文档内容
第 1 讲 函数的图象与性质
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：函数的定义及其表示
角度1：函数的定义域
角度2：函数的值域
角度3：分段函数及其应用
突破二：函数奇偶性与单调性
突破三：函数奇偶性与对称性与周期性综合
突破四：函数的图象及其应用
角度1：根据解析式识别函数图象
角度2由图象确定函数解析式
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、函数的单调性①判断方法:定义法、图象法、导数法.
②复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
③函数相加或相减后单调性
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
2、函数的奇偶性
①判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
②对数型复合函数判断奇偶性常用 或 来判断奇偶性.
③ ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
3、函数的周期性
函数周期性的常用结论与技巧（同号周期）
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期
4、函数对称性
（1）轴对称：若函数 关于直线 对称，则
① ；
② ；
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
5、函数图象
（1）平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②③
④
（2）对称变换
① 的图象 的图象；
② 的图象 的图象；
③ 的图象 的图象；
④ ( ，且 )的图象 ( ，且 )的图象.
（3）伸缩变换
① .
② .
（4）翻折变换（绝对值变换）
① 的图象 的图象；
（口诀；以 轴为界，保留 轴上方的图象；将 轴下方的图象翻折到 轴上方）
② 的图象 的图象.
（口诀；以 轴为界，去掉 轴左侧的图象，保留 轴右侧的图象；将 轴右侧图象翻折到 轴左侧；本
质是个偶函数）
（5）图象识别技巧（按使用频率优先级排序）
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（ ； ； ， ；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
④极限（左右极限）（ ； ； ； ；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
第二部分：重难点题型突破
突破一：函数的定义及其表示
角度1：函数的定义域
1．（2022·山东济南·二模）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，且 ，
所以函数 的定义域是 .
故选：A.
2．（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为函数 的定义域为 ，
所以， ，即 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为
故选：C
角度2：函数的值域
1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数 的值域（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意， ，其中 的值
域为 ，故函数 的值域为 ，故选D．
2．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知定义在 的函数 ，满足：
在 上的解析式为 ，设 的值域为 ．若存在实数 ，使得 ，
则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时，当 时， ，则
当 时， ，则
所以 时，
由 ，则 时，
则 时，
所以则 时，
由则存在实数 ，使得 ， 即存在实数 使得 ，解得
由上可知，当 时， 的值域为 ，显然满足题意.
当 时，当 时， ，则
当 时， ，则
所以 时，
同理可得，当 时，
由则存在实数 ，使得 ， 即存在实数 使得 ，
解得
所以满足条件的 是范围： ，由选项可知：选项C满足
故选：A
角度3：分段函数及其应用
1．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ， ,
∴当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ,即 （舍去），
∴ ,
故选:C
2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知 ，若 ，
则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【详解】因为当 时， ，
所以
，
又 ，所以 ，
所以 ， ， ，
所以若 ，则n的最大值为10，
故选：B.
3．（2022·山西·模拟预测（文））已知函数 若函数 有三个零点，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数 当 时，方程 ．可得 ．解得 ，函数有一个
零点，
则当 时，函数有两个零点，即 ，在 时有两个解．
设 ，其开口向上，对称轴为： 在 上单调递减，在 上单调
递增，所以 ，且 ，解得 ．
故选：C．
4．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知函数 满足对任意的实数
，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为对任意的实数 ，且 ，都有 成立，
所以，对任意的实数 ，且 ， ，即函数 是 上的减函数．
因为 ，
令 ， ，要使 在 上单调递减，
所以， 在 上单调递增．
另一方面，函数 为减函数，
所以， ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 ．
故选：D．
5．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数 则不等式 的解
集为______．
【答案】
【详解】当 时，不等式 为 ，解得 ；
当 时，不等式 为 ，易知 ，解得
；当 时，不等式 为 ，解得 ；
综上，解集为： .
故答案为： .
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数 ，则
的图象上关于坐标原点 对称的点共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】C
【详解】作出函数 的图象，如图示，
则 的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当 时， 关于原点对称的函数图象，与 的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，
所以函数 的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．
故选： ．
突破二：函数奇偶性与单调性
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知 是偶函数且在 上单调递增，则满足
的一个区间是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 是偶函数，故 ，
故由 ，得 ，
由函数在 上单调递增得 ，
则 ，则 ，
所以 ，即 ， ，
所以ACD不合题意，选项B符合条件．
故选：B.
2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知 是 上的奇函数，当 时，
，则满足 的m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 在 上均为减函数，
∴ 在 上为减函数.又 ，且 是 上的奇函数，∴
在 上为减函数.
