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专题13 等差数列和等比数列的计算和性质
【练基础】
一、 单选题
1．（2021秋·广东深圳·高三深圳市龙华中学校考阶段练习）记 为等差数列 的前n项和．已知
，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ，排除B，
对C， ，排除C．对D， ，排
除D，故选A．
【详解】由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项
公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
2．（2021·云南·统考二模）已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前 项和公式，得出结论．
【详解】∵ ，∴ ，
故选：A
3．（2022秋·福建莆田·高三校考期中）等差数列 的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则 前
6项的和为（ ）
A． B． C．3 D．8
【答案】A
【分析】设等差数列 的公差 ，由 成等比数列求出 ，代入 可得答案.
【详解】设等差数列 的公差 ，
∵等差数列 的首项为1， 成等比数列，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
解得 ，
∴ 前6项的和为 .
故选：A.
4．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，
则 （ ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
【答案】A
【分析】由等差中项的性质及等差数列的定义写出 通项公式，再由 关系求 的通项公式，进而求
.
【详解】由 知： 为等差数列，又 ， ，则公差 ，
所以 ，故 ，
则 ，可得 ，而 也满足，
所以 ，则 .
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确
的是（ ）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
【答案】D
【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得 与 ，进而可得 、 取值同号，即可判断
A、B；
举例首项和公比的值即可判断C；
根据数列的单调性可得 ，进而得到 ，求出 ，即可判断D.
【详解】A：由 ，得 ，即 ，则 、 取值同号，
若 ，则 不是递增数列，故A错误；
B：由 ，得 ，即 ，则 、 取值同号，
若 ，则数列 不是递增数列，故B错误；C：若等比数列 ，公比 ，则 ，
所以数列 为递增数列，但 ，故C错误；
D：由数列 为递增数列，得 ，所以 ，
即 ，所以 ，故D正确.
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出 ，得到 ，利用裂项相消法求和.
【详解】因为 ，
所以 .
所以 前5项和为
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 和 ，且 ，那么
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】设等差数列 、 的公差分别为 、 ,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关
系,可得结论.
【详解】设等差数列 的公差分别为 和
,即
,即 ①
,即 ②
由①②解得
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，
2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是
20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的
激活码是
A．440 B．330
C．220 D．110
【答案】A
【详解】由题意得，数列如下：
则该数列的前 项和为，
要使 ，有 ，此时 ，所以 是第 组等比数列 的部分和，设
，
所以 ，则 ，此时 ，
所以对应满足条件的最小整数 ，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观
察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第
一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． ， ， 成等差数列 D． ， ， 成等差数列
【答案】BCD
【分析】利用等差数列求和公式分别判断.
【详解】由已知得 ，
A选项， ， ， ，所以 ，A选项错误；
B选项， ，B选项正确；
C选项， ， ， ，
， ，则
，C选项正确；
D选项， ， ， ，则 ，
D选项正确；故选：BCD.
10．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列
的前 项和为 ， ，则下列选项正确的为（ ）
A．数列 是等比数列
B．数列 是等差数列
C．数列 的通项公式为
D．
【答案】AC
【分析】由 可得， ，可判断A,B的正误，再求出 ，可判断C的正误，利用裂项相
消法求 ，可判断D的正误.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
即 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故A正确，B错误；
所以 ，即 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，
故D错误；
故选：AC.11．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 的通项公式为
C． 为递增数列 D． 的前n项和
【答案】AD
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
即 ，所以 ，所以 ，
所以 为递减数列，
的前n项和 ．
故选：AD．
12．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 对于
恒成立，若定义 ， ，则以下说法正确的是（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D．存在 使得
【答案】BC
【分析】利用退位相减法可得数列的通项及 即可判断A选项，按照给出的定义求出 即可判断B选项，数学
归纳法和累加法即可判断C、D选项.【详解】当 时， ，
当 时，由 ，得 ，故 ，即 ，
所以数列 为等比数列，首项 ，公比 ，故 ，
A选项错误；
则 ，所以 ，
，B选项正确；
当 时， ，
假设当 时， 成立，
当 时，由 可得
，则
， ， ，
， ，将上式相加可得
，又 ，则 ，故，即 时也成立，
故 ，C选项正确；
D选项，当 时，由 知不成立，
当 时，由C选项知： ，则 ，
， ， ， ，上式相加得
，又由上知， ，则
，可得
，又由 可得 ，
，即 ，
D选项错误；
故选：BC.
【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借
助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.
三、填空题
13．（2022·湖南常德·临澧县第一中学校考一模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列
的公差 _________．
【答案】2
【分析】根据题意可得 ，直接利用等差数列前n项和公式计算即可.【详解】由题意知， ，
，
解得 .
