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专题14 边边角证全等
1．已知如图：∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP+∠BCP＝180°，求证：
AB+BC＝2BD．
【解答】解：过点P作PM⊥AB，垂足为点M，
∵PM⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，
∴PM＝PD，BM＝BD，
∵∠BAP+∠BCP＝180°，且∠BAP+∠MAP＝180°，
∴∠PAM＝∠BCP，
在△PAM和△PCD中，
，
∴△PAM≌△PCD，
∴AM＝CD，
∴BM﹣AB＝BC﹣BD，
∴BD﹣AB＝BC﹣BD，
∴AB+BC＝2BD．
2．如图，四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC，
（1）求证：DC＝AD；
（2）若BC＝21，AB＝9，AD＝10，求BD的长．【解答】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△BAD和△BED中，
∵ ，
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴DA＝DE，∠A＝∠BED，
∵∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴DC＝AD．
（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵△BAD≌△BED，
∴BA＝BE＝9、AD＝DC＝10，
∵BC＝21，
∴EC＝12，
∵DE＝DC，
∴EF＝FC＝ EC＝6，
在Rt△DFC中，DF＝＝＝8，
在Rt△BDF中，BD＝＝＝17．
3．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，试说明AD＝CD的理由．【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，
所以，∠EDF+∠BAD＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵∠BAD与∠BCD互补，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD．
4．如图所示，四边形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
【解答】证明：如图，过D作出DE⊥BA，DF⊥BC，
．∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△DEA和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），
∴∠C＝∠EAD，
∵∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠BAD+∠C＝180°．
5．如图，OC 平分∠MON，A、B 分别为 OM、ON 上的点，且 BO＞AO，AC＝BC，求证：
∠OAC+∠OBC＝180°．
【解答】解：如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∴CE＝CF，
∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），
∴∠ACF＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠ECF，
∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ACB+∠AOB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°．
6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，AB＝AD，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE，AC．
（1）求证：△ACE是等腰直角三角形；
（2）若AC＝6cm，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，
∴∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ADE＝∠B，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．
（2）解：∵△ADE≌△ABC，
∴S△ADE ＝S△ABC ，
∵△ACE是等腰直角三角形．AC＝6cm，
∴AC＝AE＝6cm，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACD +S△ABC ＝S△ACD +S△ADE ＝S△ACE ＝ ×6×6＝18（cm2）．
7．已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求证：
AG＝DG．
【解答】证明：∵GE＝GF，
∴△GEF为等腰三角形，∴∠GEF＝∠GFE，
∵在△ABF和△DCE中，∠B＝∠C，
∴∠A＝∠D，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE，
又∵GF＝GE，
∴AF﹣GF＝DE﹣GE，
即AG＝DG．
8．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD．
（2）若AF＝4，AB＝6，求DF．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△CDF与Rt△CEB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：由（1）知，BE＝FD，∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△ACD与Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝AE+BE＝AD+BE＝AF+FD+BE，AF＝4，AB＝6，∴6＝4+FD+BE＝4+2•DF，
∴DF＝1．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），AB＝BC，AB⊥BC，点B在x轴上．
（1）如图1，AC交x轴于点D，若∠DBC＝10°，则∠ADB＝ 55 ° ；
（2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点C（1，﹣1），求点B坐标；
（3）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，∠BFM＝45°，MF交
直线AE于点M，若点B（﹣1，0），BM＝5，求EM的长．
【解答】解：（1）∠ADB＝55°；
∵AB＝BC，AB⊥BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠DBC＝10°，
∴∠ADB＝45°+10°＝55°；
（2）解：如图1，过A作AD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D、E，
