文档内容
第1讲 等差数列、等比数列（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................8
【考点一】等差数列、等比数列的基本运算....................................................................................8
【考点二】等差数列、等比数列的性质.........................................................................................11
【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明...............................................................................15
【专题精练】...............................................................................................................................21
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.
2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列{a }的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
n
A． B． C．1 D．
2．（2024·全国·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两
点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列{a }的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
n
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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学科网（北京）股份有限公司7．（2023·全国·高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C．15 D．40
8．（2023·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
二、填空题
9．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
10．（2023·全国·高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C B C C C
1．D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成 和 来处理，亦可用等差数列的性质进行
处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质， ，由 ，根据等差数列的求和公式，
，故 .
故选：D
方法三：特殊值法
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学科网（北京）股份有限公司不妨取等差数列公差 ，则 ，则 .
故选：D
2．C
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时，|AB|最小，
，此时 .
故选：C
3．B
【分析】由 结合等差中项的性质可得 ，即可计算出公差，即可得 的值.
【详解】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选：B.
4．C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列 的公差和首项，再根据前 项和公式即可解出；
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学科网（北京）股份有限公司方法二：根据等差数列的性质求出等差数列 的公差，再根据前 项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
5．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 或
于是有 或 ，
即有 ，解得 ；
或者 ，解得 ；
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， 或
.
故选：B
6．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
n(n-1) S n-1 d d S S d
则S =na + d, n=a + d= n+a - , n+1 - n= ，
n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
S S nS -(n+1)S na -S
反之，乙： 为等差数列，即 n+1 - n= n+1 n= n+1 n 为常数，设为 ，
n+1 n n(n+1) n(n+1)
na -S
即 n+1 n=t，则S =na -t⋅n(n+1)，有S =(n-1)a -t⋅n(n-1),n≥2，
n(n+1) n n+1 n-1 n
两式相减得：a =na -(n-1)a -2tn，即a -a =2t，对 也成立，
n n+1 n n+1 n
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
S (n-1) d d
则 n=a + d= n+a - ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
n 1 2 2 1 2
S S S
反之，乙： 为等差数列，即 n+1 - n=D, n=S +(n-1)D，
n+1 n n 1
即 ， ，
当 时，上两式相减得：S -S =S +2(n-1)D，当 时，上式成立，
n n-1 1
于是 ，又 为常数，
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学科网（北京）股份有限公司因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
7．C
【分析】根据题意列出关于 的方程,计算出 ,即可求出 .
【详解】由题知 ,
即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .
所以 .
故选:C.
8．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据 的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握 的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
9．95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ，
则 .
故答案为： .
10．
【分析】根据等比数列公式对 化简得 ，联立 求出 ，最后得
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学科网（北京）股份有限公司.
【详解】设{a }的公比为 ，则 ，显然 ，
n
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
考点突破
【考点一】等差数列、等比数列的基本运算
核心梳理：
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a＝a＋(n－1)d，
n 1
a＝a ＋(n－m)d.
n m
(2)等比数列的通项公式：a＝aqn－1，
n 1
a＝a ·qn－m.
n m
(3)等差数列的求和公式：
S＝＝na＋d.
n 1
(4)等比数列的求和公式：
S＝
n
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布
施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布
施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A．413 B．427 C．308 D．133
2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列 的前 项和记为 ，若 ，则成立的是
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．
B． 的最大值是
C．
D．当 时， 最大值为
4．（23-24高三上·河南·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ( 为常数)，则（ ）
A． B． 的公比为2 C． D．
三、填空题
5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则
.
6．（2023·全国·高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A B BC BC
1．A
【分析】根据题意，初日4德拉玛，以后每日等量增加5德拉玛，故每日德拉玛数依次构成等差数列{a }，
n
利用等差的通项公式和前 项和公式求解.
【详解】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列 ，设数列首项为 ，公差为 ，则 ， .
则通项公式 ， ， ，
则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为：
.
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
2．B
【分析】利用等比数列的性质， 成等比数列，可解出 .