又 ，得 或 ，解得 或 .
所以实数m的取值范围是 .
故选：D.
3．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知函数 是定义在 上的偶函数，且
上单调递减，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，因为 ， ，所以 ，
又 为偶函数且 上单调递减，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 .
故选：C.
4．（2022·广西北海·一模（理））已知奇函数 的定义域为 ，且 在 上单调递增，在
上单调递减．若 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】奇函数 的定义域为 ， ， 且 在 上单调递增，在 上单
调递减，可作出 的大致图象：
由图象可知 解集为 ．
故选：B
5．（2022·河南许昌·三模（文））已知函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上是减函数，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上是减函数，所以，函数 在
上是增函数，所以 ，即有 ，所以 或 ，
解得 或 ．
故选：D．6．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司模拟预测）已知函数 ，则不
等式 的解集为______．
【答案】
【详解】由 知： ，所以 是奇函数，又 ，
所以 是 上的增函数， ，故可得
令 则 当 时， ，此时 单调递增.当
时， ，此时 单调递减.又 ，所以不等式的解为
故答案为：
突破三：函数奇偶性与对称性与周期性综合
1．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司模拟预测）已知定义域是R的函数 满
足： ， ， 为偶函数， ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
【答案】B
【详解】因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，所以 ，又由
，得 ，所以 ，所以
，所以 ，故 的周期为4，所以 ．
故选:B．
2．（2022·河南·固始县高级中学第一中学模拟预测（文））已知函数 是 上的偶函数，且 的图
象关于点 对称，当 时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为 是 上的偶函数，所以 ，
又 的图象关于点 对称，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
即 ，所以 是周期函数，且周期 ，
由 时， ，则 ， ， ， ，
则 ，则 .
故选：C
3．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，所以 的周期为4，
所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，
又因为在 中，令 ，得 ，
所以 ，又当 时， ，所以令 ， ，
所以 .故A，B，C错误.
故选：D.
4．（2022·河南信阳·一模（理））已知定义在 上的偶函数 满足 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意, 函数 满足 , 则 ,
又由 为偶函数，则有 ,
则有 ,
即函数 是周期为4的周期函数,
，令 可得 .
， ，
所以
故选：B
5．（2022·广西北海·一模（文））已知奇函数 的定义域为 ,且 对任意 恒成立,
若 ,则 ____________.
【答案】2
【详解】解:由题知, ,所以 周期为4,因为奇函数 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
因为 ,
所以 .
故答案为:2
6．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数 的图象关于直线 对称，且对 都
有 ，当 时， .则 ___________.
【答案】
【详解】因函数 的图象关于直线 对称，而函数 的图象右移1个单位得
的图象，
则函数 的图象关于直线 对称，即 ，而对 都有 ，
则 ，即 ， ，有
，
因此函数 是周期函数，周期为8，又当 时， ，
所以 .
故答案为：
突破四：函数的图象及其应用
角度1：根据解析式识别函数图象
1．（2022·四川雅安·模拟预测（理））函数 在 上的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，而 ，
因此函数 是偶函数，其图象关于y轴对称，选项A，B不满足；
又 ， ，于是得 ，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
2．（2022·江苏南通·模拟预测）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知， 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
故 为奇函数，从而 的图像关于原点对称，故B错误；
当 时， 且 ，此时 ，故D错误；
因为 在 上有无数个零点，所以 在 上也有无数个零点，故A错误，C正确.
故选：C.
3．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））函数 在 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，故为奇函数，函数图像关于原点中心对称，排除B选项；令
，则 或 ，故 在 上有三个零点，排除A选项；
当 时， ，排除C选项.
故选:D.
4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 的定义域为 ，且
故 是偶函数，排除选项B，C；
当 时， ，对应点在第四象限，故排除A，
故选：D.
5．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 定义域为 ， ，
则有函数 是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当 时， ，即 ，因此 ，选项A不满足，D符合条件.故选：D
角度2由图象确定函数解析式
1．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 的部分图像如图所示，则函数 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A， ， ，
即 不是偶函数，不符合题意；
对于C, ， ，不符合题意；
对于D， ， ，不符合题意；
对于B， ， ，
故 为偶函数，结合函数 的性质，可知B符合题意，
故选:B
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数 图象如图所示，那么该函数可能为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知，函数定义域为 ，图象关于原点对称，函数是奇函数， 时
，
据此， 定义域不符合，排除A;
若 ，则 时， ，不符合图象，故排除B；
若 ，则当 趋向于 时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋
向于1，不符合图象，故排除C;
故选：D
3．（2022·浙江·金华市曙光学校模拟预测）函数 的图像如图所示, 则其解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由给定图像知，函数 的定义域为 且 ，对于B， 且 ，B不是；
对于C， ，C不是；
由图像知，当 时， 恒成立，
对于D，当 时， ，D不是，A满足条件.