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的各项均为正数，且 ，则
___________.
【答案】
【分析】根据等比数列性质可得 ，再利用对数的运算得解.
【详解】由已知得数列 是各项均为正数的等比数列，
则 ， ，
所以 ，
故答案为： .
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前20项和
为___________.
【答案】330
【分析】分别讨论 为奇数时，数列 的通项公式与 为偶数时，数列 的通项公式，再利用分组求和法
代入求和即可.
【详解】由题意，当 为奇数时， ，
所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列，
所以 ，
当 为偶数时， ，
所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列，所以 ，
，
故答案为：330
16．（2022·全国·高三专题练习）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今
有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九
章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代
数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被 除余 ，被 除余 ，被 除余 ，则在不超过 的正整数
中，所有满足条件的数的和为___________.
【答案】
【分析】找出满足条件的最小整数值为 ，可知满足条件的数形成以 为首项，以 为公差的等差数列，确定
该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】由题意可知，一个数被 除余 ，被 除余 ，被 除余 ，则这个正整数的最小值为 ，
因为 、 、 的最小公倍数为 ，
由题意可知，满足条件的数形成以 为首项，以 为公差的等差数列，
设该数列为 ，则 ，
由 ，可得 ，所以， 的最大值为 ，
所以，满足条件的这些整数之和为 .
故答案为： .
四、解答题
17．（2019·湖北·校联考高考模拟）等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
【答案】（1） 或 .
（2） .
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．详解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ．
由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ．
故 或 ．
（2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ．由 得 ，解得 ．
综上， ．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
(2)由于： ，故：.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有
关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数
列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
【提能力】
一、单选题
21．（2019·湖南长沙·宁乡一中校考模拟预测）（2017新课标全国I理科）记 为等差数列 的前 项和．若
， ，则 的公差为A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【详解】设公差为 ， ， ，联立
解得 ，故选C.
点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列，若 ，则
.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，记等差数列 的前n项和为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C．2022 D．4044
【答案】A
【分析】先判断函数 是奇函数，再求出 ，再利用等差数列的前 项和公式得解.
【详解】解：因为 是奇函数，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：A
23．（2022秋·北京·高三北京八中校考开学考试）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若
则 的值是（ ）A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由等差中项及等比中项的性质求解即可.
【详解】由等差中项的性质可得 ，由等比中项的性质可得 ，因此，
.
故选：B.
24．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免
疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触
过程中传染的概率决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途
径．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个人为第一轮传染，经过一
个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需
要的天数为（参考数据： ， ）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
【答案】B
【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似
解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为 ，
经过n轮传染，总共感染人数为： ，
∵ ，∴当感染人数增加到1000人时， ，化简得 ，由 ，故得 ，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要 天，
故选：B
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有
关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于
运用整体代换思想简化运算过程．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不相等的实数 ， ， 成等比数列，
， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题利用函数 的奇偶性及单调性求得函数 的值域，然后利用均值不等式判断 与 的大小关
系从而进行判断．
【详解】 ， 均为偶函数，
故函数 为偶函数，
，令
，
， ，
，故 单调递增，即 单调递增，
又 ，∴在 恒成立，
故在 函数 递增，且 ，
故函数在 递减，在 递增，
且函数 恒成立，
， ， 成等比数列，
当 ， 均为正数时，由均值不等式有： ，①，
当 ， 均为负数时，
由均值不等式有： ，②，
由①②有： ，
又 ， ， 互不相等，故 ，
故 ，
，
故选：D．
26．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列 的首项是 ，前 项和为 ，且
，设 ，若存在常数 ，使不等式 恒成立，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由数列通项与前 项和的关系得到数列 的递推关系 ，再构造等比数列 ，求数
列 的通项公式，进一步求出数列 的通项公式，从而可求数列 通项公式，代入所求式子 ，
分子、分母同除以 构造基本不等式即可求出 的最大值，从而求出 的范围.
【详解】由 ，则当 时，得 ，两式相减得 ，变形可得： ，
又 ， ，所以 ， ，
∴数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，故 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列 求 的通项公式，即可得 通项公式，再由不等式恒成立，结合
基本不等式求 的最值，即可求参数范围.
27．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列 中， ， ，则数列
的前10项和 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列 的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ，∴ ．
∴ ，
∴数列 的前10项和 ．
故选:C．
28．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）设 是公差 的等差数列，如果 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 ，即可得解.
【详解】由已知可得
.
故选：D.
二、多选题
29．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中
国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列 满足 ，
，则（ ）A． B．
C． D．数列 的前 项和为
【答案】BCD
【分析】直接由递推公式求出 即可判断A选项；分 为奇数或偶数即可判断B选项；分 为奇数或偶数结合累
加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项.
