考点14等差数列与等比数列（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习

考点 14 等差数列与等比数列（核心考点讲与练） 一、等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列. 数学语言表达式：a －a＝d(n∈N ，d为常数). n＋1 n + (2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{a}的首项是a，公差是d，则其通项公式为a＝a ＋ ( n － 1 ) d. n 1 n 1 (2)前n项和公式：S＝na ＋ ＝ . n 1 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N ). n m + (2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则a ＋ a ＝ a ＋ a. n + k l m n (3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N )是公差为md 的等差数列. n k k＋m k＋2m + (4)若S 为等差数列{a}的前n项和，则数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列. n n m 2m m 3m 2m (5)若S 为等差数列{a}的前n项和，则数列也为等差数列. n n 二、等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比 数列. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝ ± . 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为a＝a q n － 1 ； n 1 n 1 通项公式的推广：a＝a qn－m. n m (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S＝na；当q≠1时，S＝＝. n 1 n3.等比数列的性质 已知{a}是等比数列，S 是数列{a}的前n项和. n n n (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则有a·a＝a · a . + k l m n (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a， k a ，a ，…仍是等比数列，公比为 q m . k＋m k＋2m (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S，S －S，S －S ，…仍成等比数列，其公比为 q n . n 2n n 3n 2n 1.等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a－a 为同一常数； n n－1 (2)等差中项法：验证2a ＝a＋a (n≥3，n∈N*)都成立； n－1 n n－2 (3)通项公式法：验证a＝pn＋q； n (4)前n项和公式法：验证S＝An2＋Bn. n 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列． 2.等比数列的判断方法有： (1)定义法：若 ＝q(q为非零常数)或 ＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N )，则{a}是等比数列． ＋ n (2)中项公式法：在数列{a}中，a≠0且a ＝a·a (n∈N*)，则数列{a}是等比数列． n n n n＋2 n (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a}是等比数列． n n 注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列． 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*)． n m (2)若{a}为等差数列，且m＋n＝p＋q， n 则a ＋ a ＝ a ＋ a(m，n，p，q∈N*)． m n p q (3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列． n k k＋m k＋2m (4)数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列． m 2m m 3m 2m (5)S ＝(2n－1)a. 2n－1 n (6)若n为偶数，则S －S ＝ ； 偶 奇 若n为奇数，则S －S ＝a (中间项)． 奇 偶 中 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a＝a · q n － m ，(n，m∈N )． n m ＋ (2)若{a}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则a · a ＝ a · a . n ＋ k l m n (3)若{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则{λa}(λ≠0)， ，{a }，{a·b}， 仍是等比数列． n n n n n (4)公比不为－1的等比数列{a}的前n项和为S，则S，S －S，S －S 仍成等比数列，其公比为 q n . n n n 2n n 3n 2n 5.等差数列的前n项和公式 若已知首项a 和末项a，则S＝ ，或等差数列{a}的首项是a，公差是d，则其前n项和公式为S 1 n n n 1 n ＝na＋ d. 1 6.