【详解】因为数列 为等比数列，且等比数列 的前项和为 ，
所以 成等比数列，则 ，
即 ，解得 或 .
设等比数列 公比为 ，则 ，
，则 ，得 .
故选：B
3．BC
【分析】
根据已知条件求得 的关系式，再根据等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等差数列的公差为 ，
，A选项错误.
所以 ，C选项正确.
所以 的最大值是 ，B选项正确.
由于 时， ， 是单调递减数列，
所以当 时， 没有最大值，D选项错误.
故选：BC
4．BC
【分析】令 求出 ，由 分别求出 ，由等比性质求出 ，进而求出 和 ，
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学科网（北京）股份有限公司结合等比通项公式可求 .
【详解】因为 ，所以 ．
因为{a }是等比数列，所以 ，即 ，解得 ，则 错误；
n
{a }的公比 ，则B正确；
n
因为 ，所以 ，则C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，则D错误．
故选：BC
5．
【分析】由已知关系，结合等差数列前n项和公式、等差中项性质即可求结果.
【详解】由 ，即 .
故答案为：
6．
【分析】根据等比数列公式对 化简得 ，联立 求出 ，最后得
.
【详解】设{a }的公比为 ，则 ，显然 ，
n
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司规律方法：
等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a、公差d或公比q.
1
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S ＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a ＝
n n
p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行
相关计算．
【考点二】等差数列、等比数列的性质
核心梳理：
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a ＋a ＝a ＋a ＝2a；对于
m n p q k
等比数列，有a a＝aa＝a.
m n p q
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有S ，S －S ，S －S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S －S ，S －S ，…成等
m 2m m 3m 2m m 2m m 3m 2m
比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．
(2)对于等差数列有S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过 层
薄膜，记光波的初始功率为 ，记 为光波经过第 层薄膜后的功率，假设在经过第 层薄膜时光波的透
过率 ，其中 ，2，3… ，为使得 ，则 的最大值为（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
二、多选题
3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知 是等比数列 的前n项和，若存在 ， ， ，使得
，则（ ）
A．
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学科网（北京）股份有限公司B． 是数列 的公比
C．数列 可能为等比数列
D．数列 不可能为常数列
4．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列{a }的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则
n
下列说法正确的是（ ）
A．当 最大
B．使得 成立的最小自然数
C．
D． 中最小项为
三、填空题
5．（2024·上海闵行·三模）设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则
.
6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差数列 中， 为前 项和， ，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C C ABD BD
1．C
【分析】根据等比数列的性质求 ，即可求解 .
【详解】由等比数列的性质可知， ，即 ，得 ，
.
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司2．C
【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得 ，进一步得 ，结合数列
单调性即可得解.
【详解】由题意 ，所以 ，
所以 ，即 ，
显然 关于 单调递增，其中 ，
又 ，所以 的最大值为63.
故选：C.
3．ABD
【分析】设出等比数列 的公比为 ，分 和 两种情形，分别表示出 ，并与 比较
对照，分别用 和 表示出 ，然后逐一分析判断各选项即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，此时 是关于 的一次函数，数列 为常数列，
而 不是关于 的一次函数，所以 ，数列 不可能为常数列，故D正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司，故A正确；
因为 ， 也均不为0，所以 不可能为一常数，
即数列 不可能为等比数列，故C错误.
故选：ABD
4．BD
【分析】根据题意，结合条件即可得到 ，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可
判断B，再由 ，或 时， ； 时， 即可判断D,
【详解】根据题意： ，即 ，
两式相加，解得： ，当 时， 最大，故A错误
由 ，可得到 ，所以 ，
，
所以 ，故C错误；
由以上可得： ，
，而 ，
当 时， ；当 时， ；
所以使得 成立的最小自然数 ，故B正确.
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学科网（北京）股份有限公司当 ，或 时， ；当 时， ；
由 ，
所以 中最小项为 ，故D正确.
故选：BD.
5．5
【分析】根据题意，由等比数列前 项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得 ， ，
因为 ， ， ， ，成等比数列，
故 ，即 ，解得 ，
则 ，所以 ， ，故 .
