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专题 06 等差数列与等比数列
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】等差数列
1、等差数列的判断方法：定义法6 或7
2、等差数列的通项：11 或 4 。
{a }
①当 时，等差数列的通项公式 n 是关于 的一次函数，且斜率为公差
；
3、等差数列的前 和： ， 。
①前 和 是关于 的二次函数且常数项为0.
4、等差中项：若 成等差数列，则A叫做 与 的等差中项，且 。
a +a =a +a
①当 时,则有 m n p q，特别地，当 时，则有 .
5、若 是等差数列 ， ，…也成等差数列.
【考点2】等比数列
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列） ，
2.等比数列的通项公式： 或 。
3．等比数列的前 和：①当 时， ；②当 时， 。
4、等比中项：
⑴、若 成等比数列，那么A叫做 与
的等比中项，A2=ab。
⑵、当 时，则有a ∙a =a ∙a 。
m n p q
5、若 是等比数列 ， ，…也成等比数列.
三、解法解密
等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重中之重,值得关注 . 考查的形式主
要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合 . 在复习中,要紧抓以下
几个方面 :
方法1. 关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的
“对称性”;
方法2. 领悟等差数列、等比数列的两类本质:等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的
函数,这种双重身份,注定它们必然是高考中的重点、难点,故而,学习中,要从“函数”及“数列”这两个
方面来认识它们;
方法3. 两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思
想
四、考点解密
题型一:等差数列与等比数列基本量的计算
例1．（1）、（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））若 为等差数列， 是数列 的前 项
和， ， ，则 等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】根据题意，设等差数列 的公差为 ，进而建立方程组求解得 ，再计算 即可.
【详解】解：根据题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：D
（2）、（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知等差数列 的公差为d，前n项和为 ，
．则（ ）A． B．
C． D． 取得最大值时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A、B、C；由通项公式判断出 时， ， ，
时， 可以得到 最大，即可判断选项D.
【详解】
因为 ，所以 ，解得： ，故选项A、B正确；
所以 .
对于C：因为 ，所以 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 .
因为 时， ； 时， ；所以 最大.故D错误.
故选：ABC
【变式训练1-1】、（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知等比数列 中， ，
，则 ______．
【答案】6
【分析】由等比数列的性质求解即可
【详解】由等比数列的性质可得： ，
由等比数列中奇数项的符号相同，
所以 ，
故答案为：6
【变式训练1-2】、（2021·云南·模拟预测（文））已知 为等差数列， 为其前n项和．若
，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得等差数列 的公差为 ，再根据通项公式求解即可.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，因为所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
故答案为：
题型二:等差中项与等比中项的应用
例2．（1）、（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列 满足 ，则它的前13项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式及前 项和公式即可求解.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则
因为 ，所以 ，即 .
所以 .
故选：B.
（2）．（2022·河南焦作·一模（文））设 和 都是等差数列，前 项和分别为 和 ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质分别求得 ， ，再利用等差数列前n项和公式求解.
【详解】
由等差数列的性质可得 ，
所以 ；
因为 ，
所以 ．
由等差数列的前 项和公式可得 ， ，
所以 ．
故选：A
【变式训练2-1】、（2022·安徽黄山·一模（文））在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理可得 ， ，从而得到 ， ，即可得到 ，再根据等
比数列下标和性质计算可得.
【详解】因为 ､ 是方程 的两根，所以 ， ，
所以 ， ，又 为等比数列，则 ，
所以 ，所以 或 （舍去），
所以 .
故选：B.
【变式训练2-2】、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列 中， 成等差数列，且
存在两项 使得 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．不存在
【答案】B
【分析】由等比数列通项公式及等差中项的性质可得 ，进而有 ，利用基本不等式“1”的代换
求目标式最小值，注意等号是否成立.
【详解】由题设 ，若 公比为 且 ，则 ，
所以 ，
由 ，则 ，故 ，可得 ，
所以 ，而 ，故
等号不成立，
又 ，故当 时 ，当 时 ，
显然 ，故 时 最小值为 .
故选：B
题型三:求数列的前n项和
例3．（1）、（2022·山西运城·模拟预测（文））已知数列 中， ， ，数列的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数列单调性的定义及裂项相消法求出 ，进而即可求解.
