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专题 6-1 等差数列，等比数列中性质应用（选填）
目录
专题6-1等差数列，等比数列中性质应用（选填）............................................................................1
.....................................................................................1
题型一：等差（等比）数列中项............................................................................................................1
题型二：等差（等比）数列下角标和性质............................................................................................5
题型三：等差（等比）数列单调性问题................................................................................................9
等比数列的单调性..................................................................................................................................13
题型四：等差（等比）数列中最大（小）项......................................................................................16
题型五：等差（等比）数列奇偶项问题..............................................................................................21
题型六：等差（等比）数列片段和性质..............................................................................................26
题型七：两个等差数列前 项和之比问题..........................................................................................31
................................................................36
一、单选题..............................................................................................................................................36
二、多选题..............................................................................................................................................42
三、填空题..............................................................................................................................................44
题型一：等差（等比）数列中项
【典例分析】
例题1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知数列 是等比数列，且 ，
， 成等差数列，则公比 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：C
例题2．（2022·江苏省响水中学高二期中）正项等比数列 中， 是 与 的等
差中项，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【详解】由题意可知， 是 与 的等差中项，
所以 ，即 ，
所以 ， 或 （舍），
所以 ，
，
故选：D.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项利为 ，若 ， ，1
成等比数列，且 ，则 的公差 的取值范围为______．
【答案】
【详解】因为 ， ，1成等比数列，所以 ，所以 ，即
，即 ．由 ，得 ，解得
，即 的公差 的取值范围为 ．
故答案为： ．
例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正项等差数列 的前 项和为 ，
且 ，若 成等比数列，则等差数列的通项公式 ________．【答案】
【详解】等差数列 中 ，
设公差为d， ，
∴ ，
解得 或 （舍），
∴ ．
故答案为：
【提分秘籍】
等差中项
由三个数 ， , 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做 与 的
等差中项.这三个数满足关系式 .
等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比
中项⇔ ， ， 成等比数列⇔
【变式演练】
1．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，
， 成等差数列，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】解：设等比数列公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得，
，化简得 ，解得 或 ，当 时， 2；
当 时， .
故选：C.
2．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）已知数列 为等差数列，且 ，3， 成
等比数列，则 为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】设数列 的公差为 ，
因为 ，3， 成等比数列，所以 ，
所以 + ，
所以 ，
故选：A.
3．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）已知 ，若3是 与 的等比中
项，则 的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．9
【答案】A
【详解】由题意得 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，
，所以 ，当且仅当 ，即 ，
时等号成立．故 的最小值为 ．故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在正项等比数列 中 成等差数列，则
__________．
【答案】9
【详解】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
因为 成等差数列，所以 ，
即 ，又 ，
所以 或 （不符合题意，舍去）.
所以 ，
故答案为：9.
题型二：等差（等比）数列下角标和性质
【典例分析】
例题1．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ，
若 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【详解】解：因为 ，
所以 ，
，
，
，，
，
故选：A
例题2．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）已知正项等差数列 的前 项和
为 ，若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．14 C．28 D．42
【答案】D
【详解】解：正项等差数列 ，则
若 ，则 ，解得 或 （舍）
则 .
故选：D.
例题3．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）记正项递增等比数列 的前 项和为
，若 ，则 __________.
【答案】63
【详解】 ， ，解得 或 （舍去），
故 ， ， .
故答案为：
例题4．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）设函数 ，若正项等比数列
满足 ，则 ______．
【答案】 ##【详解】解：由 ， ，所以
，
正项等比数列 满足 ，根据等比数列的性质得到： ，
， 且 ，
根据 得
．
故答案为： ．
【提分秘籍】
① ， 则 （ 特 别 的 ， 当 ， 有
）
②若 ，则 ，其中 .特别地，若 ，则
，其中 .
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·哈师大青冈实验中学高三阶段练习）设等差数列 的前 项和为 ，
若 则 （ ）
A．150 B．120 C．75 D．60
【答案】D
【详解】由等差数列的性质可知 ，
所以 ，
.