故答案为：
6．
【分析】根据下标和性质求出 ，再根据等差数列前 项和公式及下标和性质计算可得.
【详解】在等差数列 中 ，又 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
规律方法：
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明
核心梳理：
等差数列 等比数列
定义法 a －a＝d ＝q(q≠0)
n＋1 n
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学科网（北京）股份有限公司通项法 a＝a＋(n－1)d a＝aqn－1
n 1 n 1
中项法 2a＝a ＋a (n≥2) a＝a a (n≥2，a≠0)
n n－1 n＋1 n－1 n＋1 n
前n项和法 S＝an2＋bn(a，b为常数) S＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)
n n
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．
一、解答题
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列 满足: .
(1)证明: 是等比数列;
(2)求数列 的前 项和 .
3．（2023·河南·模拟预测）已知 为数列 的前 项和，且 为正项等比数列，
， .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求数列 的前 项和．
5．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差
数列．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 ．
6．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐
只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果
他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为 ；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2
天选择米饭套餐的概率为 .已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为 .
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ，
（i）证明： 为等比数列；
（ii）证明：当 时， .
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件可得数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，即可求出结果；
（2）由（1）可得 ，再利用裂项相消法即可求出结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由 ，可得 ，又 ，
故数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，得到 ．
（2）由（1）可知 ，
故 ．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可;
（2）先根据第（1）问的求出数列 的通项公式,再利用等差数列和等比数列的前 项和公式分组求和即
可.
【详解】（1）由 得,
,
又 ,
故 是以 为首项, 为公比的等比数列.
（2）由（1）知, ,
则 ,
故
.
3．(1)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【分析】（1）利用 整理化简可得 ，再结合 得到数
列{a }为等差数列，即可求出数列{a }的通项公式，将数列{a }的通项公式代入 ，计算
n n n
即可得结论；
（2）利用数列{a }的通项公式即可得数列{b }的通项公式；
n n
（3）先利用错位相减法求出 ，再将 恒成立转化为 ，构造
，计算 的正负确定其单调性，进而可得最值.
【详解】（1）当 时， ，解得 ；
当 时， ，
所以 ，
整理得 ，①
所以 ，②
由①-②得 ，所以数列{a }为等差数列，
n
因为 ，所以数列{a }的公差为 ，
n
所以 .
设 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 （常数），
所以数列 是等差数列；
（2）设数列{b }的公比为 ，
n
结合（1）及已知得 ，
解得 ，所以 ；
（3）由（1）（2）得， ，
所以 ，①
又 ②
①-②，得 ，
所以 ，
由 ，解得 .
设 ，则 ，
故 ，
因为 ，
故 恒成立，知 单调递减，
故 的最大值为 ，则 ，即 的取值范围为 .
4．(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由 可得 ，由等比数列定义可得 是首项为
2，公比为2的等比数列，即可得 的通项公式，即可得 ；
（2）由错位相减法求和即可得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 ，即 ；
（2）由（1）知 ．
设前 项和为 ，
则 ，
，
两式相减可得
，
所以 .
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助等差数列的性质与 与 的关系计算即可得；
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学科网（北京）股份有限公司（2）借助累乘法可计算出数列 ，借助裂项相消法可得 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ，①
因为 ，所以由 ，得 ．②
由①、②解得 ，所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，上式也成立，
所以 ，所以数列 是等差数列；
（2）由（1）可知 ，
当 时， ，
因为 满足上式，所以 ．
．
6．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式即可得解.
（2）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式首先得递推公式 ，（i）由等比数列
定义证明即可；（ii）当 时，结合单调性分奇偶讨论即可证明.
【详解】（1）设 “第 天选择米饭套餐” ，则 “第 天选择面食套餐”，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意 ， ， ， ，
由全概率公式，得
；
（2）（i）设 “第 天选择米饭套餐” ，
则 ， ， ， ，
由全概率公式，得 ，
即 ， ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（ii）由（i）可得 ，
当 为大于1的奇数时， ；
当 为正偶数时， .