【详解】由题得， ，又 ，
所以 .所以 ，可得 .所以数列 是递增数列.
又 ，所以 ，所以
，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
（2）．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知数列 的前n项和 ，则其通项公式
______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用当 时， ，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.
【详解】
当 时， ，
当 时， 不适合上式，
∴ ，
故答案为: .
【变式训练3-1】、（2022·四川绵阳·一模（理））已知等比数列 的各项均为正数，设 是数列
的前 项和，且 ， ，则 ______．【答案】
【分析】利用等比数列通项公式，结合 ，可求得公比 ，进而得到 ，利用等比数列求和公式可
求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
， ，又 ， ， ，
.
故答案为： .
【变式训练3-2】、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知数列 满足
，则数列 的前2022项的和为___________.
【答案】
【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.
【详解】由题意可知，满足 ，
当 时， ，
，以上各式累加得，
.
，
当 时， 也满足上式，∴ ，则 .
∴数列 的前n项和为 ，
∴ .
故答案为： .题型四:判断或证明等差、等比数列
例4、（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)先根据递推公式的特征，将其整理变形为
，再移项即可证明；
(2)由（1）可得： ，所以 ，利用裂项求和的方法即可求解.
【详解】（1）将 两侧同除 ，
可得 ， ，
又因为 ，
即数列 是首项为1，,公差为1的等差数列．
（2）由（1）可知， ，即 ，
则 ，
.
【变式训练4-1】、（2022·河南·模拟预测（理））若数列 满足 , ．
(1)证明: 是等比数列；
(2)设 的前n项和为 ,求满足 的n的最大值．【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】(1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可,
(2)由(1)求出 的通项公式,与题中等式联立,求出 通项公式,进而求出前n项和为 ,代数使得
即可求出n的最大值.
【详解】（1）证明：因为 ,
所以 , ,
故
,
又 ,则 , ,
故 是以－1为首项,2为公比的等比数列．
（2）由(1)得 ①,
又 ②,
②－①得, ,
故
,
易得 为递增数列,
又 , ,
,故n的最大值为7.
题型五:综合应用
例5．（1）、（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺
序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中
的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与
数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，
在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ）
A．53 B．55 C．57 D．59
【答案】B
【分析】根据题意将题中所给的信息转化为数列递推公式关系 ， ，通过递推从而得出
结果.
【详解】设 为第n行中正方形的个数， 为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个
三角形和1个正方形，
每个三角形产生下一行的1个正方形，则有 ， ，
整理得 ，且 ， ，
则 ， ， ， ，
， ， .
故选：B.
（2）、（2021·全国·模拟预测）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有
免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每
次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 （注：对于 的传染病，要隔离
感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染
者）的总人数为______（注：初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个人每人再传染 个人为第二
轮传染……）
【答案】1092
【解析】由题意分析，传染模型为一个 等比数列，可解.
【详解】由题意：
所以
第六轮的传染人数为
所以前六轮被传染的人数为 .
故答案为：1092
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
【变式训练5-1】、（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面
积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜
与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，
第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个 第n层放 个物体堆成的堆垛，则
__________．
【答案】
【分析】由累加法即可求得 ，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】由题可知： ，
即有 ，
所以
，当n=1成立
所以 ，
所以
.
故答案为：
【变式训练5-2】、（2021·河南郑州·三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸
线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，
并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实
表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，
如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段
AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操
作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 ，对任意的正整数n，都有 ，则a的最
小值为__________．
【答案】2．
【分析】根据图形之间的关系可得 的递推关系，从而可求 的通项公式，故可求a的最小值.
【详解】设第 个图形中新出现的等边三角形的边长为 ，则当 时， ，
设第 个图形中新增加的等边三角形的个数为 ，则当 时， ，
故 ，其中 ，
由累加法可得
，
时， 也符合该式，故 ，
故 对任意的 恒成立，故 即a的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：与图形相关的数列的计算问题，一般根据相邻图形的变化关系寻找目标数列的递推关
系，再根据其形式得到通项，从而解决图形的计算问题.五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图
所示，将1，2，3，…，9填入 的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到
一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 填入 个方格中，使得每行、每列、每条对
角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为 ，
如 ，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（ ）
A．555 B．101 C．505 D．1010
【答案】C
【分析】利用等差数列求和公式得到 ，进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和.