故选：D2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））正项等比数列 中的项 ， 是函
数 的极值点，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】依题意 ， 是 的两个根，
∴ ，又 是正项等比数列，所以 ，
∴ ,
故选：C
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）在等比数列 中， ，函
数 ，则 等于（ ）
A．36 B．34 C．38 D．212
【答案】B
【详解】解：令 ，则 ，
所以 ，故 ，
因为在等比数列 中， ，
所以 ，
所以
故选：B
4．（2022·全国·高二单元测试）正项递增等比数列 ，前n项的和为 ，若
， ，则 ＝__．
【答案】364【解答】设每一项都是正数的递增的等比数列 的公比为q＞1，
由 ， ，解得 ．
所以3q2＝27，解得q＝3，则 ，解得 ．
所以 364．
故答案为：364．
5．（2022·吉林辽源·高二期末）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
， ，则 ______.
【答案】 ##0.5
【详解】由题意得 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
题型三：等差（等比）数列单调性问题
【典例分析】
例题1．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ，
若 ，且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为递增数列 B．当且仅当 时， 有最大值C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为无限集
【答案】C
【详解】由 得： ， ，即 ；
设等差数列 的公差为 ，则 ，解得： ，
对于A， ， 为递减数列，A错误；
对于B， ，
， 当 或 时， 取得最大值，B错误；
对于C，由 得： ， ， ，C正确；
对于D， ， 由 得： ，
则不等式 的解集为 ，为有限集，D错误.
故选：C.
例题2．（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）已知等差数列 的前 项和为
，若 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 取得最大值时， D．
【答案】B
【详解】 ，所以 ，
，所以 ，所以 且，所以数列是递减数列，且当 时， 取得最大值.故B正确，AC错误.
因为 ，所以 ，故D错误.
故选：B.
例题3．（多选）（2022·河南·高三阶段练习（理））各项均为正数的等比数列 的
前n项积为 ，若 ，公比 ，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ，则必有 B．若 ，则必有 是 中最大的项
C．若 ，则必有 D．若 ，则必有
【答案】AD
【详解】对于A，若 ，则 ，
即有 ，根据等比数列的性质，
则 ，即有 ，A正确；
对于B，若 ，则等比数列 单调递减，
因为 ，所以 ，则 是 中最大的项；
若 ，则等比数列 单调递增，
因为 ，所以 ，则 是 中最小的项，B错误；
对于C，若 ，则 ，而 ，所以数列 单调递减，
若 ，则 ，所以 ；若 ，则 ，所以 ，C错误；
对于D， ，而 ，所以数列 单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，D正确.故选：AD
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 是递增数列，且
， ，则 的取值范围为___________.
【答案】
【详解】∵等差数列 是递增数列，且 ，∴ ，又∵
，∴ ， ，
， ，即 的取值范围为 ，故答案为 .
5．（2022·江苏南通·高三期中）试写出一个无穷等比数列 ，同时满足① ；②
数列 单调递减；③数列 不具有单调性，则当 时， __________.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】设 ，
由 得， ，
∵数列 不具有单调性，∴ ，
又∵数列 单调递减，故 ，
综上， ，不妨取 ，则 ．
经检验符合题意．
故答案为： ．
【提分秘籍】
若数列 满足对一切正整数 ，都有 （或者 ），则称数列 为递增
数列（递减数列）；
等差数列的单调性
①当 ，等差数列 为递增数列②当 ，等差数列 为递减数列
③当 ，等差数列 为常数列
等比数列的单调性
已知等比数列 的首项为 ，公比为
（1）当 或 时，等比数列 为递增数列；
（2）当 或 时，等比数列 为递减数列；
（3）当 时，等比数列 为常数列（ ）
（4）当 时，等比数列 为摆动数列.
【变式演练】
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）设等比数列 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．32 B．16 C．128 D．64
【答案】D
【详解】因为等比数列 满足 ， ，
所以 ，
从而 ，
故 ，则数列 是单调递减数列，
当 时， ，
故 .
故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为q，且 ，则“ ”是
“ 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【详解】当 时，则 ，则数列 为递减数
列，
当 是递增数列时， ，因为 ，所以 ，则
可得 ，
所以“ ”是“ 是递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
3．（多选）（2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中）已知等比数列 的公比为 ，
前 项积为 ，若 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当且仅当 时， 取得最大值
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为 ，所以 ，故A正确；
又 ，即 ，解得 ，故C正确；
由 知等比数列 为递减数列，且 ，故 取得最大值为 ，故B错误；
因为 ，所以 成立，故D正确.
