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第十七讲：数列求和
【考点梳理】
1、公式法：等差、等比数列直接用求和公式求解.
2.分组求和：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和
法，分别求和后相加减．
3.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个
数列的前 项和即可用错位相减法求解．
【典型题型讲解】
考点一：公式法
【典例例题】
例1.已知等差数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】解：（1）设数列 的公差为 ，由题意得
解得 ， ，
的通项公式为 ．
（2）由 得
，
是首项为 ，公比 的等比数列．
．【方法技巧与总结】
根据数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．
【变式训练】
1.已知公差为正数的等差数列 ， 与 的等差中项为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)从 中依次取出第 项、第 项、第 项、…、第 项，按照原来的顺序组成一个新数列 ，求数
列 的前 项和 ．
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，
与 的等差中项为 ， ，解得： ；
， ，
；
(2)由（1）得： ，即 ，
.
考点二：分组求和
【典例例题】
例1．（2022·广东惠州·二模）已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差
数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和【答案】．(1) ；(2) ．
(1)设 的公比为 （ ），
因为 ，且 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ；
(2)由（1） ，
．
【方法技巧与总结】
根据数列的通项公式，重新分组找可求和数列
【变式训练】
1．（2022·广东韶关·二模）已知数列 前 项和为 ，
(1)证明：
(2)设 求数列 的前 项和 ．
【答案】．(1)证明见解析(2)
（1）解：由题可知 ，
当 时，解得 ，所以
又因为 ，
将其与 两式相减得： ，因为 ，有 .
当 时，上式也成立，
综上， .
（2）解：当n为大于1的奇数时，
有 ， ， ，…，
累加得
又 满足上式，所以n为奇数时 ；
当n为大于2的偶数时，有 ， ， ，…，
累加得 ， 满足上式，又 ，
综上可知
.
2．（2022·广东·二模）已知递增等比数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)若数列 满足 ，求数列 的前15项和．
【答案】(1) (2)92
（1）设 的公比为q，则由 ，得 ．整理得 ．又 ，得．联立得 ，消去 ，得 ．解得 或 ．又因为
为递增等比数列，所以 ， ．所以 ．
（2）（方法一）当 时， ，则 ， ，同理，列举得 ，
， ， ， ， ， ， ．记 的前n
项和为 ，则
．所以数列 的前15项和为
92．（方法二）由 ，得 ，记 的前n项和为 ，
则
．所以数列 的前15项和为
92．
3.已知数列 中， ， ，令 .
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前14项和.
【解析】(1)当 时， ，又 ，得 ，
由 ①
得 ②，①②两式相除可得 ，
则 ，且 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
故 .
(2)当n为奇数时， ；
当n为偶数时， ，
.
所以数列 的前14项和为
.
考点三：裂项相消求和
【典例例题】例1.记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】(1)∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
(2)∴
例2．记 为数列 的前 项和，已知 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足________，记 为数列 的前 项和，证明： ．
从① ② 两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作
答.
【解析】(1) ①，
当 时， ， ；当 时， ②
①-②得，即
又 ，
∴数列 是从第2项起的等比数列，即当 时， ．
．
(2)若选择①： ，
．
若选择② ，则 ③， ④，
③-④得 ，．
【方法技巧与总结】
1.等差型
（1） （2）
（3） （4）
2.指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【变式训练】
1.已知数列 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】(1)等差数列 中， ，解得 ，因 ， ， 成等比数列，即 ，设 的公差为d，于是得 ，整理得 ，而 ，解得 ，
所以 .
(2)由（1）知， ，
所以 .
2.记 是公差不为零的等差数列 的前 项和，若 ， 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前20项和.
【解析】(1)由题意知 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
因为 ，解得
又 ，可得 ，
所以数列 是以1为首项和公差为1的等差数列，
所以 ，
(2)由（1）可知 ，
设数列 的前 和为 ，则，
所以
所以数列 的前20和为
3.已知正项数列{ }中， ， 是其前n项和，且满足
(1)求数列{ }的通项公式：
(2)已知数列{ }满足 ，设数列{ }的前n项和为 ，求 的最小值.
【解析】(1)正项数列{ }， ，满足 ，所以 ，
所以数列{ }是以1为首项1为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
当 时， ，
当 时也成立，
所以 .
(2)因为
所以 ，
所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，
由{ }递增，得 ，
所以 的最小值为 .
4.已知数列 的首项为正数，其前 项和 满足 ．
(1)求实数 的值，使得 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和．
【解析】(1)当 时， ， ，解得 ；
当 时，把 代入题设条件得:
，即 ，
很显然 是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，
∴ ；
(2)由（1）知 是首项为 ，公比 的等比数列，
所以 ， ．
故数列 的前 项和为：
.
5.已知数列 的前n项和 满足 .(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： .
【解析】(1)证明：当 时，
∴
当 时，
，
∴
∴数列 是以2为公比，首项 的等比数列
(2)由（1）知 ， ，代入 得
∴
由 ， ，
，所以
∴
综上所述
6.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和.
【解析】(1)当 时， ，
∵ ，∴ .
