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解密13 等差数列和等比数列的计算和性质
【考点解密】
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{a}的第n项a
n n
如果数列{a}的第n项a 与序号n之间的关系能用公式a＝f
n n n
通项公式
(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列{a}中，S＝a＋a＋…＋a 叫做数列的前n项和
n n 1 2 n
2．数列的表示方法
列表法 列表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点(n，a)画在平面直角坐标系中
n
通项
公 把数列的通项用公式表示
公式
式
递推 使用初始值a 和a ＝f (a)或a，a 和a ＝f (a，a )等表
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1
法
公式 示数列的方法
3．a 与S 的关系
n n
若数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
4．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a >a
n＋1 n
项与项间的
递减数列 a <a 其中n∈N*
n＋1 n
大小关系
常数列 a ＝a
n＋1 n
5．等差数列的定义
a－a =d (n≥2)
n n-1
6．等差数列的通项公式
a ＝a＋(n－1)d
n 1＝a ＋(n－m)d .
m
7．等差中项
若a，b，c成等差数列，则2b=a+c . b叫做a与c的等差中项．
8．等差数列的下标和公式
若k＋l＝m＋n，则a＋a＝a ＋a.
k l m n
9．等差数列的前n项和公式
S＝ 或S＝na＋d.
n n 1
10．等差数列的前n项和公式与函数的关系
S＝n2＋n. 数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn (A，B为常数)．
n n n
11.等差数列的常用性质
(1)数列S ，S －S ，S －S ，…构成等差数列．
m 2m m 3m 2m
(2)若{a}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{a}的首项相同，公差为d.
n n
12．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{a}中，a>0，d<0，则S 存在最大值；若a<0，d>0，则S 存在最小值．
n 1 n 1 n
13．等比数列的定义
a
n
a
n−1＝q (n≥2)．
14．等比数列的通项公式
a＝a·qn－1 = a ·qn－m ．
n 1 m
15．等比中项
若a，b，c成等比数列，则b2= a·c ． b是a与c的等比中项.16．等比数列的下标和公式
若m＋n＝p＋q，则a ·a＝a·a .
m n p q
17．等比数列的前n项和公式
S＝
n
18．等比数列的常用性质
在等比数列{a}中，若S 为其前n项和，则S，S －S，S －S 也成等比数列 (n为偶数且q＝－1除外)．
n n n 2n n 3n 2n
【方法技巧】
♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)用作商比较法，根据(a>0或a<0)与1的大小关系进行判断．
n n
(3)函数法．
✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
若有a －a＝f(n＋1)－f(n)>0，则a >a，则数列{a}是递增数列，所以数列{a}的最小项为a；
n＋1 n n＋1 n n n 1
若有a －a＝f(n＋1)－f(n)<0，则a <a，则数列{a}是递减数列，所以数列{a}的最大项为a.
n＋1 n n＋1 n n n 1
【核心题型】
题型一：等差数列的基本计算
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 且
，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题中条件求出 的值，利用等差数列的通项公式可求得 的表达式.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由等差数列的求和公式可得 ，
所以， ，所以， ，
解得 ，因此， .
故选：D.
2．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公
共项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，则数列 的各项之和为（ ）
A．1666 B．1654 C．1472 D．1460
【答案】A
【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.
【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：
2，14，26，38，50，…，182，194，共有 项，是公差为12的等差数列，
故新数列前17项的和为 ，
即数列 的各项之和为1666.
故选：A.
3．（2023·重庆·统考一模）设等差数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】设数列 首项为 ，公差为 ，由 ，等差数列通项公式，及等差数列前 项和公式可得答
案.
【详解】设数列 首项为 ，公差为 ，则，则由 有：
，即
又 ，则 .
故选：B
题型二：等差数列的基本性质
4．（2022·浙江·模拟预测）已知等差数列 中， ，公差 ，若 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 ，再根据题设条件得到 ，构建新函数
并利用导数可判断 的范围，从而可判断 的范围，再根据新函数的性质可得 的范围.
【详解】因为 ，故 ，
所以 .
因为 为等差数列，故 ，
故由 可得：
.
设 ，故又 ，故 为 上的减函数，
而 ，故 ，
因为 ，故 ，结合 可得 ，
故A错误，B正确.
由 可得 ，故 ，
故 ，
而 ，
故 ，故CD错误.
故选：B.
【点睛】思路点睛：数列中的多变量的存在性问题，可根据数列的性质合理构建新函数，再利用导数等工具判断
变量的范围，在大小比较的过程中，注意结合函数的性质来处理.
