，设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，
因为 在 单调递减， 在 内，所以当 最小时，
最大， 最小，
因为 的最小值为 ，所以此时 ，故C不正确；
对于D，因为 ，
由B知， ，所以 ，即 的取值范围是 ，故D正确.
故选：AD
14．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知圆 （ 为圆心），直线
，点 在直线 上运动，直线 分别与圆 切于点 ．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点为
【答案】AB
【详解】由圆的方程知：圆心 ，半径 ；对于AB， ，
若 取得最小值，则 取得最小值，
，
当 ，即 为圆心 到直线 的距离 时， 最小，即 最小，
， ， ，
此时 ，解得： ，AB正确；
对于CD，设 ， ，
当在点 处的切线斜率存在时，其斜率为 ，则切线方程为： ，
即 ，
，又 ，
在点 处的切线方程为： ；
当在点 处的切线斜率不存在时，即 时， ，则切线方程为： ，满足
；
综上所述：在点 处的切线方程为 ；
同理可得：在点 处的切线方程为 ；
又 为两条切线的交点，设 ，
则 满足 ，坐标满足方程 ，
当过 作圆 两条切线，切点分别为 时，直线 方程为： ，
当 最小时，直线 方程为： ，即 ，
由 得： ，即 ；
此时直线 方程为： ，即 ，且此时直线 不过点 ，C错误，D错误.
故选：AB.
三、填空题
15．（2022·吉林·长春博硕学校高二期中）在平面直角坐标系 中，若直线 与曲线
，有两个公共点，b的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：由 得 ，
作出图像如下：
当直线 与 相切时，
，
解得 ， （舍去）．
满足题意的直线 夹在 和 之间（图中虚线所示），
．
故答案为： ．
16．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二期中）在平面直角坐标系 中，过
轴上的点 分别向圆 和圆 引切线，记切线长分别为 、 .
则 的最小值为__________.【答案】
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 .
设点 ，则 ，
所以， 的几何意义是点 到点 的距离，
，
所以， 的几何意义是点 到点 的距离，如下图所示：
，
当且仅当点 为线段 与 轴的交点时，等号成立，故 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题
17．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）已知 为双曲线 的右焦点，且
点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的直线 与双曲线 相交于点 ，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，若 ，求直
线 的方程.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【详解】（1） 是双曲线 的一条渐近线方程，
则 ，故 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以双曲线 的方程为 .（2）由题可设直线 的方程为 ，设 ， ，
若 ，则线段 的垂直平分线即为 轴，不满足题意，所以 ；
当 时，此时直线 斜率为 ，即直线 与双曲线的渐近线平行时，此时直线 与双曲线只有
一个交点，所以 ，则 .
联立直线与双曲线的方程 ，可得 ，
恒成立，
根据韦达定理可得 ，
设线段 的中点 为 ，则 ，
，又 ，
所以线段 的垂直平分线的方程为 .
令 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 ，整理得 ，所以 或 （舍去），
所以 ，即直线 的方程为 或 .
18．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）已知抛物线 ，点 在直线 上，直线 绕
点 旋转，与 交于 ， 两点.当直线 垂直于 轴时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)当点 为弦 的中点时，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）把 代入 ，则 ，∴ 即 ，
∴抛物线的方程为： .
（2）设 ， ，则 …①， …②
②-①得： ， ，
∴ ，
则直线 的方程为： ，即
19．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知圆 经过点 ， ，且______．从下列3个条
件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．
①与 轴相切；②圆 恒被直线 平分；③过直线 与直线 的
交点C．
(1)求圆 的方程；
(2)求过点 的圆 的切线方程．
【答案】(1)任选一条件，方程都为
(2) 或
【详解】（1）解：选①，设圆 的方程为 ，
由题意可得 ，解得 ，则圆 的方程为 ；
选②，直线 恒过 ，
而圆 恒被直线 平分，
所以 恒过圆心，因为直线 过定点 ，
所以圆心为 ，可设圆的标准方程为 ，
由圆 经过点 ，得 ，
则圆 的方程为 ．
选③，由条件易知 ，
设圆的方程为 ，
由题意可得 ，解得 ，
则圆 的方程为 ，即 ．综上所述，圆 的方程为 ；
（2）解：因为 ，所以点P在圆 外，
若直线斜率存在，设切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即
所以 ，解得 ．
所以切线方程为 ，
若直线斜率不存在，直线方程为 ，满足题意．
综上过点 的圆 的切线方程为 或 ．
20．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知圆 ，直线
， ，且直线 和 均平分圆 .
(1)求圆 的标准方程
(2)直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）因为直线 和 均平分圆 ，所以直线 和 均过圆心 ，
因为 ，解得 ，所以直线 和 的交点坐标为 ，
所以圆心 的坐标为 ，
因为圆 ，所以圆心坐标为 ，
所以 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ，即 ，
所以圆 的标准方程为 .
（2）由（1）得圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
因为 ，且 为等腰三角形，所以 ，
因为 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，根据点到直线的距离公式 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 的值为 或 .
