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解密14 数列的通项公式常考求法
【考点解密】
1．S 和a 关系法求数列通项（作差法）：
n n
(1)已知S 求a 的常用方法是利用a＝转化为关于a 的关系式，再求通项公式．
n n n n
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
2．累加法
当出现a ＝a＋f (n)时，用累加法求解．
n＋1 n
3．累乘法
当出现＝f (n)时，用累乘法求解．
4．构造法
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
类型1： 用“待定系数法”构造等比
数列 2、 直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；
3、构造等比数列
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式；
2、两边同除 ；
类型2：用“同除法”构造等差数列
3、构造数列 为等差数列
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；
2、两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝pb＋q型；
类型3：用两边同时取倒数构造等差 n＋1 n
数列（1）
pa
a n 3、构造数列 为等差数列.
n1 ra s
n
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；
类型3：用“同除法”构造等差数列 2、两边同除 ；
（2）
3、构造出新的等差数列1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；
2、可以化为a －xa＝x(a－xa )，其中x，x 是方程x2－px－q＝0的
n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2
两个根；
类型4：用“待定系数法”构造等比
数列 3、若1是方程的根，则直接构造数列{a －a }，若1不是方程的根，则
n n－1
a ＝pa＋qa 需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a}．
n＋1 n n－1 n
【方法技巧】
常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
给出 与 的递推关系，求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项公式；
二是转化为 的递推关系，先求出 与n之间的关系，再求 .
【核心题型】
题型一：累加法求通项公式
1．（2022·上海虹口·统考一模）已知函数 ，数列 满足 ，且 （ 为正整
数）．则 （ ）A． B．1 C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果
“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差
数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等
差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
题型二：累乘法求通项公式
4．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列 中， 且 ，则它的前 项和
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，若 ，且对
任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：S 和a 关系法求数列通项
n n7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 满足 ，若数列
为单调递增数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足 ，设 ，则数列
的前2023项和为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和 ，则数列 中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
题型四：构造法求通项公式
10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列 中， ， ，则数列
的前10项和 （ ）
A． B． C． D．2
11．（2022·全国·高三）若数列 和 满足 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·江西萍乡·统考一模）数列 各项均是正数， ， ，函数 在点 处的切线过点 ，则下列命题正确的个数是（ ）．
① ；
②数列 是等比数列；
③数列 是等比数列；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：观察法求通项公式
13．（2022·全国·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为
0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个
数是（ ）
A．152 B．480 C．512 D．840
14．（2021·广东珠海·统考一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第 行第 列
的数记为 ，如 ， ，则 时， （ ）
A．54 B．18 C．9 D．6
15．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学
思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即 ， ，
( ， ).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列
，又记数列 满 ， ， ，则
A．1 B． C． D．0
题型六：递推公式写通项公式
16．（2021·甘肃武威·武威第六中学校考模拟预测）已知数列 中， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，记数列 的前n项的
和为 ，则（ ）
A． B．存在 ，使
C． D．数列 不具有单调性
18．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，当 时， ，且对任意的实数x，
，等式 成立，若数列{ ）满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
20．（2023·全国·校联考模拟预测）记数列 的前n项和为 ．若等比数列 满足 ， ，则
数列 的前n项和 （ ）
A． B． C． D．
21．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
22．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列
为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为 ，
若数列 满足 ，则数列 的前n项和 （ ）
A． B．
C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前 项和，且 ， （ ），则下
列结论正确的是（ ）A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
24．（2023秋·河南开封·高三统考期末）在数列 中, , ,则（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
25．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，且 .若对任意的正整数 ，
都有 成立，则满足等式 的所有正整数 为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
26．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍
及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:
.若正项数列 的前 项和为 ,且满足
,数列 的通项公式为 ,则根据三角垛公式,可得数列 的前10项和 （ ）
A．440 B．480 C．540 D．580
27．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知 为数列 的前 项和，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
28．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的
数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算
法，展现了聪明才智 如南宋数学家杨辉在《详解九章算法 商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和
都与高阶等差数列有关 如图是一个三角垛，最顶层有 个小球，第二层有 个，第三层有 个，第四层有 个，则第 层小球的个数为（ ）
A． B． C． D．
29．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知数列 ，对于任意正整数 ，都满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
30．（2022秋·云南·高三云南师大附中校联考阶段练习）已知数列 满足 ， ，且 ，
若 表示不超过 的最大整数（例如 ， ），则 （ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二、多选题
31．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知递增的正整数列 的前n项和为 ．以下条件能得出 为
等差数列的有（ ）
A． B．
C． D．
32．（2023·全国·高三专题练习）数列 的通项为 ，它的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．数列 是递减数列 B．当 或者 时， 有最大值
C．当 或者 时， 有最大值 D． 和 都没有最小值33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． 是等比数列
C． 是单调递增数列 D．
34．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列 满足 ，设数列
的前 项和为 ，其中 ，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A． 的值为2
B．数列 的通项公式为
C．数列 为递减数列
D．
35．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花
组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角
形 ，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形
成雪花曲线 .重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线 ， ，…， ，….
设雪花曲线 的边长为 ，边数为 ，周长为 ，面积为 .若 ，则下列说法不正确的是（ ）.
A． B．C． D．
36．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……..”.大衍数列，来源于《乾
坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化
中隐藏着的世界数学史上的一道数列题，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..记大衍数列为 ，则下列命题正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．当 为偶数时，
三、填空题
37．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列 满足 ，，则 ______.
38．（2023·湖南·模拟预测）已知的非零数列 前n项和为 ，若 ，则 的值为
____________.
39．（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的前n
项和 ______.
40．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连
成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠环相连
的银制的九连环（如图）.现假设有 个圆环，用 表示按照某种规则解下 个圆环所需的最少移动次数，且数列
满足 ， ， （ ， ），则解开九连环最少需要移动______次.
41．（2023·高三课时练习）已知数列 满足 ， ，且 ，则 的最大值
为______．
42．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知数列 的前n项和为 ， ，
，设 ，数列 的前n项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围为
______．
