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等差数列与等比数列专项测试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2023秋·山东·高二山东师范大学附中校考期末）已知等比数列 各项均为正数，公比 ，且满
足 ，则 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质可得 ，根据各项均为正数，得到 ，则 ，进而求解.
【详解】因为 ，由等比数列的性质可得： ，
又因为数列 各项均为正数，所以 ，因为公比 ，则 ，
故选： .
2．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）数列 中，如果
，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】A
【分析】根据等差数列前 项和的表达式，利用二次函数求最值即可.
【详解】由题意可知：数列 是以45为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ，
关于 的二次函数，开口向下，对称轴 ，
所以当 时， 最大，即数列 的前 项和最大，故选： .
3．（2023·四川成都·统考一模）已知数列 的前 项和为 ．若 ，则 （ ）
A．512 B．510 C．256 D．254
【答案】C
【分析】根据 与 的关系，结合等比数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由 ，
所以数列 是以2为首项，2为公式的等比数列，于是 ，
故选：C
4．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 ，前n项和为 ，
若 ，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】先根据条件列出等比数列基本量的方程，求出基本量，再利用等比数列的通项公式计算即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
若 ，则 ，无解；
若 ，则 ，解得 ，
，解得
故选：C.
5．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列 满足 ， ，设
，则 （ ）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】根据递推公式一一计算可得.
【详解】解：因为 ， ，
所以
，
所以 .
故选：C
6．（2023·广西桂林·统考一模）已知正项等比数列 }满足 为 与 的等比中项，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得 ，解得 ，化简 .
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由题意得 ，即 ，
， ，
，
故选：B.7．（2022·四川南充·统考一模）已知数列满足 ，设 ，则数列 的
前2023项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到 ，再利用裂项法求和即可.
【详解】由题知：数列满足 ，设 ，
所以 的前 项和为 ，则 .
当 时， ，
当 时， ，
检验：当 时， ，符合.
所以 .
令 ，前 项和为 .
则 .
故选：D
8．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列 中， ， ，
则数列 的前10项和 （ ）
A． B． C． D．2【答案】C
【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列 的通项公式，再利用裂项相消法求和即
可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ，∴ ．
∴ ，
∴数列 的前10项和 ．
故选:C．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）记数列 是等差数列，下列结论中不恒成立的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则【答案】ACD
【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则
对于A，由数列 是等差数列及 ，所以可取 ，所以 不成立，故
A正确；
对于B，由数列 是等差数列，所以 ，所以 恒成立，故B不正确；
对于C, 由数列 是等差数列， 可取 ，所以 不成立，故C正确；
对于D，由数列 是等差数列，得 ，无论 为何值，均有
所以若 ，则 恒不成立，故D正确.
故选：ACD.
10．（2022·江苏·模拟预测）已知等差数列 的公差不为0， 且 成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】先求出通项公式 ，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.
【详解】设等差数列 的公差为d（ ）.
因为 且 成等比数列，所以 .
解得： ，所以 .
对于A： .故A正确；
对于B：因为 ，所以 .故B正确；对于C： .故C错误；
对于D：因为 ，所以当 时， ，即 .故D正确.
故选：ABD
11．（2022·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，
后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第
三层有6个球，…，设第n层有 个球，从上往下n层球的球的总数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意求得 ，进而可得 ，利用累加法求出 即可判断选项A、C；计算前
7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又 满足上式，所以 ，故A错误；
则 ，得 ，故B正确；
有 ，故C正确；
由 ，
得 ，
故D正确.
故选：BCD.
12．（2022·重庆·校联考二模）设等差数列 前 项和为 ，公差 ，若 ，则下列结论中正
确的有（ ）
A． B．当 时， 取得最小值
C． D．当 时， 的最小值为29
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.
【详解】解：根据题意，
由 .故A正确；
因为 ，故当 时， ， ，当 时， ，当 或 时， 取得最小值，
故B正确；
由于 ，故C正确；
因为 ， ，所以由 ，可得：
，因此n的最小值为 ，故D错误.
故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知等比数列 的公比为 ，若
，则 ______
【答案】2
【分析】利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】因为等比数列 ， ，公比为 ，
所以由题设得 ，即 ，
整理得 ，
解得 ，
故答案为：2
14．（2018·上海虹口·统考二模）已知 是公比为q的等比数列，且 成等差数列，则q＝_____．
【答案】 或1
【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.
【详解】在等比数列 中， 成等差数列，则 ，
即 ，而 ，整理得 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或1
15．（2023·江西·校联考一模）已知等比数列 满足： ， ，则
的值为___________.
【答案】【分析】利用等比数列得性质得出 ，再将所求式子通分代入即可求得.
【详解】因为 为等比数列，所以 ，
故答案为：10
16．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）已知等比数列{ }各项均为正数， ， 、 为
方程 (m为常数)的两根，数列{ }的前n项和为 ，且 ，求数列 的
前2022项和为_________．
【答案】
【分析】首先根据条件求得等比数列{ }的前n项和为 ，代入 中可看出可以通过裂项相消法求和．
【详解】等比数列{ }中 、 为方程 的两根
，
设数列{ }的公比为 ，则 ，且
又 ，所以 ，
所以
∴
∴
∴数列 的前2022项和，
故答案为： .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·四川内江·统考一模）数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把递推关系式里的 换成 得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.
(2)裂项相消求和，然后求和的范围.
【详解】（1）当 时，
①
②
②减①得：
经检验 也符合
综上：
（2）
又因为 ，又因为 恒成立，即
或所以 的范围为
18．（2023·湖南湘潭·统考二模）在数列 中， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令 可求得 的值，令 ，由 可得
，两式作差可得出 的表达式，再验证 的值是否满足 的表达式，
综合可得出数列 的通项公式；
（2）计算得出 ，利用裂项相消法求出数列 的前 项和，
即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为 ，①
则当 时， ，即 ，
当 时， ，②
① ②得 ，所以 ，
也满足 ，故对任意的 ， .
（2）证明：，
所以
．
19．（2023·湖南长沙·统考一模）已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，满足 ，
， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式；
（2）用错位相减法求数列 的和．
【详解】（1）解：设 的公差为 ， 的公比为 ， ， ，
联立 ，整理可得 ，解得 ，
所以 ， .
（2）解：由（1）知 ，
则 ，①
，②①-②，得
.
所以 .
20．（2023·广西桂林·统考一模）已知数列 的前n项和为
(1)证明：数列{ }为等差数列；
(2) ，求λ的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）由 得 的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求得 ，从而代入已知等式后求得 得 ，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最
值，得结论．
【详解】（1） ，∴ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
所以数列 是以 为首项和公差的等差数；
（2）由(1)知： ，
所以 ，
∴ ，∴ ，
又 满足上式，
∴ ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
记 ，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ．
21．（2022·广东广州·统考一模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得数列 的首项和公差，从而求得 .
（2）利用错位相减求和法求得 .【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
依题意， ，则
所以 ，解得 ，所以 .
（2） ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 .
22．（2022·陕西渭南·统考一模）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ，
.各项均为正数的等比数列 满足 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由 ，可得 ，两式相减化简可得 ，再求出 ，
可得 是首项为1，公差为3的等差数列，从而可求出 ，再由 ， 可求出数列 的公比 ，从而可求出 ；
（2）由（1）可得 ，然后利用错位相减法可求得 .
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，
又各项均为正数，所以 ，即 .
因为 满足上式，
所以 是首项为1，公差为3的等差数列.
所以 .
设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，
所以 ，
解得 （或 舍去），
所以 .
（2） ，
所以 ，
，
两式相减得：所以 .