等比数列的前n项和公式 等比数列{a}的公比为q(q≠0)，其前n项和为S， n n 当q＝1时，S＝na； n 1 当q≠1时，S＝ ＝ . n 等差数列及其前n项和 一、解答题 a  n T a T 1(nN*) 1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知数列 n 前 项积为 n，且 n n ．  1    (1)求证：数列 1a  为等差数列； n 1 (2)设S T2T2T 2，求证：S n a n1  2 ． n 1 2 n 1 1  1(n2) 【分析】（1）由已知得T 1a ，T 1a (n2)，两式相除整理得1a 1a ，从而可 n n n1 n1 n n1 证得结论，n 1 1 1 1 （2）由（1）可得 a n  n1，则 T n  n1，从而 S n T 1 2T 2 2  T n 2  22  32    (n1)2 ，然后利用放 缩法可证得结论 1 (1)因为a T 1，所以T n 1a n a 1  2 ， n n T 1a (n2) 所以 n1 n1 ， 1a a  n (n2) 两式相除，得 n 1a ， n1 1 1 整理得，  1(n2)． 1a 1a n n1  1    所以数列 1a  为以2为首项公差为1的等差数列． n 1 1 a  , 2 (2)因为a T 1，所以 1 2 1a ， n n 1 1 n 2n1 a  由（1）知，1a ，故 n n1， n 1 2 n 1 所以T a a a     ． n 1 2 n 2 3 n1 n1 1 1 1 所以S n T 1 2T 2 2  T n 2  22  32    (n1)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1              ． 23 34 (n1)(n2) 2 3 3 4 n1 n2 2 n2 1 n1 1 1 1 又因为a      ， n1 2 n2 2 2 n2 1 所以S a  ． n n1 2 S n 1 2．（2022·山西·二模（理））已知数列a n 的前n项和为S n ，若a 2 4， n n  2 a n ． a  (1)求证：数列 n 是等差数列； b  (2)从下面两个条件中选一个，求数列 n 的前n项的和 T ．b  a 11 ① n n ； b a a a a ② n 2n1 2n 2n 2n1． S n 1 1  n1 n n  a S n1  a 1 a  a 1 【分析】（1）根据 n 2 n可得 n1 2 n1 ，相减可得 2 n1 2 n ，再得到 n n1 a  a 1，再次相减即可证明结论； 2 n2 2 n1 （2）若选①，则讨论n的取值范围，分段求得结果； b a a a a b a (a a ) 若选②，将 n 2n1 2n 2n 2n1化为 n 2n 2n1 2n1 ，利用（1）的结果，结合等差数列的前n项和公 式求得答案． S n 1 1  n  a S n a 1 (1)证明：因为 n 2 n，所以 n 2 n ， 1  S n1  a 1 则 n1 2 n1 ， n1 n 两式相减得 a  a 1， 2 n1 2 n n n1 所以 a  a 1， 2 n2 2 n1 a a 2a 以上两式相减得 n n2 n1， a  所以数列 n 是等差数列． S n 1 (2) n n  2 a n 中令 n1 得a 2，又a 4， 1 2 a  d a a 2 所以等差数列 n 的公差 2 1 ， a 22n12n S nn1 所以 n ， n ， 若选①： 若 n5 ， b n 11a n，则 T n 11a 1 11a 2   11a n 11nS n11nnn1n210n ； T 11a 11a  11a a 11 a 11 若 n6 ， n 1 2  5 6  n S 2S 1110nn210n50 n 5 ，  n210n,n5 T  所以 n n210n50,n6； 若选②： T aa a a a a a a  a a a a n 1 2 2 3 3 4 4 5  2n1 2n 2n 2n1 a a a a a a  a a a  2 1 3 4 3 5  2n 2n1 2n1 4a a  a  2 4  2n a a 44n 4 2 2n n4 n8n28n． 2 2 a  a 2 n S a a 32n 3．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知数列 n 满足 1 ，前 项的和 n，且 n1 n . a ,a a  (1)写出 2 3，并求出数列 n 的通项公式； b log a a  b log S  (2)在① n 2 n n1 ；② n 2 n 这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若 b  b  数列 n 满足___________，求实数  使得数列 n 是等差数列. （注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分） a 4 a 8 a 2n 【答案】(1) 2 ， 3 ， n (2)若选①，0；若选②，2. a ,a a 2n a 2n 【分析】（1）根据递推关系可求得 2 3，可猜想得到 n ；利用数学归纳法可证得 n ； b b 2b 22n11522n2  （2）若选条件①，由 n1 n1 n可整理得到 ，由此可得 ； b b 2b 522n 22n2  若选条件②，由 n1 n1 n可整理得到 ，由此可得 .a a 32n a 32a 4 a 32248 (1)由 n1 n 得： 2 1 ； 3 ； a 2n 猜想可得： n ； n1 a 2 a 2n 当 时， 1 满足 n ； nk a 2k 假设当 时， k 成立， a 32k a 32k 2k 2k312k1 nk1 则当 时， k1 k 成立， nN a 2n 综上所述：当 时， n . (2) b log  2n2n1  log  22n1  若选条件①， n 2 2 ， b  b b 2b 若 n 为等差数列，则 n1 n1 n， log  22n3  log  22n1  2log  22n1  即 2 2 2 ，   22n3    22n1    22n1 2  22n322n1 