5．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知 是各项不全为零的等差数列，前n项和是 ，且
，若 ，则正整数m＝（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】C
【分析】根据 得到 ，根据 得到 ，然后根据等差数列的性质得到
，即 .
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，则，
所以 ，解得 .
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）设正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得 ，将代数式 与 ，
展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】由 是等差数列，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
故选：B．
题型三：等差数列的函数
7．（2022·全国·校联考模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 .若 ，则
（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是【答案】A
【分析】利用等差数列求和公式可化简已知不等式得到数列 为递增的等差数列；结合 可确定当
且 时， ，当 且 时， ，由此可得结论.
【详解】由 得： ，即 ，
数列 为递增的等差数列，
， ， ，
当 且 时， ；当 且 时， ；
有最小值，最小值为 .
故选：A.
8．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，则“ ”是“数列
为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】先说明充分性，由 得到 为单调递增数列，设公差为 ，表达出
，结合对称轴得到 时，此时 先增后减，从而充分性不成立；
再举出反例得到必要性不成立.
【详解】若 ，故 ，即 ，
故 为单调递增数列，设公差为 ，
此时 ， ，令 ，对称轴为 ，当 时，此时对称轴 ，
此时 先增后减，
所以数列 不是单调数列，
充分性不成立，
若数列 为单增数列，设等差数列 公差为 ，
若 ，不妨设 ，此时 ，满足数列 为单增数列，
此时 ， ，故必要性不成立，
故“ ”是“数列 为单增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
9．（2019·福建福州·统考模拟预测）设正项数列 的前 项和 满足 ，记 表示不超过 的最大
整数， ． 数列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为（ ）
A．1179 B．1178 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】利用 与 的关系求出数列 的通项公式，进而求得 的通项公式，以2019的整数倍数作为分类依
据求出部分 的值，可得 ，由 即可得解.
【详解】因为 ①，令 得， ．
又 ②，
①式减②式可得 ，整理得 ，根据 可知
，数列 是首项为1，公差为2的等差数列， ．，
当 且 时， ， ；
当 且 时， ， ；
当 且 时， ， .
， ，
所以使 成立的 的最小值为 1178.
故选B．
【点睛】本题考查数列综合，利用 与 的关系求解数列通项公式，数列的函数特性，属于中档题.
题型四:含绝对值的等差数列前项和
10．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知数列 的前n项之和 ，则
的值为
A．61 B．65 C．67 D．68
【答案】C
【分析】首先运用 求出通项 ，判断正负情况，再运用 即可得到答案．
【详解】当 时， ，
当 时， ，
故 ，
据通项公式得．
故选C．
【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意 的情况，是一道基础题．
11．（2019秋·福建福州·高三校考期中）已知直线 与直线 互相平行且距离为 .等差
数列 的公差为 ，且 ，令 ，则 的值为
A．60. B．52 C．44 D．36
【答案】B
【分析】根据平行线的距离求出 ，以及 ，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和．
【详解】由两直线平行得 ，由两平行直线间距离公式得
得 或 ，
故选B．
【点睛】本题考查两平行直线的距离及等差数列 的前n项的绝对值的和，属于中档题．
12．（2023·高三课时练习）设等差数列 ， ，…， （ ， )的公差为 ，满足
，则下列说法正确的是
A． B． 的值可能为奇数
C．存在 ，满足 D． 的可能取值为
【答案】A
【分析】根据题意，设出绝对值函数 ，
根据绝对值函数的性质判断即可．【详解】因为
所以
令
则 （ ）
①当 时， ，不满足（ ），舍去．
②当 时，由（ ）得 为平底型，故 为偶数 ．
的大致图像为：
则
所以 ，故A正确．
由
当 时
当 时
故不存在 ，满足 ，C错由于 所以 ，故D错
③当 时，令
由于 的图像与 的图像关于 轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知 为平底型，故 为偶数 ，故B错
令
所以 ，故A正确
由②知，不存在 ，满足 ，故C错
由②知， ，故D错
综上所述，A正确,BCD错误
故选A.
【点睛】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题．
题型五：等差数列奇数或偶数和问题
13．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和
为 ，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题可设等差数列 共有 项，然后通过 即可得出结果.
【详解】设等差数列 共有 项，
则 ， ，中间项为 ，
故
，
，
故选：B.
14．（2020春·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1300
C．2600 D．2602
【答案】C
【分析】根据递推关系式求出数列的性质：奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，再由等差数列的前 和公
式即可求解.
【详解】奇数项： ，
偶数项： ，
所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了数列的递推关系式以及等差数列的前 和公式，需熟记公式，属于基础题.
