考点14等差数列与等比数列（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习

考点 14 等差数列与等比数列（核心考点讲与练） 一、等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列. 数学语言表达式：a －a＝d(n∈N ，d为常数). n＋1 n + (2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{a}的首项是a，公差是d，则其通项公式为a＝a ＋ ( n － 1 ) d. n 1 n 1 (2)前n项和公式：S＝na ＋ ＝ . n 1 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N ). n m + (2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则a ＋ a ＝ a ＋ a. n + k l m n (3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N )是公差为md 的等差数列. n k k＋m k＋2m + (4)若S 为等差数列{a}的前n项和，则数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列. n n m 2m m 3m 2m (5)若S 为等差数列{a}的前n项和，则数列也为等差数列. n n 二、等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比 数列. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝ ± . 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为a＝a q n － 1 ； n 1 n 1 通项公式的推广：a＝a qn－m. n m (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S＝na；当q≠1时，S＝＝. n 1 n3.等比数列的性质 已知{a}是等比数列，S 是数列{a}的前n项和. n n n (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则有a·a＝a · a . + k l m n (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a， k a ，a ，…仍是等比数列，公比为 q m . k＋m k＋2m (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S，S －S，S －S ，…仍成等比数列，其公比为 q n . n 2n n 3n 2n 1.等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a－a 为同一常数； n n－1 (2)等差中项法：验证2a ＝a＋a (n≥3，n∈N*)都成立； n－1 n n－2 (3)通项公式法：验证a＝pn＋q； n (4)前n项和公式法：验证S＝An2＋Bn. n 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列． 2.等比数列的判断方法有： (1)定义法：若 ＝q(q为非零常数)或 ＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N )，则{a}是等比数列． ＋ n (2)中项公式法：在数列{a}中，a≠0且a ＝a·a (n∈N*)，则数列{a}是等比数列． n n n n＋2 n (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a}是等比数列． n n 注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列． 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*)． n m (2)若{a}为等差数列，且m＋n＝p＋q， n 则a ＋ a ＝ a ＋ a(m，n，p，q∈N*)． m n p q (3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列． n k k＋m k＋2m (4)数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列． m 2m m 3m 2m (5)S ＝(2n－1)a. 2n－1 n (6)若n为偶数，则S －S ＝ ； 偶 奇 若n为奇数，则S －S ＝a (中间项)． 奇 偶 中 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a＝a · q n － m ，(n，m∈N )． n m ＋ (2)若{a}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则a · a ＝ a · a . n ＋ k l m n (3)若{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则{λa}(λ≠0)， ，{a }，{a·b}， 仍是等比数列． n n n n n (4)公比不为－1的等比数列{a}的前n项和为S，则S，S －S，S －S 仍成等比数列，其公比为 q n . n n n 2n n 3n 2n 5.等差数列的前n项和公式 若已知首项a 和末项a，则S＝ ，或等差数列{a}的首项是a，公差是d，则其前n项和公式为S 1 n n n 1 n ＝na＋ d. 1 6.等比数列的前n项和公式 等比数列{a}的公比为q(q≠0)，其前n项和为S， n n 当q＝1时，S＝na； n 1 当q≠1时，S＝ ＝ . n 等差数列及其前n项和 一、解答题 a  n T a T 1(nN*) 1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知数列 n 前 项积为 n，且 n n ．  1    (1)求证：数列 1a  为等差数列； n 1 (2)设S T2T2T 2，求证：S n a n1  2 ． n 1 2 n S n 1 2．（2022·山西·二模（理））已知数列a n 的前n项和为S n ，若a 2 4， n n  2 a n ． a  (1)求证：数列 n 是等差数列；b  (2)从下面两个条件中选一个，求数列 n 的前n项的和 T ． b  a 11 ① n n ； b a a a a ② n 2n1 2n 2n 2n1． a  a 2 n S a a 32n 3．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知数列 n 满足 1 ，前 项的和 n，且 n1 n . a ,a a  (1)写出 2 3，并求出数列 n 的通项公式； b log a a  b log S  (2)在① n 2 n n1 ；② n 2 n 这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若 b  b  数列 n 满足___________，求实数  使得数列 n 是等差数列. （注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分） S a  n a a 10 S 0 4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记 n为等差数列 n 的前 项和，已知 1 3 ， 8 ．