文档内容
第 1 讲 直线与圆综合问题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
突破二：两条直线平行与垂直
突破三：直线方程
突破四：距离问题
突破五：圆的方程
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
突破七：圆的切线问题
突破八：两圆的公共弦问题
突破九：圆的弦长问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点 ， （ ），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与 轴垂直，直线的倾斜角 ，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率 ，直线的倾斜角 ，直线与 轴重合或者平行。
2、两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或 ， 斜率都不存在.3、两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
4、直线方程
①直线 过点 和斜率 （已知一点+斜率）：
②直线 的斜率为 且在 轴上的纵截距为 （已知斜率+纵截距）：
③直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ：
④直线的一般式方程：
5、直线系方程
（1）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线 平行的直线系方
程都可表示为
Ax+By+m=0
(其中 为参数且 ≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定 的值.
（2）垂直直线系方程
一般地，与直线 垂直的直线系方程都可表示为
Bx−Ay+m=0(其中
为参数），然
后依据题设中的另一个条件来确定 的值.
6、点到直线的距离
平面上任意一点 到直线 ： 的距离 .7、对称问题
（1）点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点 关于点 的对称点
由：
（2）点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点 关于直线 ： 的对称点
①设 中点为 利用中点坐标公式得 ，将 代入直线 ：
中；
②
整理得：
（3）直线关于点对称问题(求 关于点 的对称直线 ，则 ）
方法一：在直线 上找一点 ，求点 关于点 对称的点 ，根据 ，再由点斜式求解；
方法二：由 ，设出 的直线方程，由点 到两直线的距离相等 求参数.
方法三：在直线 任意一点 ，求该点关于点 对称的点 ，则该点 在
直线 上.（4）直线关于直线对称问题
4.1直线 ： （ ）和 ： （ ）相交,求 关于
直线 的对称直线
①求出 与 的交点
②在 上任意取一点 (非 点），求出 关于直线 的对称点
③根据 ， 两点求出直线
4.2直线 ： （ ）和 ： （ ）平行,求 关于
直线 的对称直线
①
②在直线 上任取一点 ，求点 关于直线 的对称点 ，利用点斜式求直线 .
8、圆的标准方程我们把方程 称为圆心为 半径为 的圆的标准方程.
9、圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；记
;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;
10、圆的一般方程
对 于 方 程 （ 为 常 数 ） ， 当 时 ， 方 程
叫做圆的一般方程.
①当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆；
②当 时，方程表示一个点
③当 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：① 和 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③ .
11、直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
（1）几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
（2）代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数弦长公式：
12、圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
13、圆与圆的公共弦
（1）圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
（2）公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
（3）公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
1．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）已知 、 ，直线 过点 ，且与线段
相交，则直线 的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）已知直线 和以 ， 为端点的
线段相交，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知点 ， ，若点 在线段AB上，则 的取
值范围（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））已知直线 与曲线 有两个不
同的交点，则实数 的取值范围是________.
突破二：两条直线平行与垂直
1．（2022·江苏南通·高二期中） 是直线 与直线 平行的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直线 ： 与 ： 平行，则实数 （ ）
A．2 B．－2 C． D．
3．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知 ， ，直线 与直线
垂直，则 的最小值是___________.
4．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知直线 ： ， ： ，若
，则实数 _________．
突破三：直线方程
1．（2022·北京四中高二期中）与直线 平行，且与圆 相切的直线方程为
______.
2．（2022·福建·晋江市季延中学高二期中）直线 被圆
截得的弦长为定值，则直线l的方程为
_________________________．
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）直线l过点 ，若点 到直线 的距离为3，则直线 的方程为
______.
4．（2022·广东湛江·高三阶段练习）写出与直线 垂直且和圆 相切的一
条直线的方程：__________．突破四：距离问题
1．（2022·浙江·高二期中）点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函数 的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
3．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难
入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上
点 与点 的距离.结合上述观点，可得 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）点 到直线 （ 为
任意实数）的距离的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东青岛·高二期中）直线 过点 ， 和 两点到直线l的距离相等，则直线l
的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
6．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）若圆M： 上至少有3个点到直线l：
的距离为 ，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河北·石家庄市第十八中学高二阶段练习）若第一象限内的点 关于直线 的对称
点在直线 上，则 的最小值是（ ）
A．25 B． C．17 D．
8．（2022·湖北·高二阶段练习）平面直角坐标系中有点 ， ，直线 经过点 ，且 点到直
线 的距离是 ，则直线 的方程是__________．9．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知直线 与
平行，则 ， 间的距离为___________.
10．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二阶段练习）已知直线 ，
，则直线 与 之间的距离最大值为______.
11．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）实数 满足：
，则 的最小值为________
12．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）若实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为______.
13．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知 为直线 上的动点，
，则m的最小值为___________.
突破五：圆的方程
1．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）若直线 截取圆 所得弦长为2，则
（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 恒过定点P，则与圆C：
有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）已知方程 表示圆，则k的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 ，则 的外接圆的方程是___________．
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））设圆心 在直线 与直线 上，点 在
上，则 的方程为______．
突破六：与圆上点有关的距离最值问题1．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知圆C： 上的点到直线l：
的最大距离为M､最小距离为m，若 ，则实数k的值是（ ）
A． B．1 C． 或1 D． 或1
2．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）直线 被圆 截得的最短弦长为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知点P是曲线 上的动点，则点P到直线 的距离的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知 是圆 上的一点，则 的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）直线 分别与 轴， 轴交于 两点，点 在圆
上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知圆 的方程为 ， 是圆 上一动
点，点 ， 为线段 的中点，则 的最小值为__________.