当 时，由 ，得 ，
两式相减得
即
∴数列 ， 均为公比为4的等比数列
∴ ，
∴
(2)∵
∴数列 的前 项和
7.已知各项均不相等的等差数列 的前4项和为10，且 是等比数列 的前3项.
(1)求 ；(2)设 ，求 的前n项和 .
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ， ，
则 ，得 ，得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ，所以等比数列 的公比 ，
所以 .
(2) ，
所以
.
8.等比数列 中，首项 ，前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】(1)设数列 公比为 ，由 ， ，
可得 ，化简得 ，
即 ，所以 ．(2)由（1）得 ，
所以
所以
..
考点四：错位相减
【典例例题】
例1.已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】(1)因为 ，所以 ，所以
，
所以 ，当 时， ， ，
所以数列 是首项 ，公比 的等比数列，所以 ；
(2)由 得 ，所以 ，
，
两式相减，得 ， ，所以 .【方法技巧与总结】
【变式训练】
1.若数列 满足 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】(1)因为数列 满足 ， ， ，所以 .
所以数列 为等比数列，设其公比为q（ ）.
所以 ，解得： .
所以 .
即 的通项公式为 .
(2)由（1）可知： ，所以 ，
所以 ①
得： ②
①-②得：所以
2.已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，且 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意得： ，解得： ，
所以 ，
由 得： ，所以 ，
所以
(2) ，
则 ①，
②，
两式相减得：
，
所以
3.已知数列{ }为等差数列， ， ，数列{ }的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求{ }和{ }的通项公式；(2)若 ，数列{ }的前n项和为 ，且 对 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)解：等差数列{ }中，设公差为d，
则
数列{ }中的前n项和为 ，且 ①
当 时，
当 时， ②
②－①得：
故数列{ }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 .
(2)解：数列{ }中， .
则
所以
故
所以
∵ 对 恒成立．
当n为奇数时， ，当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为 ．
【巩固练习】
一、单选题
1．数列 的前2022项和等于（ ）
A． B．2022 C． D．2019
【答案】B
【解析】解：设数列 的前 项和为 ，
当 为奇数时 ，
当 为偶数时 ，
所以
.
故选：B
2．已知数列 的通项公式为 为数列的前n项和， （ ）
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】D
【解析】解：因为当 为奇数时 ， 为偶数时 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
故选：D3．已知首项为1的等差数列 的前 项和为 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得： 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以 ，
则 ， ，
所以
故选：B
4．已知数列 满足 ，则数列 的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 .
所以 前5项和为
故选：D
二、多选题
5．（2022·河北·模拟预测）将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则下列说法正确的
有（ ）A．数列 为等差数列 B．数列 为等比数列
C． D．数列 的前n项和为
【答案】BD
【解析】数列 中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，
34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，
数列 中的项为2，4，8，16，32，64，128，…，
∴数列 是首项为4，公比为4的等比数列，
∴ ；
∴ ，记数列 的前n项和为 ，
则 ，
，
两式相减：
，
∴ .
故选：BD
三、填空题
6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列 满足 ， ，
，则数列 的前20项和为___________.【答案】330
【解析】由题意，当 为奇数时， ，
所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列，
所以 ，
当 为偶数时， ，
所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列，
所以 ，
，
故答案为：330
7．设数列 的前n项和为 ，已知 ，则 _________.
【答案】960
【解析】由 ，
当n为奇数时，有 ；当n为偶数时， ，
∴数列 的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
四、解答题
8．已知数列 ， 满足 ， ，且 ， ．(1)若 为等比数列，求 值；
(2)在（1）的条件下，求数列 的前n项和 ．
【解析】(1)由题
∵ 为等比数列，设公比为q
则
∴ ，
∴ ，即 ，解得 或
当 时， ，即
又 ，
∴ 成以3为首项，以 为公比的等比数列
当 时， 即
又 ，
∴ 成以3为首项，以1为公比的等比数列
综上： 或
(2)由（1）得 ，
∴∴
9．已知各项都为正数的数列 满足 ， .
(1)若 ，求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】(1)因为
所以 ，
因为 所以
所以
所以
所以 是首项和公比均为 的等比数列.
(2)由（1）易得：
因为 所以
所以
10．已知数列 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)令 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 的值．
【解析】(1)设数列 为公差为 ，
， ，
∴
∴
∴数列 的通项公式为
(2) ，则 ， ，
当 ，则 ，可得 ，
当 ，则 ，可得 ，
当 ，则 ，可得 ，
当 ，则 ，可得 ，
此时 .
所以， ，
故
11．已知正项数列 的前 项和 满足： ，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；(2)令 ，求证：数列 的前 项和 .
【解析】(1)由题意： ，
两式相减得到 ，
又 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列，
再由 成等差数列得，得 ，
即 ，则 ，
的通项公式为 .
(2)由题意知，
12．已知数列 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【解析】(1)依题意，等比数列 的公比 ，则有 ，因此， ，
由 得 ，等差数列 的公差 ， ，
所以数列 、 的通项公式分别为： ， .(2)由（1）知， ，
则 ，
于是得 ，
两式相减得： ，
所以 .