15．（2021·全国·统考模拟预测）等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，当 时，则n=（ ）
A．13 B．12 C．24 D．25【答案】D
【分析】先由 ，转化为 ，再应用等差数列的性质，将等差数列求和问题转化为中
间项求解即可.
【详解】 ， ． ，
则 ， ．
故选：D.
【点睛】等差数列常用结论：
若等差数列 的项数为偶数 ，则 ；
若等差数列 的项数为奇数 ，则 .
题型六：等差数列前n项和的性质
16．（2022·四川·四川师范大学附属中学校考二模）设等差数列 ， 的前n项和分别是 ， ，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．3
【答案】B
【分析】先由等差数列的前 项和公式设出 ， ，再按照 直接计算即可.
【详解】由等差数列的前 项和公式满足 形式，设 ，则 ，
故 .
故选：B.17．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【分析】由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，即可得出．
【详解】解：由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，
，
，
解得 ．
故选：B．
18．（2020·安徽淮北·统考一模）设等差数列 的公差不为0，其前 项和为 ，若 ，
，则
A．0 B．-2020 C．2020 D．4040
【答案】D
【解析】观察等式构造函数 ，则 为递增的奇函数，可得 ，进而可得答案.
【详解】由题意可设 ，则 为递增的奇函数，
所以 ，
，
由 为奇函数，其图像关于原点对称，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列求和，利用等式构造函数求得 是关键，属于中档题.题型七：等比数列的基本计算
19．（2023·河南郑州·统考一模）记 为等比数列 的前n项和．若 ， ，则 （ ）
A．32 B．31 C．63 D．64
【答案】B
【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可．
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ， ，解得
又 ，解得 ，则
故选：B
20．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与
的等差中项为 ，则 等于（ ）
A．35 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的性质得到 ，结合 ，利用等比数列的基本量求得 和公比 ，再由等比数
列的求和公式即可得到 .
【详解】因为 与 的等差中项为 ，所以 ，
设等比数列 的公比为 （ ），
又 ，得： ，解得： ，
则 ，
故选：C.
21．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列 的通项公式为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，判断 为等比数列，再利用等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】依题意， ， ，数列 是首项为2，公比为 的等比数列，
所以 .
故选：D
题型八：等比数列的性质
22．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测） 为公比大于1的正项等比数列，且 和 是方程
的两根，若正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用等比数列的性质得到 ，结合韦达定理 ， ，得到 ，
求出 或4，结合公比 ，求出 ，得到 ，利用基本不等式“1”的妙用求出 的最小值.
【详解】由题意得： ， ，
因为 为公比大于1的正项等比数列，所以 ，
故 ， ，
由 得 ，将其代入 得： ，
解得： 或4，设公比为 ，则 ，
当 时， ，所以 ，因为 ，解得：
当 时， ，所以 ，因为 ，不合题意，舍去；
所以 ，即 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：B
23．（2022·山东·统考模拟预测）已知等比数列 满足： ， ，则 的
值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质可得： ，对 进行化简后求值即可.
【详解】在等比数列 中，由等比数列的性质可得： .
所以 ．
故选：B
24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 为等比数列， ， 为函数 的两个不同的零点，
则 的值为（ ）
A． B． C．12 D．18
【答案】A【分析】根据函数零点即为方程的根，结合根与系数的关系，利用等比数列的性质，即可求得结果.
【详解】由题意知 ， 为方程 的两个不同的实数根，
则由根与系数的关系，得 ， ，
由等比数列的性质得 ，所以 ，
故选： .
题型九：等比数列前n项和的性质
25．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）在数列 中， ， ，若 ，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题知当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，前n项和为 满足 ，
，进而分 为奇数和 为偶数讨论求解即可.
【详解】解：由题意得 ， ， ，即 ，
所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， ；
设 的前n项和为 ，则 ， .
若 为奇数，则 为3的倍数， 不是 的倍数，不合题意；
当 为偶数，则
，即 ，所以 .
故选：B26．（2022·全国·高三专题练习）已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足 ，
则数列 的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据 ，解关于 的方程，注意 还是 的讨论，代入公式即可求解.
【详解】设数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B
【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明 的取值时，要考虑 是否为1.
27．（2021·陕西安康·统考二模）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （
）
A．9 B．10 C．12 D．17
【答案】B
【解析】利用已知条件求得 ，由此求得所求表达式的值.
【详解】设等比数列 的公比为q，
因为
.所以 ，
则 .