故选：ACD
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{ }的前n项和是 ， ， ，则
数列{| |}中值最小的项为第___项．
【答案】10
【详解】由题意得： ，∴ ，
，∴ ， ，
∴ ，故等差数列{ }为递减数列，即公差为负数，
因此 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于 ，∴{| |}最小的项是第10项，
故答案为：10
5．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高一阶段练习）在等差数列 中，
，则使 成立的最大自然数n为_______
【答案】4042
【详解】由等差数列的性质可得
又 ，所以 异号，
又 ，所以等差数列 必为递减数列， ，
所以 ，
使 成立的最大自然数n为4042.
故答案为：4042.题型四：等差（等比）数列中最大（小）项
【典例分析】
例题1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）设 ，则当数列 的前 项和
取得最小值时， 的值为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
【答案】A
【详解】由 ，即 ，解得 ，因为 ,故 .
故选：A.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的通项公式为
，当且仅当 时，数列 的前 项和 最大.则当 时， ___________.
【答案】
【详解】解：由题意可知， ，解得 ，又 ，则 ，
所以 ， .由 ，得 ，
解得 或 (舍)，故
故答案为：20.
例题3．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）已知首项为4的数列 满足
．
(1)证明：数列 是等差数列．
(2)求数列 的通项公式，并求数列 的最小项．【答案】(1)证明见解析
(2) ；最小项为 .
（1）
解：因为数列 满足 ，即 ，
可得 ，
又因为 ，可得 ，
所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列.
（2）
解：数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，
可得 ，所以 ，
由
，
当 时，可得 ，即 ，所以数列 为递增数列，
所以当 时，数列 的最小项为 ，即数列 的最小项为 .
【提分秘籍】
①求数列 中最大项方法：当 时，则 是数列最大项；②求数列 中最小项方法：当 时，则 是数列最小项；
③利用单调性求解
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等差数列 的前 项和，且 ，
，则当 取最大值时， 的值为___________.
【答案】7
【详解】方法一：设数列 的公差为 ，则由题意得
，解得
则 .又 ，∴当 时，
取得最大值.
方法二：设等差数列 的公差为 .∵ ，∴ ，
∴ ，解得 ，
则 ，
令
解得 ，又 ，
∴ ，即数列 的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当 取得最大值时， .
故答案为：7.
2．（2022·全国·高二期末）已知数列 的前 项和为 ，且(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式
(3)求数列 的通项公式，并求出 为何值时， 取得最小值，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) ，理由见解析.
(1)
当 时， ，
当 时， ，
整理得 ，
，
是以-15为首项， 为公比的等比数列；
(2)
由(1)知， 是以-15为首项， 为公比的等比数列，
得 ，所以 ，
(3)
由(2)得 ，
，当 时， ，
故 ，
当 时， ，
所以当 时， ，同理当 时， ；
故 时， 取得最小值，即 为最小值.
3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知数列 对任意 满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求使得 成立的正整数 的最小值．
【答案】（1） ；（2）7.
【详解】（1）因为 ①，
所以 ②，
①②两式相减，得 ，
所以 ③．
又当 时，得 ，不满足上式．
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，所以 不成立，
当 时，，
由 ，得 ．
令 ，则 为增函数，
又 ．
因此要使 成立，只需 ，
故使 成立的正整数 的最小值为7．
题型五：等差（等比）数列奇偶项问题
【典例分析】
例题1．（2022·上海·位育中学高二期末）设等差数列的项数 为奇数，则其奇数项之和
与偶数项之和的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题知，奇数项有 项，偶数项有 项，
奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ，所以奇数项之和与偶数项之和的比为 ，
故选：D
例题2．（2022·全国·高二）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前10
项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】当 时， ，又 ，
即前10项分别为 ，
所以数列 的前10项中 ， ，所
以 ，
故选：C．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 共有 项，它的所有项的
和是奇数项的和的 倍，则公比 ______.
【答案】
【详解】设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，
则 ，
由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ， .
故答案为： .