∵AD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠EBC+∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠EBC，在△ADB与△BEC中，
，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴BD＝CE，
∵A（3，3），C（1，﹣1），
∴OD＝3，CE＝1，
∴OB＝OD+BD＝OD+CE＝3+1＝4，
∴B（4，0）；
（3）解：如图2，在AM上截取AN＝OB，连接FN，
∵A（3，3），
∴OF＝AF＝3，
在△BOF与△NAF中，
，
∴△BOF≌△NAF（SAS），
∴∠BFO＝∠NFA，BF＝NF，
∵∠BFM＝∠BFO+∠OFM＝45°，
∴∠NFA+∠OFM＝45°，
∵∠OFA＝90°，
∴∠NFM＝∠OFA﹣（∠NFA+∠OFM）＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BFM＝∠NFM，
在△BFM与△NFM中，
，∴△BFM≌△NFM（SAS），
∴BM＝NM，
∵BM＝5，B（﹣1，0），
∴MN＝5，BO＝AN＝1，
∴EM＝MN+AN﹣AE＝5+1﹣3＝3．
10．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，若∠C＝50°，求∠BAD的
度数．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD＝∠C，
∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠BAD＝130°．
11．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．
如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD叫做“等补四边形”．
（1）概念理解
①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是 D ．
A．平行四边形B．菱形
C．矩形
D．正方形
②等补四边形ABCD中，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A＝ 90 ° ．
（2）知识运用
如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD，BC＞BA．求证：四边形ABCD是等补
四边形．
（3）探究发现
如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
【解答】解：（1）①∵平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，
∴平行四边形不一定是等补四边形，
故不选A；
∵菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，
∴菱形不一定是等补四边形，
故不选B；
∵矩形对角互补，但邻边不一定相等，
∴矩形不一定是等补四边形，
故不选C；
∵正方形四个角是直角，四条边相相等，
∴正方形一定是等补四边形，
故选D．
②∵等补四边形对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：2：3：4，
又∵∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝∠C＝90°，
故填90°．
（2）如图1，证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE．
∵AD＝CD，
∴DE＝DC．
∴∠C＝∠DEC．
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
（3）
如图2，过点A分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴AC是∠BCF的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上），
即AC平分∠BCD．
12．已知在∠MON中，A，B分别为ON，OM上一点．
（1）如图，若 CD⊥OB于D，OC平分∠MON，OA+OB＝2OD，求证：∠MON+∠ACB＝
180°；
（2）若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，∠MON+∠ACB＝180°，求证：OA+OB＝2OD．
【解答】解：（1）作CH⊥OA垂足为H，
∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，
∴CD＝CH，
在RT△OCD和RT△OCH中，
，
∴△OCD≌△OCH，
∴OD＝OH，
∵OA+OB＝2OD，
∴OH+AH+OD﹣BD＝20D，
∴BD＝AH，
在△CDB和△CHA中，
，
∴△CDB≌△CHA，
∴∠BCD＝∠ACH，
∴∠DCH＝∠BCA，
在四边形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO＝360°，∠CDO＝∠CHO＝90°，
∴∠MON+∠DCH＝180°，
∴∠MON+∠BCA＝180°．（2）作CH⊥OA垂足为H，
∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，
∴CD＝CH，
在RT△OCD和RT△OCH中，
，
∴△OCD≌△OCH，
∴OD＝OH，
在四边形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO＝360°，∠CDO＝∠CHO＝90°，
∴∠MON+∠DCH＝180°，
∵∠MON+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝∠DCH，
∴∠BCD＝∠ACH，
在△CDB和△CHA中，
，
∴△CDB≌△CHA，
∴BD＝AH，
∴OB+OA＝OD﹣BD+OH+AH＝2OD．
13．（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，
CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连结 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF ＝ BE + DF ．
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝
45°．若BM＝12，CN＝16，则MN的长为 2 0 ．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AC，如下图，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM，连接AE、EN，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°，
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠CAN＝45°，
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS），
∴MN＝EN，
在Rt△ENC中，由勾股定理得EN2＝EC2+NC2，
∴MN2＝BM2+NC2，
∵BM＝12，CN＝16，
∴MN＝ ＝20，
故答案为：20．