规律方法：
(1)a＝a a (n≥2，n∈N*)是{a}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要
n－1 n＋1 n
注意各项不为0.
(2){a}为等比数列，可推出a，a，a 成等比数列，但a，a，a 成等比数列并不能说明{a}为等比数列．
n 1 2 3 1 2 3 n
(3)证明{a}不是等比数列可用特值法．
n
专题精练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）设数列{a }的前 项之积为 ，满足 （ ），则 （ ）
n
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·三模）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）记 为等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．20 B．16 C．14 D．12
4．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列 的公差为 ，数列 满足 ，则“ ”
是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·江苏南通·二模）若 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东广州·一模）记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列 中， 为其前n项和，若 ，
则 的值为（ ）
A．10 B．18 C．36 D．40
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学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列 满足 .记数列
的前n项和为 .若对任意的 ，都有 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若 为等差数列， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是数列 中的项
C．数列 单调递减
D．数列 前7项和最大
10．（2023·山东德州·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ， ，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的最大值为
C．数列 为等差数列，且和数列 的首项、公差均相同
D．数列 前 项和为 ， 最大
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学科网（北京）股份有限公司11．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列 中， ， ，若 ，
，则（ ）
A． 有最小值， 无最小值 B． 有最小值， 无最大值
C． 无最小值， 有最小值 D． 无最大值， 有最大值
三、填空题
12．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， ，则
．
13．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则 的
最小值为 .
14．（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则实数
．
四、解答题
15．（2023·四川南充·一模）已知数列{a }是首项为2的等比数列,且 是 和 的等差中项．
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若数列 的公比 ,设数列{b }满足 ,求{b }的前2023项和 ．
n n
16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列{a }的前 项和为 ， ，等比数列{b }的公比为 ，
n n
．
(1)求数列 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)令 ，求数列 的前10项和．
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列 对任意正整数 满足：
．
(1)若 为等差数列，求 ；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
18．（2024·山东·二模）已知{a }是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且 成等比数列.
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设 ，求数列{b }的前 项和 .
n
19．（2023·湖南常德·一模）已知数列 满足 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求 的前n项和 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B B C D A ACD AD
题号 11
答案 AD
1．C
【分析】由已知递推式可得数列 是等差数列，从而可得 ，进而可得 的值．
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，显然 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，
所以 ，
即 ，所以 ．
故选：C．
2．D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得 且 ，
化简 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前 项和公式，可得 ，可得 ，
又由 且 ，
所以 ，当且仅当
时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
3．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由等差数列的性质求得 ，然后依次求得 ，公差，最后求得 ．
【详解】∵ 是等差数列，
∴ ， ，所以 ，
∴公差 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
4．B
【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性.
【详解】因为 ，所以 且 ，则 ，
若 ，不妨令 ，则 ， ， ， ， ， ，
显然 不单调，故充分性不成立，
若 为递减数列，则 不是常数数列，所以 单调，
若 单调递减，又 在 ， 上单调递减，则 为递增数列，矛盾；
所以 单调递增，则 ，且 ，其中当 ， 时也不能满足 为递减数列，故必要性成
立，
故“ ”是“ 为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B
5．B
【分析】利用等比中项，结合三角恒等变换求解即得.
【详解】由 ， ， 成等比数列，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
，所以 .
故选：B
【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已
知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、
二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是
解题正确的保证.
6．C
【分析】根据等比数列的性质可得 ，进而根据求和公式即可化简求解.
【详解】根据题意，设等比数列 的公比为 ，
若 ，即 ，
故 ．
故选：C．
7．D
【分析】由已知可得 ，再由等比数列片段和的性质和等比中项的性质求出即可.
【详解】易知 ，
为等比数列，
，
代入数据可得 ，
解得 或 （舍）
32 / 41
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：D.
8．A
【分析】由递推关系式结合等比数列通项公式可得 ，再由裂项相消求和可得 ，
利用数列的函数特性可得 .
【详解】由 可得 ,
即数列 是以 为首项，公比 的等比数列，
可得 ，即 ；
所以 ，
因此
，且当x趋近于+∞时，趋近于 ，
所以实数k的取值范围为 .
