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2025二轮复习专项训练15
等差数列、等比数列
[考情分析] 高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前 n项和公式以
及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题
形式考查，属于中档题目．
【练前疑难讲解】
一、等差数列、等比数列的基本运算
1．等差数列
(1)通项公式：a＝a＋(n－1)d；
n 1
(2)求和公式：S＝＝na＋d.
n 1
2．等比数列
(1)通项公式：a＝aqn－1(q≠0)；
n 1
(2)求和公式：q＝1，S＝na；
n 1
q≠1，S＝＝.
n
二、等差数列、等比数列的性质
1．等差数列常用性质：
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a ＋a＝a＋a；
m n p q
(2)a＝a ＋(n－m)d；
n m
(3)S ，S －S ，S －S ，…成等差数列．
m 2m m 3m 2m
2．等比数列常用性质：
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a ·a＝a·a；
m n p q
(2)a＝a ·qn－m.
n m
三、等差数列、等比数列的判断与证明
证明数列{a}是等差(比)数列的方法：
n
(1)证明数列{a}是等差数列的两种基本方法：
n
①利用定义，证明a －a(n∈N*)为一常数；
n＋1 n
②利用等差中项，即证明2a＝a ＋a (n≥2，n∈N*)．
n n－1 n＋1
(2)证明数列{a}是等比数列的两种基本方法：
n
①利用定义，证明(a≠0，n∈N*)为一常数；
n
②利用等比中项，证明a＝a a (a≠0，n≥2，n∈N*)．
n－1 n＋1 n
一、单选题
1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ， ，且
学科网（北京）股份有限公司是 ， 的等差中项，则使得 成立的最小的 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2024·河南郑州·二模）已知数列 为等比数列，且 ， ，设等差数列
的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．－36或36 B．－36 C．36 D．18
二、多选题
3．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知等差数列 的前 项和为 ， 的公差为 ，
则（ ）
A． B．
C．若 为等差数列，则 D．若 为等差数列，则
4．（2024·广东梅州·二模）已知数列 的通项公式为 ， ，在 中依次选
取若干项（至少3项） ， ， ， ， ， ，使 成为一个等比数列，则下列
说法正确的是（ ）
A．若取 ， ，则
B．满足题意的 也必是一个等比数列
C．在 的前100项中， 的可能项数最多是6
D．如果把 中满足等比的项一直取下去， 总是无穷数列
三、填空题
5．（23-24高三上·江苏·期末）若数列 满足 ， （ ），
则 .
学科网（北京）股份有限公司6．（2024·湖北·一模）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 的取值
范围为 ．
四、解答题
7．（2024·云南昆明·三模）正项数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，
，
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
8．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在不同三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这
样的三项；若不存在，请说明理由.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 满足： ，且数列 为等差数列，
则 （ ）
A．10 B．40 C．100 D．103
2．（2024·河南·三模）已知等比数列 的公比为 ，若 ，且 成等差
数列，则 （ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列 满足 ，则下列命题：
① 是递减数列；②使 成立的 的最大值是9；③当 时， 取得最大值；④
，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．①②③
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神
十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号 运载火箭，
在点火第一秒钟通过的路程为 ，以后每秒钟通过的路程都增加 ，在达到离地面
的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（
）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于
中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同
质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次
折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、
鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发
展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸
作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历
史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直
角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形
斜边长为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知 是正项等比数列 的前 项和，且 ，
，则 （ ）
A．212 B．168 C．121 D．163
8．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列 的前 项和为 ，设甲： ，乙：
是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既
非充分又非必要条件
9．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设 是等比数列 的前 项和，若
，则 （ ）
A．2 B． C． D．
10．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，
把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反
复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，
图②，图③，图④中图形的周长依次记为 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列 和等比数列 ，下列四个
选项中正确的有（ ）
A．等差数列 ，若 ，则
B．等比数列 ，若 ，则
C．若 为数列 前n项和，则 ，仍为等差数列
D．若 为数列 前n项和，则 ，仍为等比数列
12．（22-23高二上·广东广州·期末）记 为数列 的前 项和，下列说法正确的是
（ ）
A．若对 ， ，有 ，则数列 一定是等差数列
B．若对 ， ，有 ，则数列 一定是等比数列
C．已知 ，则 一定是等差数列
D．已知 ，则 一定是等比数列
三、填空题
13．（23-24高三下·湖南·开学考试）若数列 满足 ， ，则 的最小值
是 ．
14．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）设 是等比数列，且 ， ，
则 .
四、解答题
15．（2024·四川成都·二模）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式 ；
学科网（北京）股份有限公司(2)记 ，求数列 的前 项和.
16．（2024·山东·二模）已知数列 ．求：
(1)数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和 的最大值．
17．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知
.
(1)求数列 的通项公式.
(2)求数列 的前 项和 .
18．（2023·吉林·模拟预测）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝ ﹣m.
(1)求m的值，并求出数列{an}的通项公式；
(2)令 ，设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.
2
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增
数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，
若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列 中， ， ， 是公比为2的等比
数列，则 （ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
4．（2022·江西上饶·二模）已知各项均为正数的等比数列 中，若 ，则
＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
5．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， ，
， ，则 （ ）
A．511 B．61 C．41 D．9
6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且
，则 （ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A．3 B．9 C． D．
8．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为 ，小张于2024年初存入大额存
款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一
位小数）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
二、多选题
9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C．当 时， 取得最小值 D．
10．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差 的等差数列 的四个命题，其中
正确的有（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递增数列 D．数列 是递增数列
11．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标
有 的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于
5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影
响，记小郡一共前进 步的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大
三、填空题
12．（2024·山东日照·模拟预测）若函数 的四个零点成等差数列，则
．
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ，且数
列 的前 项和为 ．若 的最大值为 ，则实数 的最大值是 ．
14．（21-22高二·全国·课后作业）在等比数列 中， ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ．
四、解答题
15．（2024·浙江·一模）已知数列 满足 ，记数列
的前 项和为 ．
(1)求 ；
(2)已知 且 ，若数列 是等比数列，记 的前 项和为 ，求使得
成立的 的取值范围．
16．（2024·陕西西安·一模）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列{b }的前 项和 .
n
17．（2024·浙江·二模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互
素的正整数的个数，例如： ， ， ，数列 满足
.
(1)求 ， ， ，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 和 .
学科网（北京）股份有限公司18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列 满足
(1)写出 ;
(2)证明:数列 为等比数列;
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
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