【详解】由题意得： ，
故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 .
故选：C
2．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））设数列 是等差数列， 是数列 的前n项和，
， ，则 等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】根据给定条件求出等差数列 的首项及公差即可得解.
【详解】因数列 是等差数列，由等差数列的性质知： ，
而 ，则 ，
等差数列 公差 ，首项 ，
则 .
故选：B.
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得 ，根据等差数列整理所求代数式，
可得答案.
【详解】由题意， ，解得 ，设等差数列 的公差为 ，
则 .
故选：B.
4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））在等差数列 中 为前 项和， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得 ，由等差数列前 项和的性质计算可得答案．
【详解】根据题意，等差数列 中，若 ，则 ，
即 ,即 ，
则 ，
故选： ．
5．（2022·云南云南·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．56 B．63 C．67 D．72
【答案】B
【分析】结合等差数列通项公式化简等式，可求得 ，再结合 求值即可；
【详解】设 的公差为 ，则 ，所以 ，所以
.
故选：B
6．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则当
取最大值n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据题中等式求解出等差数列的公差，进而求解出数列的前 项和 ，最后根据 的表达式求解出结果
【详解】设公差为 则 ，
因此 ，所以当 时， 取最大值
故选：B
7．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列．若存在两项
使得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件及等差中项的性质可得 ，结合 可得 ，再应用基本不等式
“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设 ，即 ，又 为正项等比数列，
所以 ， ，
由 ，则 ，即 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，满足 ，
所以 的最小值为2.
故选：B
8．（2022·全国·模拟预测（文））在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为 ，则 ，
当 时，
，显然 满足上式，即有 ，所以 ．
故选：A
9．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列 的前n项和 满足 ，
若数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知 ，则有 ，做差求 ，再检验 ，求出 的通项公式，代入
求 ，裂项法求和计算结果.
【详解】 ，
当 时，
，
当 时， ， ， ，所以
.
故
，
故选：D.
10．（2022·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正
方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类
推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 恒成
立，则n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C【分析】根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第n代“勾股
树”中所有正方形的个数，即 ，从而得到 求解.
【详解】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为 ，第2代“勾股树”中，正方形的个数为
，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以数列 为递增数列，
又 ， ，
所以n的最小值为9．
故选：C．
11．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足 ，记数列 的前n项和
为Tn，n∈N*.则使得T 的值为（ ）
20
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出 ，再用裂项相消法求出T
20.
【详解】对于 ，
当n=1时， ；
当 时， ；
经检验， 对n=1也成立，所以 .
所以 ，
所以 .
故选：C
12．（2022·山东济南·模拟预测）设 是首项为 的等比数列， 是其前 项和，若 ，则
______．
【答案】
【分析】设 的公比为 ，根据已知条件求出 的值，再利用等比数列的求和公式可求得 的值.
【详解】设 的公比为 ，因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ．
故答案为： .
13．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））记 为正项等比数列 的前 项和，若 ，
，则 的值为__________．
【答案】
【分析】设正项等比数列 的公比为 ，根据等比数列的前 项和公式，即可求出公比 ，再根据等比
数列的性质可知 ，由此即可求出结果.
【详解】设正项等比数列 的公比为 ，
当 时， ， 不能同时成立；
当 时，因为 为正项等比数列 的前 项和，且 ，
所以 ，即
所以 ，所以 （ （舍去）），
又 ，所以 的值为 .
故答案为： .
14．（2022·山东泰安·二模）已知数列 是公差大于0的等差数列， ，且 ， ， 成等
比数列，则 ______．
【答案】20
【分析】先利用 解出公差 ，再通过等差数列计算 即可.
【详解】设公差为 ，则 ，即 ，化简得 ，
解得 或 ，又 ，故 ，则 .
故答案为：20.
15．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））等差数列 的公差为2，前n项和为 ，若 ， ， 构
成等比数列，则 ___________.
【答案】
【分析】根据等比中项的性质有 ，结合等差数列通项公式求基本量 ，再利用等差数列前n项和公
式求 .【详解】由题设， ，则 ，可得 ，
所以 ，故 .
故答案为：
16．（2022·广东·模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，其前 项和为 ，且 ，
记 ，则数列 的前 项和 ______．
【答案】
【分析】利用等差数列前 项和的基本量运算可得 ，然后利用裂项相消法即得.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则由 ， ，
得 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 .