故选：A
9．ACD
【分析】由 为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列 为等差数列，且 ，则 ，解得 ，
，故A选项正确，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，故B错误，
因为 ，所以数列 单调递减，故C正确，
由数列通项公式 可知，前7项均为正数， ，所以前7项和最大,故D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】分析数列 的单调性，结合已知条件可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；
利用等差数列的定义可判断C选项；令 ，分析可知 ， ，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若 ，则 为递增数列，所以， ，与 矛盾，
若 ，则 为常数列，所以， ，与 矛盾，
若 ，则 为递减数列，则 ，由 可得 ，合乎题意，A对；
对于B选项，由A选项可知， ， ， ，
，
所以，当 时， 的最大值为 ，B错；
对于C选项， ，则 ，
所以， ，
所以，数列 为等差数列，且其首项为 ，公差为 ，C错；
对于D选项，由 得 ，由 得 ，
由 得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ， ，则等差数列 为递减数列，
且 ， ， ，
所以，数列 前 项和为 ， 最大，D对.
故选：AD.
11．AD
【分析】先利用等差数列的通项公式求得基本量 ，从而得到 ，利用它们的表达式进行分析即可得
解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
依题意，得 ，解得 ，
，
，
当 时， 有最小值 无最大值，
而 ，
易得 ， ，且 ，
当 时， ，
当 时， 有最大值， 无最小值.
故选：AD.
12．121
【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为 ，故 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故 .
故答案为：121
13． /
【分析】利用等差数列前 项和的性质及等比中项，结合基本不等式计算即可.
【详解】设 的公差为 ，则 ，
而 ，
当且仅当 时取得等号.
故答案为：
14．
【分析】由 ，分别求出 ，进而利用等比中项即可求解.
【详解】根据题意，等比数列 中，有 ，
则 ， ，
，
因为 是等比数列，则有 ，即 ，解可得 .
故答案为： .
15．(1)见详解
(2)
【分析】(1)设数列{a }的公比为 ,根据题意得 求得公比 ,即可得通项公式 .
n
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学科网（北京）股份有限公司(2)根据题意得 代入 并化简,再用裂项相消法求前2023项和即可.
【详解】（1）设数列{a }的公比为 ,则
n
是 和 的等差中项, 即 解得 或 或 （舍去）
当 时,
当 时,
（2） ,由(1)知
故{b }的前2023项和 为
n
16．(1) ，
(2)
【分析】（1）当 时求出 ，可得{b }通项与 ，由 求数列{a }的通项公式；
n n
（2）利用分组求和法求数列 的前10项和.
【详解】（1）当 时， ， ， ，
等比数列{b }的公比为 ，则有 ，
n
由 ，可得 ．
当 时， ．
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学科网（北京）股份有限公司经检验，当 时， 满足上式，
所以 ．
（2） ，
设 的前10项和为 ，
．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由递推关系首先得 ，进一步结合已知 为等差数
列，并在已知式子中令 ，即可得解.
（2）由（1）得 时，数列是等差数列，故首先求得 的值，进一步分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
因为 为等差数列，在式子： 中令 ，
得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 ，
若 ，则 ，但这与 矛盾，舍去，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
而当 时， ，所以此时 ，
所以此时 ，
而 也满足上式，
综上所述， 的前 项和 .
18．(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【详解】（1）设{a }的公差为 ，由题意知 ，即 ，
n
即有 ，因为 ，可得 ， ，
所以 ；
（2）设数列{b }的前 项中的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，
n
则
，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ．
19．(1) ，
(2)
【分析】（1）先令 ，求得 ，再根据所给的式子当 时，令 和原式作差得到 ，
即可求解；
（2）由（1）得到 ，利用裂项相消求和即可求解.
【详解】（1）由题可知 （ ），
当 时， ；
当 时， ，
，
两式相减得： ，
即 ，
经检验，当 时， 也符合上式；
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学科网（北京）股份有限公司故数列 的通项公式为： ， .
（2）由（1）得： ，
，
故 的前n项和 .
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