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第 2 讲 数列求和及其综合应用
一、单项选择题
1．数列{a}满足2a ＝a＋a ，且a，a 是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，则a 的
n n＋1 n n＋2 4 4 040 2 022
值为( )
A．4 B．－4 C．4 040 D．－4 040
2．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令a ＝(n∈N*)，记数列{a}的前n项和为S ，则S
n n n 2 022
等于( )
A.＋1 B.－1
C.－1 D.＋1
3．(2022·衡水模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，若a ＝－a ，且a ＝1，a ＝2，则S
n n n＋2 n 1 2 2 023
等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．(2022·长沙质检)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于 1640年提出了F ＝
n
＋1(n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 F ＝
5
641×6 700 417，不是质数．现设a ＝log (F －1)(n＝1，2，…)，S 表示数列{a}的前n项和，
n 4 n n n
若32S＝63a，则n等于( )
n n
A．5 B．6 C．7 D．8
5．(2022·西南四省名校大联考)数列{a}的前n项和为S ，且a ＋3a ＋…＋3n－1a ＝n·3n，若
n n 1 2 n
对任意n∈N*，S≥(－1)nnλ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
n
A．[－3,4] B．[－2，2]
C．[－5,5] D．[－2－2,2＋2]
6．“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，数学中的螺旋线可以形象的展示“内
卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便
是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示．如图(2)所示阴影部分也是
一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形 ABCD的边长为4，取正方形
ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边
的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，以此方法一直继续下去，就可以得到阴
影部分的图案．设正方形ABCD边长为a ，后续各正方形边长依次为a ，a ，…，a ，…；
1 2 3 n
如图(2)阴影部分，设Rt△AEH的面积为b ，后续各直角三角形面积依次为b ，b ，…，
1 2 3
b，….下列说法错误的是( )
nA．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为
B．a＝4×n－1
n
C．使得不等式b>成立的n的最大值为4
n
D．数列{b}的前n项和S<4
n n
二、多项选择题
7．已知F是椭圆＋＝1的右焦点，椭圆上至少有 21个不同的点P(i＝1,2,3，…)，|FP|，|
i 1
FP|，|FP|，…组成公差为d(d>0)的等差数列，则( )
2 3
A．该椭圆的焦距为6 B．|FP|的最小值为2
1
C．d的值可以为 D．d的值可以为
8.如图，已知四边形ABCD中，F(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AF 交BD于G ，点
n n n
G(n∈N*)满足GnFn＋2(1＋a)GnC＝a GnB，其中数列{a}是首项为1的正项数列，S 是数
n n n＋1 n n
列{a}的前n项和，则下列结论正确的是( )
n
A．a＝13
3
B．数列{3＋a}是等比数列
n
C．a＝4n－3
n
D．S＝2n＋1－3n
n
三、填空题
9．在数列{a}中，a ＝3，对任意m，n∈N*，都有a ＝a ＋a ，若a ＋a ＋a ＋…＋a＝
n 1 m＋n m n 1 2 3 k
135，则k＝________.
10．已知数列{a}满足a ＝n2＋λn，n∈N*，若数列{a}是单调递增数列，则λ的取值范围是
n n n
________．
11．已知函数f(n)＝且a＝f(n)＋f(n＋1)，则a＋a＋a＋…＋a＝________.
n 1 2 3 8
12．(2022·聊城质检)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相
邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一
行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2，…，则第5行从左数起
第6个数的值为________．用A 表示第n行所有项的乘积，若数列{B}满足B ＝log A ，则
n n n 2 n
数列{B}的通项公式为______________．
n四、解答题
13．(2022·烟台模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S，a＝9，S＝15.
n n 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)保持数列{a}中各项先后顺序不变，在a 与a (k＝1,2，…)之间插入2k个1，使它们和原
n k k＋1
数列的项构成一个新的数列{b}，记{b}的前n项和为T，求T 的值．
n n n 100
14．(2022·长沙质检)已知{a}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S ，a ＝2，且a ，
n n 1 2
a，a 成等比数列．
4 8
(1)求a 和S；
n n
(2)若 ＋，数列{b}的前n项和为T ，且T≥对任意的n∈N*恒成立，求实数m的取
n n n
值范围．