故选：B
题型十：等差等比的实际应用
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿
喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬
行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了
100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟
会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬
行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬
行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
29．（2022春·新疆·高三校考阶段练习）北京 年冬奥会开幕式用“一朵雪花”的故事连接中国与世界，传递
了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，
是一种分形几何．图1是长度为 的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，
再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到
图3，这称为“二次分形”； ．依次进行“ 次分形 ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该
分形图的长度．若要得到一个长度不小于 的分形图，则 的最小值是（ ）（参考数据 ，
）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知“ 次分形”后线段的长度为 ，可得出关于 的不等式，解出 的取值范围即可得解.
【详解】图1的线段长度为 ，图2的线段长度为 ，图3的线段长度为 ， ，
“ 次分形”后线段的长度为 ，
所以要得到一个长度不小于 的分形图，
只需满足 ，则 ，即 ，
解得 ，所以至少需要 次分形．
故选：C.
30．（2022秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列
“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为 ；最右边一列“小数记录”为国际
标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为 ．已知标准对数视力 对应的国际标准视力
准确值为 ，则标准对数视力 对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据： ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，确定标准对数视力 从下到上的项数，再利用等比数列计算作答.
【详解】依题意，以标准对数视力 为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力 为该数列
第3项，
标准对数视力 对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为 ，
因此，标准对数视力 对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为 .
故选：D
【高考必刷】
一、单选题
31．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）等差数列 中， ，则数列 的前9项之和为（ ）
A．24 B．27 C．48 D．54
【答案】B
【分析】根据等差数列下标和性质求出 ，再根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】解：在等差数列 中， ，则
所以 ，又 ，
所以 ，所以 .
故选：B
32．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列 的前 项和为 .若 成等比数列，
，则 （ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】A
【分析】设等差数列 的公差为 ， ，根据题意得出关于 和 的方程组，解出这两个量的值，进而可求
得 的值.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 成等比数列，得 ，即
，整理得 ①.
又 ，即 ，所以 ②.
由①②得 ，故 .
故选：A
33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均
七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱
数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说
法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【答案】A
【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为 ， ， ， ， ， ， ，
再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为 ， ， ， ， ， ，
，则 ，解得 ，
所以乙分得 （文），丁分得 （文），
故选：A.
34．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等
分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．
如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角
形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的 ，按照等比数列即可求得结果.
【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的 ，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的 ，
由此可得，第 次操作之后所得图形的面积是 ，
即经过4次操作之后所得图形的面积是 .
故选：A
35．（2023·四川绵阳·统考二模）已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ， ， ，则使得
成立的最小正整数 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C【分析】题意可知比数列 的公比 且 ，由 ， ，可得 ，即有 ，从而得
，令 求解即可得答案.
【详解】解：由题意可知比数列 的公比 且 ，
又因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
解得 或 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 的最小值为12.
故选：C.
36．（2023·上海·统考模拟预测）已知数列 的各项均为实数， 为其前n项和，若对任意 ，都有
，则下列说法正确的是（ ）A． 为等差数列， 为等比数列
B． 为等比数列， 为等差数列
C． 为等差数列， 为等比数列
D． 为等比数列， 为等差数列
【答案】C
【分析】令 ( 是等差数列的前n项和),由题意可得当 时， 单调递减，结合二次函数的性质
和选项逐一判断即可.
【详解】解：令 ,由题意当 时， 单调递减，
对于首项为 ，公差为 的等差数列，
则前n项和 (不含常数项)，
此时 ，
由二次函数的性质知：当 足够大时， 不可能为单调递减函数，
所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意；
对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比 时，满足 ，故符合题
意；
对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当 足够大时，不满足
，即 不可能为单调递减函数，故不合题意
故选：C.
【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和 是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的
有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化.
37．（2023·广东梅州·统考一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为 ，它的第 项为 ，若序列 的所有项都是
2，且 ， ，则 （ ）
A． B． C．. D．
【答案】B
【分析】设 ，由题意得到第 项为 ，然后利用累乘法求解.
【详解】解：设 ，由题意得 ，第 项为 ，
则 时， ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
故选：B
38．（2023·福建漳州·统考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中
国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华
传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列 的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，
40，50，记 ， ，则数列 的前20项和是（ ）
A．110 B．100 C．90 D．80
【答案】A
【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可.
