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微重点 9 数列的递推关系
数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可
直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再
利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用．
考点一 构造辅助数列
例1 (1)(多选)已知数列{a}满足a ＝1，a －3a ＝2aa (n∈N*)，则下列结论正确的是(
n 1 n n＋1 n n＋1
)
A.为等比数列
B．{a}的通项公式为a＝
n n
C．{a}为递增数列
n
D.的前n项和T＝3n－n－1
n
(2)(2022·吕梁模拟)已知S 为数列{a}的前n项和，且a ＝1，a ＋a ＝3×2n，则S 等于(
n n 1 n＋1 n 100
)
A．2100－3 B．2100－2
C．2101－3 D．2101－2
规律方法 (1)若数列{a}满足a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0)，构造a ＋λ＝p(a＋λ)．
n n＋1 n n＋1 n
(2)若数列{a}满足a ＝pa＋f(n)(p≠0,1)，构造a ＋g(n＋1)＝p[a＋g(n)]．
n n＋1 n n＋1 n
跟踪演练1 (1)在数列{a}中，a＝3，a＝2a －n＋2(n≥2，n∈N*)，若a>980，则n的最
n 1 n n－1 n
小值是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
(2)(2022·重庆质检)已知数列{a}满足a ＝0，a ＝a ＋，a ＝a －(n∈N*)，则数列
n 2 2n＋1 2n 2n＋2 2n＋1
{a}的第2 022项为( )
n
A. B.
C. D.
考点二 利用 a 与 S 的关系
n n
例2 已知S 是数列{a}的前n项和，a＝3，且当n≥2时，S，，S 成等差数列．
n n 1 n n－1
(1)求数列{a}的通项公式；
n
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(2)设数列{b}满足b＝1－，若b·b·…·b＝，求正整数n的值．
n n 2 3 n
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规律方法 在处理S ，a 的式子时，一般情况下，如果要证明f(a)为等差(等比)数列，就消
n n n
去S ，如果要证明f(S)为等差(等比)数列，就消去a ；但有些题目要求求{a}的通项公式，
n n n n
表面上看应该消去S，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去a，求
n n
出S，然后利用a＝S－S 求出a.
n n n n－1 n
跟踪演练2 (1)(2022·焦作模拟)已知数列{a}满足a ＋a ＋a ＋…＋a ＝2n，则a ＋2a ＋22a
n 1 2 3 n 1 2 3
＋…＋22 021a 等于( )
2 022
A．2(22 022－1) B.(22 022＋1)
C.(24 044－1) D.(24 044＋1)
(2)(多选)(2022·济宁模拟)已知正项数列{a}的前n项和为S ，若2aS ＝1＋a，b ＝log ，数
n n n n n 2
列{b}的前n项和为T，则下列结论正确的是( )
n n
A．{S}是等差数列
B．a