22n2 ，整理得： ， 22n11522n2 158 0 即 ， ，解得： ， b  则存在实数0 ，使得 n 为等差数列； 2  12n 若选条件②， S n  12 2n12 ，b n log 2  2n12  ， b  b b 2b 若 n 为等差数列，则 n1 n1 n， log  2n22  log  2n2  2log  2n12  2 2 2 ，   2n22    2n2    2n12 2  2n22n22n22 ，整理得： ， 522n 22n2 5242 2 即 ， ，解得： ，b  则存在实数 2 ，使得 n 为等差数列. S a  n a a 10 S 0 4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记 n为等差数列 n 的前 项和，已知 1 3 ， 8 ． a  (1)求 n 的通项公式； S S (2)求 n，并求 n的最大值． a 92n S n28n S  16 【答案】(1) n (2) n ， n max a,d a 【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式直接构造方程组求得 1 ，由此可得 n； S S （2）利用等差数列求和公式可求得 n，利用 n的二次函数性可求得最大值. a  (1)设等差数列 n 的公差为d， a a 2a 2d 10  1 3 1  87 a 7 1 则  S 8 8a 1  2 d 0 ，解得： d 2 ， a n 72n192n . n(7+9-2n) S = =-n2+8n (2)由（1）得： n 2 ， 8 则当n 4时，S  S 163216. 2 n max 4 等比数列及其前n项和 一、单选题 1．（2021·安徽池州·一模（理））已知数列 a n  为等比数列，其前 n 项和为 S n，且 S n 5na ，则 a （ ） A．5 B．5 C．1 D．1 【答案】C a  a 5a a n2 a 【分析】求出数列 n 的通项公式，利用 1 满足 n在 时的表达式可求得实数 的值.a S 5a n1 【详解】当 时， 1 1 ； a S S   5na    5n1a  45n1 当 n2 时， n n n1 . 因为数列 a n  为等比数列，则 a 1 5a450 4 ，解得 a1 . 故选：C. 二、多选题 1 2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 a n  满足a n1 2a n 13a n m， a n  2 ，则下列说法正确的有 （ ） 1 3n1 a  a  A．若m12， a 1 1 ，则a 3 5 B．若m0， 1 2，则 n 3n11 a 3  n  m 1 a  7  n C．若 m12 ，a 1 2，3，则 a n 2 是等比数列D．若 2 ，a 1 1，则 n 6 6 【答案】BC 1 1 1  1  1 【分析】A选项由递推关系计算可判断；B选项，递推关系变形为a 3a  ，构造一个等比数列 n1 n  1  a 3 3 a 3  1 n1   n a  ，可求出通项公式，从而判断；C选项由递推关系变形出a 2 7 a 2，从而得到判断；D n n1 n    1    选项，递推关系变形得出 1 是等比数列，从而求得通项公式进行判断． a    n 2 3a 12 a  n 【详解】A选项：若m12，则 a n1 2a n 13a n 12 ，即 n1 2a n 1 . 312 912 21 又a 1，则a 2  3 3，a 3  61  5 ，故A错误. 1 3a a  n B选项：若m0，则 a n1 2a n 13a n，即 n1 2a n 1，1 2 1 1 1 1  1 1   1  1 a  1211 即a n1 3 3a n ，则a n1 3a n  .又 1 2 ，则a 1 ，   1 1   1 1 1   1  n1 所以 a n  是首项为1，公比为 3 的等比数列，则a n 3 ， 1 1 n1 13n1 3n1   1 a  即a 3 3n1 ，即 n 3n11 ，故B正确. n 3a 12 a  n C选项：若m12，则 a n1 2a n 13a n 12 ，即 n1 2a n 1 ， 3a 12 n 3 a 3 2a 1 3a 1232a 1 n1  n  n n  则 a 2 3a 12 3a 1222a 1 3a 9 3 a 3， n1 n 2 n n n   n  2a 1 7a 14 7 a 2 n n n a 3  n   3 所以 a n 2 是公比为 7 的等比数列，故C正确. 1 1 1 3a  3a  a  D选项：若 m 1 ，则a  n 2 ，则a  1  n 2 n 2  2a n 1 ， 2 n1 2a 1 n1 2 2a 1 2a 1 n n n 1 2a 12 2 1  1  n 1 1 a   则 1 2a 1 2a 1 1 n 2， a  n n a  n1 2 n 2 1 1 1  1 2 1 1 1 即a  a  .又 ，则a  ， n1 2 n 2 a 1 1 2 1    1  1   n1 所以 1 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 1 ， a   a   n 2 n 2 1 1 1 1 即a   ，即a   ，故D错误， n 2 n1 n n1 2 故选：BC. 三、解答题 a  S S 12 a a a  m,nN* 3．（2022·江西·二模（文））已知正项数列 n 的前n项和为 n， 2 ，且 mn m n ．a  (1)求 n 的通项公式； b na b  T (2)若 n n，求数列 n 的前n项和 n． 