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第 1 讲 等差数列、等比数列
[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等
差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a＝a＋(n－1)d.
n 1
(2)等比数列的通项公式：a＝aqn－1.
n 1
(3)等差数列的求和公式：
S＝＝na＋d.
n 1
(4)等比数列的求和公式：
S＝
n
例1 (1)(2022·南通调研)设S 是公差不为0的等差数列{a}的前n项和，且S ＝4a ，则等于
n n 5 4
( )
A．10 B．14 C．15 D．18
(2)(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙
门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”
共7层，上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅
优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a}，则log (a·a)的值为(
n 2 3 5
)
A．8 B．10 C．12 D．16
规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a、公差d或公比q.
1
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S ＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，
n通项公式为a＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．
n
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比
值的方式)进行相关计算．
跟踪演练1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a}的前3项和为168，a－a＝42，则a 等于
n 2 5 6
( )
A．14 B．12
C．6 D．3
(2)(多选)(2022·广东联考)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围
绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a ，a ，a ，…，a ，设数
1 2 3 9
列{a}为等差数列，它的前n项和为S，且a＝18，a＋a＝90，则( )
n n 2 4 6
A．a＝6 B．{a}的公差为9
1 n
C．a＝3a D．S＝405
6 3 9
考点二 等差数列、等比数列的性质
核心提炼
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a ＋a＝a＋
m n p
a＝2a，对于等比数列，有a a＝aa＝a.
q k m n p q
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有S ，S －S ，S －S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S －S ，
m 2m m 3m 2m m 2m m
S －S ，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．
3m 2m
(2)对于等差数列有S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
例2 (1)(2022·南昌模拟)已知公差不为0的等差数列{a}满足a＋a＝a＋a，则( )
n
A．a＝0 B．a＝0
6 7
C．S ＝0 D．S ＝0
12 13
(2)(2022·武汉质检)已知等比数列{a}的各项均为正数，公比为q，a>1，a ＋a>aa ＋1>2，
n 1 6 7 6 7
记{a}的前n项积为T，则下列选项错误的是( )
n n
A．01
6
C．T >1 D．T >1
12 13
规律方法 等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用
函数的性质解题．
跟踪演练2 (1)若数列{a}为等比数列，且a＋a＝1，a＋a＝2，则a ＋a 等于( )
n 1 2 3 4 15 16
A．32 B．64
C．128 D．256
(2)(多选)(2022·济宁检测)已知等差数列{a}的前n项和为S ，且a>0，a ＋a >0，a·a<0，
n n 1 4 11 7 8
则( )
A．数列{a}是递增数列
n
B．S>S
6 9
C．当n＝7时，S 最大
n
D．当S>0时，n的最大值为14
n
考点三 等差数列、等比数列的判断
核心提炼
等差数列 等比数列
定义法 a －a＝d ＝q(q≠0)
n＋1 n
通项法 a＝a＋(n－1)d a＝aqn－1
n 1 n 1
中项法 2a＝a ＋a (n≥2) a＝a a (n≥2，a≠0)
n n－1 n＋1 n－1 n＋1 n
前n项和法 S＝an2＋bn(a，b为常数) S＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)
n n
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．
例3 (2022·连云港模拟)若数列{a}满足：a＝1，a＝5，对于任意的n∈N*，都有a ＝
n 1 2 n＋2
6a －9a.
n＋1 n
(1)证明：数列{a －3a}是等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式．
n
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易错提醒 (1)a＝a a (n≥2，n∈N*)是{a}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一
n－1 n＋1 n
个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){a}为等比数列，可推出a，a，a 成等比数列，但a，a，a 成等比数列并不能说明{a}
n 1 2 3 1 2 3 n
为等比数列．
(3)证明{a}不是等比数列可用特值法．
n
跟踪演练3 (2022·湖北七市(州)联考)已知数列{a}的前n项和为S ，且满足a ＝3S －
n n n n
2(n∈N*)．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
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(2)求证：对任意的m∈N*，S ，S ，S 成等差数列．
m m＋2 m＋1
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