a  (1)求 n 的通项公式； S S (2)求 n，并求 n的最大值． 等比数列及其前n项和 一、单选题 1．（2021·安徽池州·一模（理））已知数列 a n  为等比数列，其前 n 项和为 S n，且 S n 5na ，则 a （ ） A．5 B．5 C．1 D．1 二、多选题 1 2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 a n  满足a n1 2a n 13a n m， a n  2 ，则下列说法正确的有 （ ） 1 3n1 a  a  A．若m12， a 1 1 ，则a 3 5 B．若m0， 1 2，则 n 3n11 a 3  n  m 1 a  7  n C．若 m12 ，a 1 2，3，则 a n 2 是等比数列D．若 2 ，a 1 1，则 n 6 6 三、解答题 a  S S 12 a a a  m,nN* 3．（2022·江西·二模（文））已知正项数列 n 的前n项和为 n， 2 ，且 mn m n ． a  (1)求 n 的通项公式； b na b  T (2)若 n n，求数列 n 的前n项和 n．{a } n S a 1 a 2 a 7 4．（2022·河南·二模（理））已知数列 n 的前 项和为 n， 1 ， 2 ， 3 ，且满足： S S n2 n 3 S S ，其中nN*且n1. n1 n1 a a (1)求 n1 n. {(1)na } n T (2)求数列 n 的前 项和 n. 5．（2022·重庆·二模）设 S n为数列 a n  的前 n 项和，已知 a n 0 ， a n 22a n 4S n 3  nN .若数列 b n  满 b 2 b 4 b2 bb  nN 足 1 ， 2 ， n1 n n2 . a  b  (1)求数列 n 和 n 的通项公式；  1 ,  n2k1,kN  (2)设 c n  S n ，求数列 的前 项的和 .   b n ,  n2k,kN c n  2n T 2n1. （2020年新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石 板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比 上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三 层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 2. （2019年新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. （2021年全国高考甲卷） 已知数列{a}的各项为正数，记S 为{a}的前n项和，从下面①②③中选取两 n n n 个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{a}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a＝3a. n 2 1一、单选题 1.（2022·北京·模拟预测）已知公差不为零的等差数列 ，首项 ，若 ， ， 成等比数列， 记 （ ，），则数列 （ ） A. 有最小项，无最大项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，无最小项 D. 有最大项，有最小项 2.（2022·福建漳州·二模）已知 是数列 的前n项和， ， ， ，记 且 ，则 （ ） A. 171 B. 278 C. 351 D. 395 3.（2022·福建龙岩·一模）已知函数 ，记等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ） A. B. C. 2022 D. 4044 二、多选题 4.（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例 如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确 的是（ ） A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级 B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍 D. 记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为a，则数列{a}是等比数列 n n5.（2022·海南·模拟预测） “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的 “外观描述”．例如：取第一项为 ，将其外观描述为“ 个 ”，则第二项为 ；将 描述为“ 个 ”， 则第三项为 ；将 描述为“ 个 ， 个 ”，则第四项为 ；将 1描述为“ 个 ， 个 ， 个 ”，则第五项为 ， ，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依 次推出数列后面的项．则对于外观数列 ，下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则从 开始出现数字 B. 若 ，则 的最后一个数字均为 C. 不可能为等差数列或等比数列 D. 若 ，则 均不包含数字 6.（2022·福建龙岩·一模）已知数列 的前n项和为 ， ， 则下列 选项正确的是（ ） A. 数列 的奇数项构成的数列是等差数列B. 数列 的偶数项构成的数列是等比数列 C. D. 7.（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，则（ ） A. B. 当 时， 最小 C. 当 时， 最小 D. 存在 ，使得 8.（2022·湖北·一模）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA 平面ABC，P为平面ABC内部一动点（包括边界）.若SA= ，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为 ，点P 到AB，AC，BC的距离分别为 ，那么（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 若 成等差数列，则 为定值 D. 若 成等比数列，则 为定值 三、填空题 9.（2022·河北唐山·一模） 记 是公差不为 的等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ________. 四、解答题 10.（2021辽宁省盘锦市高级中学高三上学期9月月考）. 已知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 其前 项和为 . （1）若 成等差数列，求 的值； （2）若 的前 项和为 ，求 的最值. 11.（2022江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）设公比 的等比数列 满足： ，且 是 与 的等差中项.（1）求数列 通项公式；（2）求数列 的前 项和 . 12（2021广东省深圳市横岗高级中学高三第一次月考） 已知数列 的前 项和 满足 ， ，且 ． （1）求证：数列 是常数列； （2）求数列 的通项公式．若数列 通项公式 ，将数列 与 的公共项按从小到大 的顺序排列得到数列 ，求 的前 项和．