2n13n13 T  【答案】(1)a 3n (2) n 4 n a n1 3 【分析】（1）令mn1，可知 a 2 a 1 2 ，结合 S 2 12 ，可求得a 1 ，a 2 ，再令m1，可得 a n ，即可 求解； b n3n （2）由（1）可得 n ，利用错位相减法求解即可. mn1 a a2 S a a 12 (1)由题，令 ，得 2 1 ，又 2 1 2 ， a 3 a 4 a 9 解得 1 或 1 （舍去）， 2 ， a 令 ，得 ，所以 n1 3， m1 a aa a n1 1 n n a  所以 n 是以3为首项，3为公比的等比数列， a 3n 所以 n . b na n3n (2)由（1）可得， n n ， T 131232333 n3n 所以 n  ， 3T 132233334 n3n1 所以 n  ， 2T 313233 3nn3n1 两式相减得， n  3  13n 2T  n3n1 即 n 13 ， 12n3n13 2T  所以 n 2 ，2n13n13 T  所以 n 4 . {a } n S a 1 a 2 a 7 4．（2022·河南·二模（理））已知数列 n 的前 项和为 n， 1 ， 2 ， 3 ，且满足： S S n2 n 3 S S ，其中nN*且n1. n1 n1 a a (1)求 n1 n. {(1)na } n T (2)求数列 n 的前 项和 n. (3)n134n T  【答案】(1) a n1 a n 3n (2) n 16 S S b b n2 n 3 n1 3 2 3 【分析】（1）设b a a ，由S S 得 b ，又b ，再按照等比数列通项公式求解即可； n n1 n n1 n1 n 1 c 1na c c 3n c （2）设 n n，由 n1 n ，通过累加法求得 n，再通过分组求和及等比数列的求和公式求 T n 即可. S S a a b n2 n 3 n2 n1 3 n1 3 (1)记b a a ，当n1时，由S S 得， a a ，即 b . n n1 n n1 n1 n1 n n b 2 3 又因为a 1，a 2，a 7，所以b 3，b 9，即b . 1 2 3 1 2 1 {b } {a a } 故数列 n 是以3为首项，3为公比的等比数列，即数列 n1 n 是等比数列. a a 3n 则 n1 n . 1n1a 1na 1n1 3n 3n (2)由（1）知 n1 n . c 1na c c 3n 记 n n，故 n1 n ， 当n2时，c c c c c ....c c c 332 ...3n11 n n n1 n1 n2 2 1 1   3n 1 c  即 n 4 . 3n 1 c  而c a 1也满足，故对nN*，均有 n 4 . 1 1 1 n 3n1 34n T  31 32 ...3n  从而 n 4  4 16 . 5．（2022·重庆·二模）设 S n为数列 a n  的前 n 项和，已知 a n 0 ， a n 22a n 4S n 3  nN .若数列 b n  满 b 2 b 4 b2 bb  nN 足 1 ， 2 ， n1 n n2 . a  b  (1)求数列 n 和 n 的通项公式；  1 ,  n2k1,kN  (2)设 c n  S n ，求数列 的前 项的和 .   b n ,  n2k,kN c n  2n T 2n n 4n14 T   【答案】(1) a n 2n1 ， b n 2n (2) 2n 2n1 3 a S S a  b2 bb b  【分析】（1）根据 n n n1求解 n 的通项，根据 n1 n n2，可得 n 为等比数列，求解计算即可； （2）根据通项采用分组求和即可. a 0 a22a 4S 3 (1)由 n ， n n n ①，得： 当 n1 时， a 1 22a 1 30 ,解得 a 1 3 或 a 1 1 （负值舍去）， n2 a2 2a 4S 3 当 时， n1 n1 n1 ②， ①② 得： a n a n1 a n a n1 2a n a n1  ， a a 2 a  所以 n n1 ，所以数列 n 是以3为首项，2为公差的等差数列.a 2n1  nN* 所以 n . b  b 2 b 4 b2 bb 因为数列 n 满足 1 ， 2 ， n1 n n2. b  所以数列 n 是等比数列，首项为2，公比为2. b 2n 所以 n . n32n1 (2)因为 a n 2n1  nN* ，所以 S n  2 n22nnn2 ， 1 1 1 1 T     222422n 所以 2n 13 35 57 2n12n1 1 1 1 1 1 1  1 1  4  14n  1         2 3 3 5 5 7 2n1 2n1 14 1 1  4  14n  1  2 2n1 14 n 4n14   2n1 3 . 1. （2020年新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石 板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比 上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三 层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块【答案】C 【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 . 【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环， 则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ， 设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为 ，因为下层比中层多729块， 所以 ， 即 即 ，解得 ， 所以 . 故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 2. （2019年新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】利用方程思想列出关于 的方程组，求出 ，再利用通项公式即可求得 的值． 