【详解】观察此数列可知，当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，因为 ，
所以数列 的前20项和为：
，
故选：A
二、多选题
39．（2023·广东梅州·统考一模）设 是公差为 （ ）的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确的
是（ ）
A．若 ，则 是数列 的最大项
B．若数列 有最小项，则
C．若数列 是递减数列，则对任意的： ，均有
D．若对任意的 ，均有 ，则数列 是递增数列
【答案】BD
【分析】取特殊数列判断A；由等差数列前 项和的函数特性判断B；取特殊数列结合数列的单调性判断C；讨论
数列 是递减数列的情况，从而证明D.
【详解】对于A：取数列 为首项为4，公差为 的等差数列， ，故A错误；
对于B：等差数列 中，公差 ， ， 是关于n的二次函数.当数列
有最小项，即 有最小值， 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上， ，B正确；
对于C：取数列 为首项为1，公差为 的等差数列， ，，即 恒成立，此时数列 是递减数列，而 ，
故C错误；
对于D：若数列 是递减数列，则 ，一定存在实数 ，当 时，之后所有项都为负数，
不能保证对任意 ，均有 .
故若对任意 ，均有 ，有数列 是递增数列，故D正确．
故选：BD
40．（2023·福建漳州·统考二模）已知数列 是首项为 的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，
O为平面内任意一点，且 ，则（ ）
A． B．数列 的前6项和为
C．数列 是递减的等差数列 D．若 ，则数列 的前n项和的最大值为1
【答案】BC
【分析】根据已知条件，由 可得 ，再利用等比数列的通项公式求出公比，进而即
可判断选项AB，再由对数的相关运算和数列中的裂项相消法，即可判断选项CD.
【详解】由题知， ， ， ， 三点共线，
则 ，设公比为 ， ，
由 是正项等比数列，解得 ，
， .
所以 ，故A错误；
所以 ，故B正确；因为 ，
且 ，
所以数列 是 为首项， 为公差的递减的等差数列，
故C正确；
又 ，
所以数列 的前n项和为
，所以 越大，数列 的前n项和也就越大，
但 不可能为 ，只是无限接近于 ，故D错误.
故选：BC
41．（2023·全国·模拟预测）已知函数 且 有三个不同的零点 ， ， ，若
，则（ ）
A．
B．当 为 ， 的等比中项时， 为 ， 的等差中项
C．当 为 ， 的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对于A：将函数的零点，转化为两个函数图象的交点，即可判断；
对于B：将方程 两边取对数，再结合等差中项和等比中项的定义，即可判断选项；
对于C：根据等差中项，和等比中项，转化为 ，即可求解；
对于D：当 时，构造函数 ，利用导数，判断函数的单调性和最值，结合零点存在性定理，即可求解.
【详解】A： ，因为 ，所以 ，
根据函数 和 的图象及增长趋势，若满足 ，则 ，
又因为 ，所以 ，A错误．
B： ， ， ，两边同时取对数，
， ， ，
， ，
因为 为 ， 的等比中项， ，所以 ，即 是 的等差中项，故B正确；
C： 为 ， 的等差中项，则 ，得 ，得
，
则 ，整理为 ，则 或 ，
由图象可知， ，所以 ，故C正确；
D：当 时，易知方程 有两个不同的解，等号两边同时取对数得，
，令 ，则 ，令 ，得 ，
由A选项知 ，所以 ， ，又 ，所以当 时， ，当 时，，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ．
，又当 无限趋近于负无穷大时， 为正数，无限趋近于正无穷大，当 无限趋近于0时， 也无限
趋近于正无穷大，故要使 有两个零点，只需 ，即 ，
所以 ，解得 ，又 ，故实数a的取值范围为 ，故D正确．
故选：BCD
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤
（1）常用方法：①直接法，先根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取
值范围；②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法，先将问题转化为两函数
图象的交点问题，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
（2）一般步骤：先转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式（组）的解集或两函数图象
的交点的情况；再列式，根据零点存在定理或结合函数图象列式；最后得结论，求出参数的取值范围或根据图象
得出参数的取值范围．
42．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）数列 满足 ， ，数列 的前
n项和为 ，且 ，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列 的前n项和
C．数列 的前n项和
D．
【答案】BCD【分析】求得数列 的通项公式判断选项A；求得数列 的前n项判断选项B；求得数列 的前n
项和，进而判断选项C；求得数列 的前 项和 进而判断选项D.
【详解】由 ，有 ，又
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ，
则 ，则 ，A错误；
由 ，可得 ，解之得
又 时， ，则 ，整理得
则数列 是首项为3公比为3 的等比数列，则 ，
则数列 的前 项和
，B正确；
，则数列 的前 项和
，C正确；
设数列 的前 项和 ，
则 ， ，
两式相减得
整理得 ，则当 时， ，D正确.
故选：BCD.