故答案为： .
17．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））在等差数列 中， ，若数列 的
前n项之和为 ，则 __________．
【答案】100
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算首项、公差，再借助并项求和法求解作答.
【详解】设等差数列 公差为 ，由 得： ，则 ，
，当n为偶数时， ，
所以 .
故答案为：100
18．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方
形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得
到1023个正方形.设初始正方形的边长为 ，则最小正方形的边长为_____.【答案】
【分析】记初始正方形的边长为 ，经过 次生长后的正方形的边长为 ，经过 次生长后正方形的
个数为 ，结合题意得到数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，由此
即可求出最小正方形的边长.
【详解】记初始正方形的边长为 ，经过 次生长后的正方形的边长为 ，经过 次生长后正方形的
个数为 ，
由题可知，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
由题可知， ，
令 ，解得 ，
最小正方形的边长为 ，
故答案为： .
【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼
出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.
19．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列 为等比数列，公比 ，首项 ，前三项和为7，
，则n＝______．
【答案】5
【分析】首先利用条件求等比数列的通项公式，再根据通项公式，列式求 的值.
【详解】由条件可知， ，即 ， ，
解得： ，所以 ，
，即 ，得 ，解得： 或 （舍）.
故答案为：5
20．（2022·湖南益阳·模拟预测）在单调递增数列 中，已知 ， ，且 ， ， 成等比
数列， ， ， 成等差数列 ，那么 __________．
【答案】
【分析】根据条件，推导出 之间的关系，再计算出通项公式即可.
【详解】因为数列 单调递增， ，故 ，
由已知条件得 ， ， ，
化简可得 ，
在等式左右两边同时除以 ，化简得 ，
故数列 为等差数列， ，
所以数列 的首项为 ，公差为 ，
故 ，即 ，
因为 ，可得 ，
故当 为偶数时， 当 为奇数时， ，
所以 ；
故答案为：2550.
21．（2022·上海交大附中模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 ，若 ，则 的值为
___________．
【答案】6
【分析】根据等比数列的通项公式，将题中所给的条件转化为关于首项和公比的关系式，化简求值，得到
，之后将待求式子转化为关于 的关系式，代入求得结果.
【详解】可知 ，
则 ；
故答案为：6.22．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））设函数 ， ，
．则数列 的前n项和 ______．
【答案】
【分析】由题设 ，讨论n的奇偶性求 的通项公式，再求 .
【详解】由题设， ，
所以 ，
即 且n ≥ 2，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为： .
23．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列 的前 项和 满足
．
(1)求 ，并证明数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) .
【分析】（1）由 与 的关系可得 ，从而可得 ，
可知 是一个以2为首项，公比为2的等比数列；
（2）利用错位相减法即可求得 的前 项和 .
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时， ①，②，
由② ①得 ，
，
，
∴ 是一个以2为首项，公比为2的等比数列．
（2） ， ,
①
②
由① ②，得
，
.
24．（2022·贵州·模拟预测（理））已知数列 ，满足 ， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项积 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】(1)先将等式两边配方，再取对数，即可证明数列是等比数列.
(2)根据(1)的结论，以及等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）证明： ，两边取对数，
，∴ ，
∴数列 是等比数列，公比 ，首项 ，
∴ ， ， .
（2）解：由（1）可得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ， .B组 能力提升
25．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关
二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持
金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3
关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好
重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）
A． B．7 C．13 D．26
【答案】C
【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到 ，求得 的值，
代入函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意知：这个人原来持金为 斤，
第1关收税金为： 斤；第2关收税金为 斤；
第3关收税金为 斤，
以此类推可得的，第4关收税金为 斤，第5关收税金为 斤，
所以 ，
即 ，解得 ，
又由 ，所以 .
故选：C.
26．（2020·安徽·寿县第一中学模拟预测（文））右面的数表为“森德拉姆筛”，其特点是表中的每行每
列上的数都成等差数列，则第n行第n个数字是（ ）
2 3 4 5 …
3 5 7 9 …
4 7 10 13 …
5 9 13 17 …
… … … … …A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设第n行第n个数字是 ，由题意知第n行是首项为 ，公差为n的等差数列，从而得出答案.
