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专题 14 锐角三角形函数及应用之六大题型
网格里求正弦、余弦、正切值
例题：（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在 的正方形网格中，
的顶点都在格点上，则 的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小
正方形的边长均为1，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2．（2023上·河南新乡·九年级统考期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，
的顶点A、B、C都在格点上，则 的正切值为 ．
特殊角的三角函数值
例题：（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）计算： ．
2．（2023上·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）计算：
(1) ．
(2) ．
解非直角三角形
例题：（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，
，则 的长为（ ）A． B． C．4 D．5
【变式训练】
1．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图， 是 的中线，
求：
(1) 的长；
(2) 的正弦值．
2．（2023上·江苏·九年级统考期末）已知 中， ．
(1)如图1，若 ，则 ________（结果保留根号）
(2)如图2，若 ，求AC的长．（结果保留根号）坡度坡比问题
例题：（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）如图，河提横断面迎水坡 的坡比（坡比也叫坡度，
指点B向水平面做垂线 ，垂足为C， ）是 ，河提的高 米，则坡面
的长度是 米．
【变式训练】
1．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）如图，一幢居民楼 临近斜坡 ，斜坡 的坡度为
，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为 ，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，
测得楼顶M的仰角刚好为 ，点N、A、B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保
留根号）．
2．（2023上·广西柳州·九年级统考期末）如图，某地下车库的入口处有斜坡 ，它的坡度为
，斜坡 的长为 ，斜坡的高度为 ，为了让行车更安全，现将斜坡的
坡角改造为 （图中的 ）．
(1)求车库的高度 ；
(2)求点 与点 之间的距离（结果精确到 ，参考数据： ， ，．
方位角问题、仰角俯角问题
例题：（2023下·重庆九龙坡·八年级统考期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航
系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供
高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导
航显示车辆应沿北偏西 方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达风景区
C，小敏发现风景区C在A地的北偏东 方向．
(1)求 的度数；
(2)求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号）
【变式训练】
1．（2023下·重庆丰都·八年级统考期末）在奥林匹克运动的故乡古希腊，奥林匹亚阿尔菲斯河岸
的岩壁上保留着古希腊人的一段格言：“如果你想聪明，跑步吧！如果你想强壮，跑步吧！如果你
想健康，跑步吧！”古人对聪明、强壮、健康的奔跑追求，至今仍然在爱跑步的人群中得到传承．
跑步已经成为一种大众化运动，越来越多的人从跑步中受益．如图，四边形 是一个环湖公园
的步行道， ，B在A正东方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东
方向．(1)求 的长度（结果保留根号）；
(2)小强和小刚同时从A出发，小强沿A→D→C方向跑，小刚沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，
问谁先到达终点C？（参考数据： ， ）
2．（2023下·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）某工厂的平面示意图如下，四边形
为厂房区域，三角形广场 紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向， 米，
点B，C在点E的正东方向， 米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向
且在点C的北偏西45°方向．（参考数据： ，
(1)求 的长度（结果精确到个位）；
(2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房 四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降
噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够．构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
例题：（2022上·上海虹口·九年级统考期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构
成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托
板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当 ， 时，求托板顶点A到底座
CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据： ， ，
， ， ）
【变式训练】
1．（2021上·江苏无锡·九年级统考期末）江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装
路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，
路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为
∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝ ．
（1）求路灯B到地面的距离；
（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．2．（2023下·河南安阳·八年级统考期末）如图，学校操场边有一块四边形空地 ，其中
， ， ， ．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划
将这块四边形空地进行绿化整理．
(1)求证： ．
(2)求需要绿化的空地 的面积．
一、单选题
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若锐角 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023下·四川绵阳·八年级统考期末）在 中， ， ， ，则 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图， 的三个顶点都在正方形网格
的格点上，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）直角三角形纸片 ，两直角边 ， ，现将
纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为 ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来
确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱
根部与圭表的冬至线之间的距离（即 的长）为 ．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射
角 约为 ，则光线 长约为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
6．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若 为锐角，且 ， ．
7．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）如图，斜坡坡面 的坡比 ，坡面 米，
则水平宽度 的长为 米．
8．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在 内，连接 ，在
中，如果存在一个三角形与 相似，那么就称点P为 的自相似点，
如图，在直角 中， ，如果点P为直角 的自相似点，那么
．
9．（2023下·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，
若点A在反比例函数 图像上，则经过点B的反比例函数表达式为 ．
10．（2023上·山西运城·九年级统考期末）如图，在 中， ，点D是 的中
点，连接 ，过点D作 交 于点E，若 ， ，则 的长为 ．三、解答题
10．（2023上·安徽滁州·九年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）如图，某商场大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的
长为18米，求大厅两层之间的距离BC的长．（精确到0.1米）（参考数据： ，
， ）
13．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由
A处运往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后立即开始卸货，这时接到气象部
门的通知，一台风中心正以40海里/小时的速度由A向北偏西 方向移动，距台风中心200海里
的圆形区域（包括边界）都会受到影响．(1)问B处是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（参考数据： ， ）
14．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换
乘，准备在底层至 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与 层平行，层高 为9米， 、
间的距离为6米， ．
(1)请问身高 米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在 处会不会碰到头部？请说明理由．
(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台 ，且 段和 段的坡度 ，
求平台 的长度．（参考数据： ， ， ）
15．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．
她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车
侧面示意图，其中矩形 表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖 可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为 时，箱盖 落在 的位置的示意图；王红测得
厘米， 厘米， 厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
(1)求点 到 的距离；
(2)求点E运动的距离．