故选：A
4．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知函数 在 上的图象如图所示，则函数 的解
析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ，则 ，故排除AB.
当 时，则 ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 是函数的极小值点， 是函数的极大值点，故C错误；
当 时，则 ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，所以 是函数的极大值点， 是函数的极小值点，故D正确
故选：D.
5．（2022·黑龙江·一模（理））已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解： 对于B选项，函数 有意义，则 ，解得 且 且 ，故不
满足，错误；
对于C选项，函数 有意义，则 ，解得 ，故不满足，错误；
对于D选项，当 时， ，故图像不满足，错误.
故根据排除法得 与此图像最为符合.
故选：A
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·辽宁实验中学高一期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意， ，
即 表示坐标平面内x轴上的点 到定点 距离的和，而 ,
如图，显然线段AB与x轴交于点C，有 ，当且仅当点P与点C重合时取等号，即 ，
所以函数 的值域是 .
故选：C
2．（2022·浙江·温州中学高一期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，所以 ，
设 ，
因为 ，
令 = = ，
令 ,则 ，
所以 ，
因为 ，
由对勾函数的性质可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以以 ，即函数的值域为 .
故选：A.
3．（2022·江西·高二阶段练习）对于定义在 上的函数 ，如果存在实数 ，使得
对任意实数 恒成立，则称 为关于 的“ 函数”．已知定义在 上的函
数 是关于 和 的“ 函数”，且当 时 的值域为 ，则当 时 的值域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 是关于 和 的“ 函数”， ， ，
由 得： ， ，
是周期为 的周期函数；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， 的值域为 .
故选：A.
4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）高一期中）已知函数 的最小值为 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 的最小值为 ，则函数 在 上单调递减，则 ，且 ，
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
由题意可得 ，解得 .综上， .
故选：A.
5．（2022·浙江·德清县教育研训中心高一期中）已知 是偶函数，对 ，且
，都有 ，且 则 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 是偶函数，所以 ，故 关于 对称，
由 ，且 ，都有 ，可得 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
因为 关于 对称，所以 ，
由 可得 或 ，
所以当 时， ，所以 ，此时 ；
当 时， ，所以 ，此时 ；
综上所述， 的解集是 ，
故选：B
6．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高一期中）已知函数 ，若对所有 ，
都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 可得 ，
令 ，满足 ，
即 为奇函数，且为单调递减函数，
由 可得 ，
即 ，即 ，
对所有 ，都有 成立，即对所有 ，都有 成立，即 ，
故需满足 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围是 ，
故选：A.
7．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知定义在 上的函数 满足：
．且当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，取 可得 ，所以
，所以函数 为奇函数，
所以函数 的图象关于点（1，1）对称，由 取 可得 ，
由 取 可得 ，又 ，
所以 ，又 ，所以
，所以 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
所以 ，又 ，
所以
故选：A.
8．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）函数 对任意 都有 成
立，且函数 的图象关于点 对称， ，则 （ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵函数 的图象关于 对称，且把 向左平移1个单位可得 的图象，
∴函数 的图象关于 对称，即函数 为奇函数，
∴ ，
∵
∴函数 是以2为周期的周期函数，
∴ ，
，
，
即有 .
故选：A.
9．（2022·河南南阳·高三期中（理））已知定义在 上的函数 满足： ，
，且当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 是以 为周期的周期函数，
又当 时， ，
所以 ， ， ， ，
， ，
，即 ，又 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ， ， ， ， ，
所以 ，
又 ，
所以；
故选：A
10．（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知定义在R上的偶函数 满足 ，且当
时， ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】∵ 为 上的偶函数，∴ ，
又 ，∴用 替换 ，得 ，
∴ ，∴ 的周期为4，
∴ ，
因为 ，所以
故选：C
11．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）函数 在区间 的图象大致
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，为奇函数，图象关于原点对称，可排除BD；
当 时， ， ， ，可排除C.
故选：A.