【详解】设正数的等比数列{a}的公比为 ，则 ， n 解得 ， ，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 3. （2021年全国高考甲卷） 已知数列{a}的各项为正数，记S 为{a}的前n项和，从下面①②③中选取两 n n n 个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{a}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a＝3a. n 2 1 【分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前 项和公式证明结论即可． 【详解】解：选择①③为条件，②结论． 证明过程如下： 由题意可得： ， ， 数列的前 项和： ， 故 ， 据此可得数列 是等差数列． 选择①②为条件，③结论： 设数列 的公差为 ，则： ， 数列 为等差数列，则： ， 即： ，整理可得： ， ． 选择③②为条件，①结论： 由题意可得： ， ， 则数列 的公差为 ， 通项公式为： ， 据此可得，当 时， ， 当 时上式也成立，故数列的通项公式为： ，由 ，可知数列 是等差数列． 一、单选题 1.（2022·北京·模拟预测）已知公差不为零的等差数列 ，首项 ，若 ， ， 成等比数列， 记 （ ，），则数列 （ ） A. 有最小项，无最大项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，无最小项 D. 有最大项，有最小项 【答案】D 【分析】根据等差数列、等比中项可求出公差，得出通项公式，由 的项的特点求解即可. 【详解】设 的公差为 ， 则 ， 解得 ， ， 当 时，有最小值，当 时有最大值. 故选：D 2.（2022·福建漳州·二模）已知 是数列 的前n项和， ， ， ，记 且 ，则 （ ） A. 171 B. 278 C. 351 D. 395 【答案】C【分析】通过 得出数列 隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算 得出答案. 【详解】由 ， ， 是首项为1，公差为2的等差数列， 是首项为2，公差为2的等差数列， 是首项为3，公差为2的等差数列， . 故选：C. 3.（2022·福建龙岩·一模）已知函数 ，记等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ） A. B. C. 2022 D. 4044 【答案】A 【分析】先判断函数 是奇函数，再求出 ，再利用等差数列的前 项和公式得解. 【详解】解：因为 是奇函数， 因为 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 .故选：A 二、多选题 4.（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例 如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确 的是（ ） A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级 B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍 D. 记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为a，则数列{a}是等比数列 n n 【答案】ACD 【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A：当 时，由题意得 ， 解得 ，即地震里氏震级约为七级，故A正确； 对于B：八级地震即 时， ，解得 ， 所以 ， 所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 倍，故B错误； 对于C：六级地震即 时， ，解得 ， 所以 ， 即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确； 对于D：由题意得 （n=1，2，···，9，10）， 所以 ，所以 所以 ，即数列{a}是等比数列，故D正确； n 故选：ACD 5.（2022·海南·模拟预测） “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为 ，将其外观描述为“ 个 ”，则第二项为 ；将 描述为“ 个 ”， 则第三项为 ；将 描述为“ 个 ， 个 ”，则第四项为 ；将 1描述为“ 个 ， 个 ， 个 ”，则第五项为 ， ，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依 次推出数列后面的项．则对于外观数列 ，下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则从 开始出现数字 B. 若 ，则 的最后一个数字均为 C. 不可能为等差数列或等比数列 D. 若 ，则 均不包含数字 【答案】BD 【分析】求出 ，可判断A选项；分 、 两种情况讨论，逐项递推可判断B选项；取 可 判断C选项；利用假设法可判断D选项. 【详解】对于A， ，即“ 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”，故 ，A错； 对于B，若 ，即“ 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”， ， ， 以此类推可知， 的最后一个数字均为 ， 若 ，则 ， ， ， ，以此类推可知， 的最后一个数字均为 . 综上所述，若 ，则 的最后一个数字均为 ，B对； 对于C，取 ，则 ，此时数列 既是等差数列，又是等比数列，C错；对于D， ，则 ， ， ， ， 若数列 中， 中为第一次出现数字 ，则 中必出现了 个连续的相同数字， 如 ，则在 的描述中必包含“ 个 ， 个 ”， 即 ，显然 的描述是不合乎要求的， 若 或 ，同理可知均不合乎题意， 故 不包含数字 ，D对. 故选：BD. 6.（2022·福建龙岩·一模）已知数列 的前n项和为 ， ， 则下列 选项正确的是（ ） A. 数列 的奇数项构成的数列是等差数列B. 