例题4．（2022·江苏·高二课时练习）已知等差数列 中，前 （ 为奇数）项的和
为77，其中偶数项之和为33，且 ，求通项公式．
【答案】【详解】∵等差数列 中，前m（m为奇数）项的和为77，
∴ ，①
∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有 项，公差等于 ，
+ × =33，②
∵ ，
∴ ，③
由①②③，解得 ，
故 ．
数列 的通项公式为 ．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为
85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ，
则 ,所以 ，
结合等比数列求和公式有： ，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.2．（2022·上海南汇中学高二期末）在等差数列 中，已知公差 ，且
，则 __________.
【答案】145
【详解】等差数列 中，已知公差 ，
.
故答案为：145.
3．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 （ ， 是不等于 的
常数）对任意 恒成立，则称 是周期为 ，周期公差为 的“类周期等差数
列”．已知在数列 中， ， ．
(1)求证： 是周期为 的“类周期等差数列”，并求 的值；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析； ；
(2)
(1)由 ， ，相减得 ，
所以 周期为 ，周期公差为 的“类周期等差数列”，
由 ， ，得 ，
所以 ．(2)由 ， ，得 ，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ．
综上所述，
4．（2022·江苏·高二课时练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的
和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．
【答案】
【详解】解：设首项为 ，公差为 ，
则由题意可得 ，
解得
又 ，
．
5．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列 的前n项和为 ．已知 ，
．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)
(1) 等差数列 中， ， ．，
解可得， ，且在等差数列 中，奇数项仍成等差，公差为 ，
；
(2) 等差数列 中， 的相邻两项差为
所以 ．
题型六：等差（等比）数列片段和性质
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 中其前n项和为 ,
则 为．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由等差数列前 项和性质可知： ， ， 成等差数列
又 ，
本题正确选项：
例题2．（2022·全国·高二单元测试）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据等比数列性质： 成等比数列，设 则 ，
；
故选C
例题3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选
项中正确的有（ ）
A．若数列 的前n项和 （ ， ， 为常数），则数列 为等差数列
B．若数列 的前n项和 ，则数列 为等比数列
C．数列 是等差数列， 为前 项和，则 ， ， ，…仍为等差数列
D．数列 是等比数列， 为前 项和，则 ， ， ，…仍为等比数列
【答案】BC
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于选项A：因为 ， ，
当 时， ，
所以 ，所以只有当 时，数列 成等差数列，故A错误；
对于选项B：因为 ， ，
当 时， ，当 时， ，符合上式，
所以 ，则数列 成等比数列，故B正确；
对于选项C：数列 是等差数列， 为前 项和，则 ， ， ， 是公差
为 （ 为 的公差）的等差数列，故C正确；对于选项D：令 ，则 ， ， ， 是常数列 ，显然不是等比
数列，故D错误.
故选：BC.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）记 为正项等比数列 的前 项和，若
，则 的最小值为__.
【答案】8
【详解】在等比数列 中，根据等比数列的性质，可得 构成等比数列，
所以 ，所以 ，
因为 ，即 ，
所以 ,
当且仅当 时，等号是成立的，所以 的最小值为 ．
【提分秘籍】
当 是等差数列 ，记 的前 项和为 ，则 ， ， …也成等差数
列，公差为 .
当 是等比数列 ，记 的前 项和为 ，则 ， ， …也成等比数
列，公差为 .
【变式演练】
1．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）公比 的等比数列的前3项，前6项，前9
项的和分别为 ， ， ，则下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【详解】由等比数列的性质可知， ， ， 成等比数列，
所以 ，整理得： .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S-2S=5，则
8 4
a+a +a +a 的最小值为（ ）
9 10 11 12
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【详解】由题意可得a+a +a +a =S -S，由S-2S=5，可得S-S=S+5.
9 10 11 12 12 8 8 4 8 4 4
又由等比数列的性质知S，S-S，S -S 成等比数列，则S(S -S)=(S-S)2.
4 8 4 12 8 4 12 8 8 4
当且仅
当S=5时等号成立，所以a+a +a +a 的最小值为20.
4 9 10 11 12
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：设等比数列的公比为 ，
若 ，则 不成立．
，
由 ，得 ，即 ，
，解得 ，
则 ，
故选：A．
4．（2022·上海·高二课时练习）等差数列前10项的和为10，第11项至第20项的和为
，则第21项至第30项的和是_______．
【答案】
【详解】设该等差数列为 ，其公差为 ，前项和为 .