7．（2022·北京市第五十七中学高三阶段练习）若点 在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点 作圆
的切线，切点为 ，则 的最小值为___________.
8．（2022·湖南·衡阳市一中高二期中）已知 是曲线 上两个不同的点， ，则
的最大值与最小值的比值是__________．
9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）一束光线从点 射出，经 轴上一点 反射后到达圆
上一点 ，则 的最小值为_____．
10．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知O是坐标原点，A，B是圆O： 上两点，且
，若弦 的中点为 ，则 的最小值为___________.突破七：圆的切线问题
1．（2022·江苏连云港·高二期末）从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 是圆 ： 的对称轴，过点
作圆 的一条切线，切点为 ，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点 引圆 的切线，则切线的方程为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
4．（2022·四川省南充高级中学高二阶段练习（理））若圆C: 上任意一点关于直线
的对称点都在圆 上，由点 向圆 作切线，则切线段长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2022·全国·高二课时练习）过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程为
_________．
6．（2022·全国·高二课时练习）曲线 与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取
值范围是________．
突破八：两圆的公共弦问题
1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圆 与圆 公共弦所在直线方
程为___________．
2．（2022·四川成都·高二期中（文））圆 与圆 的公共弦长为______．
3．（2022·天津·耀华中学高二期中）两圆 和 相交于两点 ，则公
共弦 的长为__________.
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））过点 作圆 的两条切线，切点分
别为A，B，则直线AB 的方程为_____．（请用直线方程的一般式作答）突破九：圆的弦长问题
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）若直线 被圆 截得
线段的长为6，则实数 的值为__________.
2．（2022·四川省绵阳江油中学模拟预测（理））若直线 过 ，且被圆
截得的弦长为 ，则直线 方程为______
3．（2022·广东·模拟预测）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相交于点 两
点，若 ，则 ______．
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））过点 作一条直线与圆 分别交于M，N两点.若弦
MN的长为 ，则直线MN的方程为______.
5．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知圆 过平面内三点 ， ， ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若点B也在圆 上，且弦AB长为 ，求直线AB的方程．
6．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知圆 : ，点 坐标为
， 为圆 上动点， 中点为 .
(1)当点 在圆 上动时，求点 的轨迹方程；
(2)过点 的直线 与 的轨迹相交于 两点，且 ，求直线 的方程.
7．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知圆 ，直线
.
(1)若直线 与圆 交于 两点， ，求 的值.
(2)求证：无论 取什么实数，直线 与圆 恒交于两点；
(3)求直线 被圆 截得的最短弦长，以及此时直线 的方程.8．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知直线 经过直线 和
的交点，且与直线 垂直.
(1)求直线 的方程；
(2)若圆 过点 ，且圆心 在 轴的负半轴上，直线 被圆 所截得的弦长为 ，求圆 的标准方
程.
9．（2022·山东省济南市莱钢高级中学高二期中）已知圆 和点 ．
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线 截得的弦长为8的圆M的方程；
10．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 相切
于点 .
(1)求圆 的方程；
(2)若过点 的直线 被圆 截得的弦 的长为4，求直线 的方程.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知直线的方程为 ，则该直线的倾斜角为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知x，y满足 ，若不等式 恒
成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江大学附属中学高二期中）若直线 与 互相垂直，则实
数 （ ）
A． B． C． 或0 D． 或0
5．（2022·河北·任丘市第一中学高二阶段练习）已知圆 与圆
的公共弦所在直线恒过点 ，且点 在直线 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）过点 作圆 的切线，则切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知动点M，N分别在抛物线 ： 和圆 ：
上，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
8．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知直线 ： 和圆 ： 交于A，B两
点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川·威远中学校高二期中（文））一条光线从点 射出，经x轴反射后，与圆
相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D．
10．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知圆 ，圆
，过圆 上任意一点 作圆 的两条切线 、 切点分别
为 、 ，则 的最小值是（ ）A． B．3 C． D．
11．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二阶段练习）若圆 与圆 关于直线
对称，圆 上任意一点 均满足 ，其中 ， 为坐标原点，则圆 和圆
的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、多选题
12．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 在圆内 B．圆M关于 对称
C．直线 与截圆M的弦长为 D．直线 与圆M相切
13．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设动直线 交圆
于A，B两点（C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点 B．当 取得最大值时，
C．当 最小时，其余弦值 D． 的取值范围是
14．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知圆 （ 为圆心），直线
，点 在直线 上运动，直线 分别与圆 切于点 ．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点为
三、填空题
15．（2022·吉林·长春博硕学校高二期中）在平面直角坐标系 中，若直线 与曲线
，有两个公共点，b的取值范围是______.
16．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二期中）在平面直角坐标系 中，过
轴上的点 分别向圆 和圆 引切线，记切线长分别为 、 .
则 的最小值为__________.
四、解答题17．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）已知 为双曲线 的右焦点，且
点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的直线 与双曲线 相交于点 ，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，若 ，求直
线 的方程.
18．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）已知抛物线 ，点 在直线 上，直线 绕
点 旋转，与 交于 ， 两点.当直线 垂直于 轴时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)当点 为弦 的中点时，求直线 的方程.
19．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知圆 经过点 ， ，且______．从下列3个条
件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．
①与 轴相切；②圆 恒被直线 平分；③过直线 与直线 的
交点C．
(1)求圆 的方程；
(2)求过点 的圆 的切线方程．
20．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知圆 ，直线， ，且直线 和 均平分圆 .
(1)求圆 的标准方程
(2)直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求实数 的值.
