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专题三 数 列
第 1 讲 等差数列、等比数列
一、单项选择题
1．(2022·荆州联考)已知数列{a}是首项为a ，公差为d的等差数列，前n项和为S ，满足
n 1 n
2a＝a＋5，则S 等于( )
4 3 9
A．35 B．40 C．45 D．50
2．(2022·济宁模拟)在等比数列{a}中，a＋a＝1，a＋a＝－32，则等于( )
n 1 3 6 8
A．－8 B．16 C．32 D．－32
3．(2022·漳州质检)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入
3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示．
一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线
上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方中数的和即方格内的所有数的和为
S，如图三阶幻方中数的和S＝45，那么S 等于( )
n 3 9
A．3 321 B．361 C．99 D．33
4．(2021·全国甲卷)等比数列{a}的公比为q，前n项和为S.设甲：q>0，乙：{S}是递增数
n n n
列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．已知S 是数列{a}的前n项和，a＝1，a＝2，a＝3，记b＝a＋a ＋a 且b －b＝
n n 1 2 3 n n n＋1 n＋2 n＋1 n
2，则S 等于( )
31
A．171 B．278 C．351 D．395
6．(2022·佛山模拟)公比为q的等比数列{a}满足：a ＝ln a >0，记T ＝aaa…a ，则当q
n 9 10 n 1 2 3 n
最小时，使T≥1成立的n的最小值是( )
n
A．17 B．18C．20 D．21
二、多项选择题
7．(2022·福州质检)已知等差数列{a}的前n项和为S，公差d≠0.若S≤S，则( )
n n n 6
A．a<0 B．d<0
1
C．a＝0 D．S ≤0
6 13
8．(2022·保定模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且满足a＝1，a＝2，a ＝4a－3a ，
n n 1 2 n＋1 n n－1
则下面说法正确的是( )
A．数列{a －a}为等比数列
n＋1 n
B．数列{a －3a}为等差数列
n＋1 n
C．a＝3n－1＋1
n
D．S＝＋
n
三、填空题
9．(2022·中山模拟)在数列{a}中，a ＝2，＝＋，则数列{a}的通项公式为
n 1 n
__________________．
10．(2022·邯郸模拟)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著
作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之
剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 022这2
022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，
则该数列的项数为________．
11．(2022·南昌模拟)已知等比数列{a}满足：a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝6，a ＝3，则＋＋＋＋＝
n 1 2 3 4 5 3
________.
12．(2022·梅州模拟)分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．
图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角
形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条
线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”…，依次进行“n次分形”(n∈N*)．规定：
一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于 30的分形图，
则n的最小整数值是______．(取lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)
四、解答题
13．(2022·新高考全国Ⅱ)已知{a}是等差数列，{b}是公比为2的等比数列，且a－b＝a－
n n 2 2 3
b＝b－a.
3 4 4
(1)证明：a＝b；
1 1
(2)求集合{k|b＝a ＋a 1≤m≤500}中元素的个数．
k m 1,14．(2022·太原模拟)已知数列{a}中，S＝a＋a＋…＋a，T＝S·S·…·S，且S＋T＝1.
n n 1 2 n n 1 2 n n n
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数n，T 是a 与S 的等比中项．
n n n