前10项的和为 ，则
由第11项至第20项的和为，
所以 ，即 ，所以
则第21项至第30项的和是：
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列 的前4项和为32，前8项和为56．
(1)求 、 的值；
(2)通过计算观察，寻找 、 、 、 之间的关系，你发现什么结论？
(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．
【答案】(1) ，
(2) ， ， ， 成等差数列．(3)已知 是等差数列，前n项和为 ，则 ， ， ，…， ，…
成等差数列；证明见解析．
（1）
设 公差为 ，则 ，解得 ，
，
；
（2）
由（1）得 ， ， ， ，
所以 ， ， ， 成等差数列；
（3）
设 公差为 ，
则 ，
同理 ，
所以
为常数，
所以 ， ， ，…， ，… 成等差数列．
题型七：两个等差数列前 项和之比问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为和 ，且 = ，则使得 为整数的正整数 的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】依题意， ，又 = ，
于是得 ，
因此，要 为整数，当且仅当 是正整数，而 ，则 是32的大于1的约数，
又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，
所以使得 为整数的正整数n的个数为5.
故选：B
例题2．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列 和 ，前 项和分别为 ，
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在 为等差数列中，当 ， ， ， 时，
．
所以 ，
又因为 ，所以 ．
故选：A．
例题3．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中）已知两个等差数列 和
的前 项和分别为 和 ，且 = ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 = ，所以可设 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：A.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为等差数列 ， 的前 项
和， ，设点 是直线 外一点，点 是直线 上一点，且
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为P，B，C三点共线，所以 +λ=1，所以 +λ=1，
，所以 +λ= +λ=1，λ= ，
故选:B.
【提分秘籍】若数列 , 均为等差数列且其前 项和分别为 , ,则
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）设数列 ， 都是正项等比数列， ， 分别为数列
与 的前n项和，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正项等比数列 的公比为q，正项等比数列 的公比为p，
数列 为等差数列，公差为 ， 为等差数列，公差为 ，
， ，
， ，
故选D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 的前 项和分别为 ，若
对于任意的自然数 ，都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得.
故选：B
3．（2022·江苏·宿迁中学高二期中）若两个等差数列 的前n项和分别为An、
Bn，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】等差数列 、 前 项和分别为 ， ，由 ，
得 ．
故选： .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，等差数列 的前
项和为 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ 是等差数列 的前 项和，∴ ，即
，
∵ 是等差数列 的前 项和，∴ ，即 ，
∴ ，
故选：B.5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知等差数列 、 ，其前 项和分别为
、 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由等差数列的前 项和公式以及等差中项的性质得 ，
同理可得 ，因此， ，故选A．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若
，则 ______．
【答案】
【详解】因为等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：
一、单选题
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知在等比数列 中，，等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．96 B．102 C．118 D．126
【答案】B
【详解】解：在等比数列 中， ，
，
，
在等差数列 中，
，
，
，
故选：B．
2．（2022·山东济宁·高三期中）设等差数列 的前 项的和为 ，则
下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列 的前 和为
【答案】C
【详解】对于A，设等差数列 的公差为 , 前 项和为 ,
由 ,
可得 ,
解得 2 ,则 ,
故选项A正确;
由 得，
, 11,
，
故选项B正确；
= n= ,
故选项C错误；
由 可得 ,
即数列 的前 项 和 为
.故选项D正确.
故选：C.
3．（2022·广西玉林·高三阶段练习（理））设等比数列 的公比为q，其前n项和为
，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 的最大值为
【答案】B
【详解】解：若 ， ，
，
则 与 矛盾，
若 ， ，，
则 与 矛盾，
，
故B正确；
，则 ，
，故A错误；
，
单调递增，故D错误；
，
，故C错误．
故选：B．
4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知数列 的前 项和组成的数列 满足
， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，
因为 ，所以 ，
可得 ，而 ，所以 时， 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
所以 .
故选：A.
5．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 且
，则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 为等差数列.
设等差数列 的公差为 ，由 ，则 ，故
， ，故 ，即 的通项公式为
.