【详解】对于A， ，A错误；
对于B，当 为奇数时， 为偶数，则 ， ，可得 ；
当 为偶数时， 为奇数，则 ， ，可得 ，B正确；
对于C，当 为奇数且 时 ，
累加可得
， 时也符合；
当 为偶数且 时 ，
累加可得
；则 ，C正
确；
对于D，设数列 的前 项和为 ，则 ，
又 ， ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分 为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前 项和，使问题得以解决.
30．（2022·河北·模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数
学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段
，记为第1次操作：再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为
第2次操作： ；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的
区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分析题意发现 是一个等比数列，按照等比数列的性质逐一验证即可，其中B选项是化简成一个等差
数列进行判断，CD两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列，利用做差法验证
单调性.
【详解】由题可知 ， ； ， ； ，
由此可知 ，即一个等比数列；
A： ，A错误；
B： ，因为 ，所以该数列为递减数列，
又因为当 时， ，所以 恒成立，B正确；C： ，即 ，两边约去 得到 ，
当 时， ，原式成立；
当 时， 恒成立，所以 成立，
即 成立，C正确；
D：令 ，再令
，
令 解得 ，因为 ，所以取 ，
由此可知 时 ； 时 ，
故 为最大值， ，根据单调性 ，即 不恒成立，D错误.
故选：BC
31．（2022·全国·高三专题练习）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项
的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列
1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第 次得到数列1， ，2；…记
，数列 的前 项为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第 次得到数列1， ，2 此时
所以 ，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以 ，故B项正确；
由B项分析可知
即 ，故C项错误.
，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们
应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA 平面ABC，P为平面ABC
内部一动点（包括边界）.若SA= ，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为 ，点P到
AB，AC，BC的距离分别为 ，那么（ ）
A． 为定值 B． 为定值
C．若 成等差数列，则 为定值 D．若 成等比数列，则 为定值
【答案】BCD
【分析】由等面积法 计算判断选项AB，由等体积法 计算，
并结合等差中项与等比中项的性质，判断选项CD.
【详解】如图，作 ，由题意，根据等面积法可得 ，即
，得 ，所以 为定值，B正确；因为SA 平面ABC，
所以 ，又因为 ， ，所以 平面 ， 平面
，设点 到平面 的距离为 ，由等体积法可知， ，即
，得 ，因为
，若 成等差数列，即 ，所
以 为定值，C正确；若 成等比数列，即 ，所以为定值，D正确；
故选：BCD
【点睛】一般关于三棱锥体积计算一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的
距离，代入棱锥的体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高或者分为多个小三棱锥的和计算；
三、填空题
33．（2022秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）在正项等比数列 中，若 ，则
______．
【答案】2
【分析】依据等比数列的性质和对数运算规则即可解决．
【详解】 ．
故答案为：2
34．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，设
， ．则 __________．【答案】
【分析】利用配凑法、累加法求得 ，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】依题意 ，
，
所以数列 是首项 ，公比为 的等比数列，
所以 ， .
， 也满足，
所以 ，
，
所以 .
故答案为：
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，等差数列 满足 ，则
__________．
【答案】 ##
【分析】利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】 .
依题意 是等差数列，令 ，
，
结合等差数列的性质，两式相加得 .
故答案为： .
36．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知数列 的前 项和 ，若不等式 ，对
恒成立，则整数 的最大值为______．
【答案】4
【详解】当 时， ，得 ，
当 时， ，
又 ，
两式相减得 ，得 ，
所以 ．
又 ，所以数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即 ．
因为 ，所以不等式 ，等价于 ．
记 ，
时， ．
所以 时，综上， ，
所以 ，所以整数 的最大值为4．
考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．
四、解答题
37．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题
得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，
解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 前n项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求证： ．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得 ， ，两式相除整理得 ，从而可证得结
论，
（2）由（1）可得 ，再利用累乘法求 ，从而 ，然后
利用放缩法可证得结论
（1）
因为 ，所以 ，
所以 ，
两式相除，得 ，整理为 ，
再整理得， ．
所以数列 为以2为首项，公差为1的等差数列．
（2）
因为 ，所以 ，
由（1）知， ，故 ，
所以 ．
所以
．又因为 ，
所以 ．
39．（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前100项的和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用 ，整理可得数列 是等比数列，求其通项公式即可；
（2）求出 ，然后分组求和.
【详解】（1）当 时， ，
整理得 ，
又 ，得
则数列 是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则 ，
（2）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，则
40．（2022秋·山西运城·高三校）已知数列 是等比数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ，并证明： .
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行运算证明即可.
【详解】（1）设等比数列 的公比是q，首项是 .
由 ，可得 .
由 ，可得 ，所以 ，
所以 ；
（2）证明：因为 ，
所以
.
又 ，所以 .