数列 的偶数项构成的数列是等比数列 C. D. 【答案】BC 【分析】根据 ， ，进行递推得到数列的规律逐项判断. 【详解】因为 ， ， 所以 , ， ， , ， , ， ，， ， ， ， 可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列， 奇数项不是等差数列， ， ， ， ， ， 故选：BC. 7.（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，则（ ） A. B. 当 时， 最小 C. 当 时， 最小 D. 存在 ，使得 【答案】AC 【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断. 【详解】对A，∵ ， ，∴ ，又 ， ， ∴ ， 故A正确. 对B，C，由等比数列的性质， ，故 ， ，∵ ， ∴ ，∵ ， ， ，∴ ， ， ∴ ，故当 时， 最小，B错误，C正确； 对D，当 时， ，故 ，故D错误. 故选：AC 8.（2022·湖北·一模）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA 平面ABC，P为平面ABC内 部一动点（包括边界）.若SA= ，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为 ，点P 到AB，AC，BC的距离分别为 ，那么（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 若 成等差数列，则 为定值 D. 若 成等比数列，则 为定值 【答案】BCD 【 分 析 】 由 等 面 积 法 计 算 判 断 选 项 AB ， 由 等 体 积 法 计算，并结合等差中项与等比中项的性质，判断选项CD. 【 详 解 】 如 图 ， 作 ， 由 题 意 ， 根 据 等 面 积 法 可 得 ，即 ，得 ，所以为 定 值 ， B 正 确 ； 因 为 SA 平 面 ABC ， 所 以 ， 又 因 为 ， ，所以 平面 ， 平面 ，设点 到平面 的距离为 ，由等体积法可知， ， 即 ，得 ， 因为 ，若 成等差数列， 即 ，所以 为定值，C正确；若 成等比数列，即 ， 所以 为定值，D正确； 故选：BCD 【点睛】一般关于三棱锥体积计算一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离，代入棱锥的体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高或者分为多个小三棱锥的 和计算； 三、填空题 9.（2022·河北唐山·一模） 记 是公差不为 的等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ________. 【答案】 ## 【分析】利用 表示出已知的等量关系，解方程组求得 后，利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列 的公差为 ， 由 得： ，解得： ， . 故答案为： . 四、解答题 10.（2021辽宁省盘锦市高级中学高三上学期9月月考）. 已知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 其前 项和为 . （1）若 成等差数列，求 的值； （2）若 的前 项和为 ，求 的最值. 【答案】（1） ；（2） 最小值为 ，无最大值. 【分析】（1）由等比数列通项和求和公式可求得 ；由等差数列定义可构造方程求得 ； （2）由（1）可得 ，采用分组求和可求得 ；根据 可确定 的单调性， 由此可得最值.【详解】（1） 是首项为 ，公比为 的等比数列， ， ； 成等差数列，即 ， ， 解得： ； （2）由（1）知： ， ， ， 当 时， ；当 时， ；当 时， ； 当 或 时， 取得最小值，即 ； 当 时， ，则 无最大值. 11.（2022江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）设公比 的等比数列 满足： ，且 是 与 的等差中项. （1）求数列 通项公式；（2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ， ；（2） . 【分析】（1）、利用等差中项的相关性质构建等式，结合题目已知条件即可求出 ，再利用 构造关于 的等式求出 ，最后写出数列 通项公式； （2）、由（1）可求出数列 的通项公式，求出前 项和 .【详解】解：（1）∵ ，∴ ，∵ 是 与 的等差中项，∴ 即 . ∴ 即 或 ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ， ； （2）由（1）可知 ， 数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，∴ . 12（2021广东省深圳市横岗高级中学高三第一次月考） 已知数列 的前 项和 满足 ， ，且 ． （1）求证：数列 是常数列； （2）求数列 的通项公式．若数列 通项公式 ，将数列 与 的公共项按从小到大 的顺序排列得到数列 ，求 的前 项和． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】（1）根据 与 的关系式得到 ，然后证明 即可； （2）根据（1）求出数列 的通项公式，然后根据数列 与 的通项公式得到新数列 是以1 为首项，以6为公差的等差数列，从而根据等差数列的前 项和公式求 的前 项和． 【详解】（1）证明：由 ，得 ，将上述两式相减，得 ，即 ． ， 则 ， 数列 是常数列； （2）由（1）可知，当 时， ， ，检验当 时， 也适用， ， 数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 又数列 是以1为首项，以3为公差的等差数列， 这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 的前 项和为 ．