故选：D
6．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高三期中）1883年，德国数学家康托提出了三
分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第
一步，把闭区间 平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间 和 ；第
二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：
， ， ， ；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三
分康托集.若经历 步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或 或
或 的区间长度均为 ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将定义 的区间长度为 ，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以 为首项， 为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为 ，剩余区间的长度和为 ，
第2次操作去掉两个区间长为 的区间，剩余区间的长度和为 ，
第3次操作去掉四个区间长为 的区间，剩余区间的长度和为 ，
第4次操作去掉8个区间长为 ，剩余区间的长度和为 ，
第 次操作去掉 个区间长为 ，剩余区间的长度和为 ，
所以 ；
设定义区间为 ，则区间长度为1，
所以第 次操作剩余区间的长度和为 ，
则去掉的区间长度和为 .故选：B
7．（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））数列 满足： ， ，
记数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，所以数列 为首项为 ，公差为1的等差
数列，所以 ，所以 ，
所以数列 的前 项和为 ，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 恒成立，所以 ，
故实数 的取值范围是 ，
故选：C.
8．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知正项等比数列 中的 是函数
的极值点，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】 是 的极值点，则是 的两个
根，故 ， 是正项等比数列，所以 ，
因此 .故选：B
二、多选题
9．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二阶段练习）数列 前 项的和为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 前5项的和最大
B．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则
C．已知 ，则使得 成等比数列的充要条件为
D．若 为等差数列，且 ， ，则当 时， 的最大值为2022
【答案】AB
【详解】A：由通项公式知：数列是严格递减数列，又
所以数列 前5项的和最大，A对；
B：在等差数列 中， 成等差，
又 ，
B对；
C： 成等比数列， 所以不是充要条件，C错；
D： 为等差数列, ，
，所以D错，
故选：AB
10．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）已知等比数列 的公比为 ，其前 项之积为 ，且满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的值是 中最小的 D．使 成立的最大正整数 的值为4043
【答案】ABD
【详解】由 ， ， 得 ，且 ，
对于A， ，故A正确，
对于B， ，故B正确，
对于C，当 时， ，当 时， ，
故 的值是 中最小的，故C错误，
对于D， ， ，故使 成立的最大正整数 的值为
4043，故D正确，
故选：ABD
三、填空题
11．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标
原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，
且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律，经过__________秒后，该质点首次落在
直线 上．【答案】1300
【详解】由 解得 ，
根据题意可知，当该质点到达点 处时，首次落在直线 上．
质点到达 处，走过的路程长度为2；
质点到达 处，走过的路程长度为 ；
质点到达 处，走过的路程长度为 ；
……
依此类推，可知质点到达 处，
走过的路程长度为 ，
故该质点到达 处时，走过的路程长度为 个单位长度，即经过1300秒．
故答案为：
12．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知各项为正的数列 的前 项和为 ，满足
，则 的最小值为___________.
【答案】2
【详解】各项为正的数列 ， ，
时， ，
即 ，化为： ，
， ，又 ，解得 ，
数列 是等差数列，首项为1，公差为2． ，，
，
当且仅当 时取等号， 的最小值为2,
故答案为：2．
13．（2022·山西·太原师范学院附属中学高二阶段练习）设正项等比数列 的前 项和为
，且 ，则公比 __________.
【答案】 ##
【详解】由 ，得 .
又正项等比数列 的前 项和为 ，故 ，
∴ ，
∵数列{an}是等比数列，
∴
故 ，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以 ，故
故答案为：
14．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）正项等比数列 中， ，且存在两
项 使得 ，则 的最小值为___________.【答案】
【详解】设正项等比数列 的公比为 ，
由 得： ，则 ，解得： （舍）或 ，
由 得： ， ，即 ；
（当且仅当 ，
时取等号），
的最小值为 .
故答案为： .
15．（2022·四川·绵阳市开元中学高一期末（理））已知在单调递增的等差数列 中，
满足 ， 是 和 的等比中项， 为数列 的前n项和，则 的
最小值为________.
【答案】6
【详解】解：由题意可得 ，
设等差数列 的公差为d，则 ，
解得 （舍去），
故 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
此时 取得最小值，故最小值为6.故答案为：6.
