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专题 6-1 等差数列，等比数列中性质应用（选填）
目录
专题6-1等差数列，等比数列中性质应用（选填）............................................................................1
.....................................................................................1
题型一：等差（等比）数列中项............................................................................................................1
题型二：等差（等比）数列下角标和性质............................................................................................5
题型三：等差（等比）数列单调性问题................................................................................................9
等比数列的单调性..................................................................................................................................13
题型四：等差（等比）数列中最大（小）项......................................................................................16
题型五：等差（等比）数列奇偶项问题..............................................................................................21
题型六：等差（等比）数列片段和性质..............................................................................................26
题型七：两个等差数列前 项和之比问题..........................................................................................31
................................................................36
一、单选题..............................................................................................................................................36
二、多选题..............................................................................................................................................42
三、填空题..............................................................................................................................................44
题型一：等差（等比）数列中项
【典例分析】
例题1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知数列 是等比数列，且 ，
， 成等差数列，则公比 （ ）
A． B． C． D．1
例题2．（2022·江苏省响水中学高二期中）正项等比数列 中， 是 与 的等
差中项，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项利为 ，若 ， ，1成等比数列，且 ，则 的公差 的取值范围为______．
例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正项等差数列 的前 项和为 ，
且 ，若 成等比数列，则等差数列的通项公式 ________．
【提分秘籍】
等差中项
由三个数 ， , 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做 与 的
等差中项.这三个数满足关系式 .
等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比
中项⇔ ， ， 成等比数列⇔
【变式演练】
1．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，
， 成等差数列，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
2．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）已知数列 为等差数列，且 ，3， 成
等比数列，则 为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）已知 ，若3是 与 的等比中
项，则 的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．9
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在正项等比数列 中 成等差数列，则__________．
题型二：等差（等比）数列下角标和性质
【典例分析】
例题1．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ，
若 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
例题2．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）已知正项等差数列 的前 项和
为 ，若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．14 C．28 D．42
例题3．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）记正项递增等比数列 的前 项和为
，若 ，则 __________.
例题4．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）设函数 ，若正项等比数列
满足 ，则 ______．
【提分秘籍】
① ， 则 （ 特 别 的 ， 当 ， 有
）
②若 ，则 ，其中 .特别地，若 ，则
，其中 .
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·哈师大青冈实验中学高三阶段练习）设等差数列 的前 项和为 ，
若 则 （ ）
A．150 B．120 C．75 D．602．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））正项等比数列 中的项 ， 是函
数 的极值点，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）在等比数列 中， ，函
数 ，则 等于（ ）
A．36 B．34 C．38 D．212
4．（2022·全国·高二单元测试）正项递增等比数列 ，前n项的和为 ，若
， ，则 ＝__．
5．（2022·吉林辽源·高二期末）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
， ，则 ______.
题型三：等差（等比）数列单调性问题
【典例分析】
例题1．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ，
若 ，且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为递增数列 B．当且仅当 时， 有最大值
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为无限集
例题2．（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）已知等差数列 的前 项和为
，若 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 取得最大值时， D．例题3．（多选）（2022·河南·高三阶段练习（理））各项均为正数的等比数列 的
前n项积为 ，若 ，公比 ，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ，则必有 B．若 ，则必有 是 中最大的项
C．若 ，则必有 D．若 ，则必有
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 是递增数列，且
， ，则 的取值范围为___________.
5．（2022·江苏南通·高三期中）试写出一个无穷等比数列 ，同时满足① ；②
数列 单调递减；③数列 不具有单调性，则当 时， __________.
【提分秘籍】
若数列 满足对一切正整数 ，都有 （或者 ），则称数列 为递增
数列（递减数列）；
等差数列的单调性
①当 ，等差数列 为递增数列
②当 ，等差数列 为递减数列
③当 ，等差数列 为常数列
等比数列的单调性
已知等比数列 的首项为 ，公比为
（1）当 或 时，等比数列 为递增数列；
（2）当 或 时，等比数列 为递减数列；
（3）当 时，等比数列 为常数列（ ）
（4）当 时，等比数列 为摆动数列.【变式演练】
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）设等比数列 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．32 B．16 C．128 D．64
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为q，且 ，则“ ”是
“ 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
3．（多选）（2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中）已知等比数列 的公比为 ，
前 项积为 ，若 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当且仅当 时， 取得最大值
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{ }的前n项和是 ， ， ，则
数列{| |}中值最小的项为第___项．
5．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高一阶段练习）在等差数列 中，
，则使 成立的最大自然数n为_______
题型四：等差（等比）数列中最大（小）项
【典例分析】
例题1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）设 ，则当数列 的前 项和
取得最小值时， 的值为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的通项公式为
，当且仅当 时，数列 的前 项和 最大.则当 时， ___________.
例题3．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）已知首项为4的数列 满足
．
(1)证明：数列 是等差数列．
(2)求数列 的通项公式，并求数列 的最小项．
【提分秘籍】
①求数列 中最大项方法：当 时，则 是数列最大项；
②求数列 中最小项方法：当 时，则 是数列最小项；
③利用单调性求解
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等差数列 的前 项和，且 ，
，则当 取最大值时， 的值为___________.