【详解】设第n行第n个数字是 ，
由题意知第n行是首项为 ，公差为n的等差数列，
所以
故选：C
【点睛】本题考查行列模型的等差数列求法，观察得出规律是关键，属于基础题.
27．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列 的前n项和为 ，且 ，若
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】求出数列得通项公式和前n项和 ，将不等式恒成立转化成函数最值问题，即可求得最值.
【详解】因为
当 时，解得：
当 时， ，
两式相减得：
数列 是首相为 ，公比为2得等比数列
所以 ，所以
易得
，即
，即
所以 ，即
易知 时， ， ， ， ，
满足 ，所以所以 ，
故选：C
28．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列 ，其前n项和为 ，
前n项积为 ，满足 ．则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最大值为 D．
【答案】B
【分析】假设 与 可判断D；利用等比中项的性质可判断A；由数列 为各项为正的递减数列可
判断C；由 ， 可判断B.
【详解】若 ，则 不合乎题意，
所以 ，故数列 为正项等比数列，
因为 ， ， ，
若 ，则 ，
则 ， ，则 ，
这与已知条件矛盾，所以 不符合题意，
所以 ，故D错误；
因为 ， ，
所以数列 为各项为正的递减数列，
所以， 无最大值，故C错误；
又 ，
所以 ， ，
所以 ，故A错误；
又 ， ，
所以 是数列 中的最大项，故B正确.
故选：B.
29．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记 为各项均为正数的等比数列 的前n项和，， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.
【详解】由 为各项均为正数的等比数列，且 ， ,
设数列公比为 ,可得 ，且 ，则 ，
解得 ，
故 ,
故选：D.
30．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，满足
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比q，进而即可求解
【详解】设公比为q（显然 ），
由 得 ，
即 ，得 或 （舍去），
所以 递增且 ，
所以 最小值为 ．
故选：C
31．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）（多选题）意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的
“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34， ，在现代生物及化学等领域有着广泛的
应用，它可以表述为数列 满足 .若此数列各项被3除后的余数构成一个
新数列 ，记 的前 项和为 ，则以下结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据数列 可得出数列 是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断.
【详解】 数列 为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，
被3除后的余数构成一个新数列 ，
数列 为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，
观察可得数列 是以8为周期的周期数列，故 ，A正确；
且 ，故 ，B正确；
，C正确；
则 的前2022项和为 ，D错误.
故选：ABC
32．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）（多选题）将数列 中的所有项排成如下数阵：
已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数 、 、 、 成等差数列，且 ， .从第
二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以 为公比的等比数列，则（ ）
A． B． 位于第 列
C． D．
【答案】ACD
【分析】先求得第一列数的通项公式，然后结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正
确选项.
【详解】将等差数列 ， ， ， ，…，记为 ，则公差 ，
，所以 ，A正确.
第1行的项数，第2行的项数，…，第 行的项数构成以1为首项，2为公差的等差数列，
即第 行共有 项，则前 行共有 项，
，且 ，则 为第 行从左边数的第 项，即 位于第 列，B错误.
， ，C正确.
，D正确.
故选：ACD.C组 真题实战练
33．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
34．（2021·北京·高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得 可能的最大值，然后构造
数列满足条件，即得到 的最大值．
【详解】若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ，
则 ， ，
所以 .
对于 ， ，
取数列 各项为 ( ， ,
则 ，
所以n的最大值为11．
故选：C．
35．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗
面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，
对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C
【分析】设等差数列 公差为 ，求得 ，得到 ，结合党旗长与宽之比都相等和 ，
列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 .
故选：C.
36．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心
有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一
层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多
729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
37．（2020·全国·高考真题（文））设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【分析】根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
38．（2020·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =
5 3 6 4
（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通
项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 项和公式的应用，考查了数
学运算能力.
39．（2020·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则__________．
【答案】
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可求得答
案.
【详解】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和，解题关键是掌握等差数列的前 项和公式，考查了分析
能力和计算能力，属于基础题.
40．（2020·全国·高考真题（文））数列 满足 ，前16项和为540，则
______________.
【答案】
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用
表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【详解】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属
于较难题.
41．（2021·全国·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
42．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即
可得出结论；
（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分类讨
论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，
分离参数不等式要变号.
43．（2021·全国·高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前 项和公式和分组的方法进行求和是一
种不错的选择.
44．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