12．（2022·河南·模拟预测（理））如图是函数 的图象，则函数 的解析式可以为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：对于A： 定义域为 ，
当 时 ，则 ，即函数在 上单调递增，故A错误；
对于B： 定义域为 ，且 ， ，所以 ，故B错误；
对于C： 定义域为 ，
又 ，所以当 时 ，
当 或 时 ，即函数在 ， 上单调递减，在 上单调递增，故C
错误；
对于D： 定义域为 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，即函数在 ， 上单调递增，在 上单调递减，符合题意；
故选：D
13．（2022·江苏·南京师大附中高三期中）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 ，则其定义域为 ，
因为 ，故函数为偶函数，
， ，
令 ，解得 ，可得下表：
极小值 极小值
故选：A.
14．（2022·河北·唐山市第十一中学高三阶段练习）函数 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域关于原点对称，且 ，故函数 是偶函数，则排除B，
又 ，则排除AC；
故选：D
15．（2022·辽宁大连·高三期中）下列函数的解析式（其中 …为自然对数的底数）与所给图像
最契合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图像可知，所求函数 的定义域为 ，为奇函数，在 上单调递减，在
上单调递增，且 时， ， 时， ，
故对于A选项，由幂函数性质可知， 为奇函数，且在 上单调递增，不满足题意；
对于B选项，函数 的定义域为 ，不满足；对于C选项，函数 ，由于函数 在 上单调递增， 在
上单调递增，所以函数 在定义域 上为单调递增函数，故不满足；
对于D选项，易得函数 为奇函数， ，当 时， ，函数为减函
数， 时， ，函数为增函数，且 时， ， 时， ，故满足条件.
故选：D
16．（2022·陕西·西安中学高二期中）函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 定义域为 ，
又 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，
，
于是得 ，即函数 图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，
故选：D
二、填空题
17．（2022·北京市第三十九中学三模）函数 的定义域为________.
【答案】 .
【详解】解：令 ，即 ，所以 ，
故答案为: .18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x） 的值域是[0，+∞），则实数m
的取值范围是__．
【答案】
【详解】解：当 时， ，值域是[0，+∞），满足条件；
令 ，
当m＜0时， 的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时， 的图象开口向上，只需 的 ，
即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，
∴ ，又 ，所以
综上， ，
∴实数m的取值范围是： ，
故答案为： .
19．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）已知函数 ，当 时，
，则 的最大值是________．
【答案】 ##
【详解】令 ，解得： ；令 ，解得： ；
图象如下图所示，由图象可知： ， ， .
故答案为： .
20．（2022·四川·成都七中高一期中）已知函数 是定义在 上的单调递增函数，则
实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为 在 上单调递增，
所以当 时， 在 上单调递增，
又因为 开口向下，对称轴为 ，
所以 ，故 ，且 在 上的最大值为 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以由幂函数的性质可知 ，且 ，
故 ，得 ，
由于以上条件要同时成立，故 ，即 .
故答案为： .
21．（2022·天津三中高一期中）若函数 是定义在R上的奇函数，且在 上是增函数，又 ，
则不等式 的解集为__________.
【答案】
【详解】奇函数 在 内是增函数,所以函数 在 内是增函数,，
由 可得 或 ，
当 时, ,所以 ，此时 ；
当 时, ,所以 ，此时 ，
所以 的解集为 .
故答案为：
22．（2022·山西临汾·高三期中）函数 的定义域为 ，且满足 ，
，当 时， ，则 _________.
【答案】 ##0.5
【详解】由 可知 的图象关于 对称，所以 ，结合
得 ，
故当 时， 以4为周期，故 ，
故答案为：
23．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知 是定义在R上的奇函数且对于任意的 均有
，若当 时， ，则 ________．
【答案】
【详解】解：因为 ，所以 ，
又 是定义在R上的奇函数，所以 ，所以 ，
所以 的周期为 ，
当 时，
所以 ， ， ，
在 中，令 可得 ，所以 ，
， ，
所以 ，
因为 ，
所以.
故答案为： .
三、解答题
24．（2022·全国·高三专题练习）设 ．函数 ，若函数 的最小值为0，则
的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：当 时， ；
∴要使 的最小值为0，
即 |在 时的最小值为0，可知 在 时有解．
即 在 时有解
则 ．
∴a的取值范围是 ．
故答案为: ．
四、双空题
25．（2022·江苏省镇江中学高一期中）已知函数 ，若存在互不相等的实数 ， ,
满足 ，且 ，则 __________； 的取值范围为
______________.
【答案】
【详解】作出函数 的图象：可得 时， 的图象是二次函数 的一部分，顶点为 ；当 时，是一次函数
的一部分，令 ，则实数 ， , 即为 与 有三个交点时，
对应的三个实数根，此时 ，结合 ，可知 ；
令 ， 是方程 的两根，则 ，
则 ，又
故答案为：6， .