2．（2022·全国·高二期末）已知数列 的前 项和为 ，且(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式
(3)求数列 的通项公式，并求出 为何值时， 取得最小值，并说明理由．
3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知数列 对任意 满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求使得 成立的正整数 的最小值．
题型五：等差（等比）数列奇偶项问题
【典例分析】
例题1．（2022·上海·位育中学高二期末）设等差数列的项数 为奇数，则其奇数项之和
与偶数项之和的比为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前10
项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 共有 项，它的所有项的和是奇数项的和的 倍，则公比 ______.
例题4．（2022·江苏·高二课时练习）已知等差数列 中，前 （ 为奇数）项的和
为77，其中偶数项之和为33，且 ，求通项公式．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为
85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2022·上海南汇中学高二期末）在等差数列 中，已知公差 ，且
，则 __________.
3．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 （ ， 是不等于 的
常数）对任意 恒成立，则称 是周期为 ，周期公差为 的“类周期等差数
列”．已知在数列 中， ， ．
(1)求证： 是周期为 的“类周期等差数列”，并求 的值；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 ．
4．（2022·江苏·高二课时练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的
和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．
5．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列 的前n项和为 ．已知 ，
．
(1)求 ；(2)求 ．
题型六：等差（等比）数列片段和性质
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 中其前n项和为 ,
则 为．
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二单元测试）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选
项中正确的有（ ）
A．若数列 的前n项和 （ ， ， 为常数），则数列 为等差数列
B．若数列 的前n项和 ，则数列 为等比数列
C．数列 是等差数列， 为前 项和，则 ， ， ，…仍为等差数列
D．数列 是等比数列， 为前 项和，则 ， ， ，…仍为等比数列
例题4．（2022·全国·高二课时练习）记 为正项等比数列 的前 项和，若
，则 的最小值为__.【提分秘籍】
当 是等差数列 ，记 的前 项和为 ，则 ， ， …也成等差数
列，公差为 .
当 是等比数列 ，记 的前 项和为 ，则 ， ， …也成等比数
列，公差为 .
【变式演练】
1．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）公比 的等比数列的前3项，前6项，前9
项的和分别为 ， ， ，则下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S-2S=5，则
8 4
a+a +a +a 的最小值为（ ）
9 10 11 12
A．10 B．15 C．20 D．25
3．（2022·全国·高二课时练习）设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．4 D．5
4．（2022·上海·高二课时练习）等差数列前10项的和为10，第11项至第20项的和为
，则第21项至第30项的和是_______．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列 的前4项和为32，前8项和为56．
(1)求 、 的值；
(2)通过计算观察，寻找 、 、 、 之间的关系，你发现什么结论？(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．
题型七：两个等差数列前 项和之比问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为
和 ，且 = ，则使得 为整数的正整数 的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例题2．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列 和 ，前 项和分别为 ，
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中）已知两个等差数列 和
的前 项和分别为 和 ，且 = ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为等差数列 ， 的前 项
和， ，设点 是直线 外一点，点 是直线 上一点，且
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
若数列 , 均为等差数列且其前 项和分别为 , ,则【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）设数列 ， 都是正项等比数列， ， 分别为数列
与 的前n项和，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 的前 项和分别为 ，若
对于任意的自然数 ，都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·宿迁中学高二期中）若两个等差数列 的前n项和分别为An、
Bn，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，等差数列 的前
项和为 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知等差数列 、 ，其前 项和分别为
、 ， ，则
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若，则 ______．
一、单选题
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知在等比数列 中，
，等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．96 B．102 C．118 D．126
2．（2022·山东济宁·高三期中）设等差数列 的前 项的和为 ，则
下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列 的前 和为
3．（2022·广西玉林·高三阶段练习（理））设等比数列 的公比为q，其前n项和为
，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 的最大值为
4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知数列 的前 项和组成的数列 满足
， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 且
，则 的通项公式为（ ）A． B．
C． D．
6．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高三期中）1883年，德国数学家康托提出了三
分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第
一步，把闭区间 平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间 和 ；第
二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：
， ， ， ；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三
分康托集.若经历 步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或 或
或 的区间长度均为 ）
A． B． C． D．
7．（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））数列 满足： ， ，
记数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知正项等比数列 中的 是函数
的极值点，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题9．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二阶段练习）数列 前 项的和为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 前5项的和最大
B．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则
C．已知 ，则使得 成等比数列的充要条件为
D．若 为等差数列，且 ， ，则当 时， 的最大值为2022
10．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）已知等比数列 的公比为 ，其前 项
之积为 ，且满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的值是 中最小的 D．使 成立的最大正整数 的值为4043
三、填空题
11．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标
原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，
且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律，经过__________秒后，该质点首次落在
直线 上．
12．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知各项为正的数列 的前 项和为 ，满足
，则 的最小值为___________.
13．（2022·山西·太原师范学院附属中学高二阶段练习）设正项等比数列 的前 项和为，且 ，则公比 __________.
14．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）正项等比数列 中， ，且存在两
项 使得 ，则 的最小值为___________.
15．（2022·四川·绵阳市开元中学高一期末（理））已知在单调递增的等差数列 中，
满足 ， 是 和 的等比中项， 为数列 的前n项和，则 的
最小值为________.
