第32讲　高考题中的解答题三（数列）（学生版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习对点题型（新高考专用）_第32讲高考题中的解答题三（数列）

第32讲 高考题中的解答题三 （数列） 数列求和 (一) 分组转化法求和 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字 母的数列中对字母的讨论. [典例] (2022·济南二模)已知{a}是递增的等差数列，a ＋a ＝18，a ，a ，a 分别为等比数列{b}的前 n 1 5 1 3 9 n 三项． (1)求数列{a}和{b}的通项公式； n n (2)删去数列{b}中的第a项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c}，求数 n i n 列{c}的前n项和S. n n [关键点拨] (1)根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列 的首项和公比，即得答案． 切入点 (2)删去数列{b}中的第a项(其中i＝1,2,3，…)后，求和时讨论n的奇偶 n i 性，并且分组求和，即可求得答案 障碍点 求数列{c}的前n项和S 要分n为奇数还是偶数进行讨论 n n 方法技巧 (1)若数列{c}的通项公式为c＝a±b，且{a}，{b}为等差数列或等比数列，则可以采用分组求和法求 n n n n n n 数列{c}的前n项和； n (2)若数列{c}的通项公式为c ＝且数列{a}，{b}是等比数列或等差数列，则可以采用分组求和法求数 n n n n 列{c}的前n项和； n (3)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和． 针对训练 (2022·菏泽二模)已知数列{a}中a＝1，它的前n项和S 满足2S＋a ＝2n＋1－1. n 1 n n n＋1 (1)证明：数列为等比数列； (2)求S＋S＋S＋…＋S . 1 2 3 2n(二) 错位相减法求和 若数列{a}和{b}分别是等差数列和等比数列，则求其积数列{a·b}的前n项和，可以运用错位相减法. n n n n [典例] (2022·石家庄二模)设数列{a}的前n项和为S.已知a＝1,2a ＝S＋2(n∈N*)． n n 1 n＋1 n (1)求数列{a}的通项公式； n (2)数列{b}满足b＝a (n∈N*)，求数列{b}的前n项和T. n n n n n [关键点拨] (1)根据a 与S 得关系，计算即可得出答案． n n 切入点 (2)求出数列{b}的通项公式，再利用错位相减法求和 n 障碍点 求T 时错位相减法后得到等比数列，注意准确确定其项数 n 方法技巧 运用错位相减法求和的关键 判断模型 判断数列{a}，{b}是不是一个为等差数列，一个为等比数列 n n 错开位置 为两式相减不会看错列做准备 相减 相减时一定要注意最后一项的符号 针对训练 (2022·临沂二模)已知数列{a}的前n项和为S，a＝1，S ＝2S＋1. n n 1 n＋1 n (1)求{a}的通项公式； n (2)记b＝，求数列{b}的前n项和T. n n n (三) 裂项相消法求和 (1)对于无法用公式法、分组法、错位相减法求和的数列，可以考虑根据通项的特点，将其裂项，使得 和式中许多项能相互抵消．(2)常见的裂项技巧： ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－. ⑤log ＝log (n＋1)－log n(n>0)． a a a [典例] (2022·菏泽一模)已知数列{a}，{b}满足ab＋a b＋…＋ab＝2n－－1，其中a＝2n. n n n 1 n－1 2 1 n n (1)求b，b 的值及数列{b}的通项公式； 1 2 n (2)令c＝，求数列{c}的前n项和． n n [关键点拨] (1)将n＝1，n＝2分别代入ab＋a b＋…＋ab＝2n－－1，即可求得b，b n 1 n－1 2 1 n 1 2 切入点 的值，然后利用递推关系式即可求得数列{b n }的通项公式． (2)代入a，b，将c 化简后通过裂项相消法，即可求得数列{c}的前n项和 n n n n 障碍点 把c＝裂为两项 n 方法技巧 裂项相消之后，余项的基本特征 (1)前几后几：即前面的余式和后面的余式的个数相同； (2)前第几，后倒数第几：即余下的式子是对称的； (3)突破口：裂项是关键！注意检验裂项过程中的等号；可以把裂好的项通分，检验等号是否成立． 针对训练 (2022·枣庄三模)已知正项数列{a}的前n项和为S，且4，a＋1，S 成等比数列，其中n∈N*. n n n n (1)求数列{a}的通项公式； n (2)设b＝，求数列{b}的前n项和T. n n n 综合性考法针对练——数列求和1．已知数列{a}满足a＋a＝0，a ＋(－1) a＝2，则数列{a}的前2 020项的和为( ) n 1 2 n＋2 n n A．0 B．1 010 C．2 020 D．2 024 2．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，，，，…，； 第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a，a，a，…，a. 1 2 3 n 则aa＋aa＋…＋a a(n≥2)等于( ) 1 2 2 3 n－1 n A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 3．若数列{b}满足：若b ＝b(m，n∈N*)，则b ＝b ，则称数列{b}为“等同数列”．已知数列 n m n m＋1 n＋1 n {a}满足a＝5，且a＝n(a －a)，若“等同数列”{b}的前n项和为S，且b＝a＝b，b＝a，S＝a ， n 5 n n＋1 n n n 1 1 4 2 2 5 10 则S ＝( ) 2 022 A．4 711 B．4 712 C．4 714 D．4 718 4．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数φ(n) (n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)． 例如：φ(1)＝1；φ(3)＝2(与3互素有1,2)；φ(9)＝6(与9互素有1,2,4,5,7,8)．记S 为数列{n·φ(3n)}的前n项 n 和，则S ＝( ) 10 A.×310＋ B．×310＋C.×311＋ D．×311＋ 5．已知{a}为等比数列，a，a，a 分别是下表第一、二、三行中的数，且a，a，a 中的任何两个数 n 1 2 3 1 2 3 都不在下表的同一列，{b}为等差数列，其前n项和为S，且a＝b－2b，S＝7a. n n 1 3 1 7 3 第一列 第二列 第三列 第一行 1 5 2 第二行 4 3 10 第三行 9 8 20 (1)求数列{a}，{b}的通项公式； n n (2)若c＝[lg b]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{c} n n n 的前100项的和T . 100 6．(2022·聊城二模)已知数列{a}的前n项和为S，a＝1，且3S ＝S－1(n≥2)． n n 1 n－1 n (1)求数列{a}的通项公式； n (2)若数列{b}满足b＝log ，求数列{a＋b}的前n项和T. n n 3 n n n 7．在数列{a}中，a＝2，且a －2n＋1＝a－2n＋1. n 1 n＋1 n (1)证明：数列{a－n＋1}是等比数列． n (2)若b＝log (a－n＋1)，求数列的前n项和S. n 4 n n8．(2022·平凉二模)在①a ＝1，na ＝(n＋1)a ，②2a ＋2a ＋…＋2a ＝2n＋1－2这两个条件中任选一 1 n＋1 n 1 2 n 个，补充在下面的问题中并作答． 问题：在数列{a}中，已知________． n (1)求{a}的通项公式． n (2)若b＝，求数列{b}的前n项和S. n n n 数列的递推关系与子数列问题 (一) 构造法求数列的通项公式 高考试题中求数列的通项公式，一般不单独考查，往往是作为解答题的一个小题，与数列的求和综合 考查，其总的原则是转化为等差数列、等比数列求解. [典例] (1)已知数列{a}满足a＝－2，且a ＝3a＋6，求{a}的通项公式； n 1 n＋1 n n (2)已知数列{a}满足a＝2，a －2a＝2n＋1(n∈N*)，求数列{a}的通项公式； n 1 n＋1 n n (3)已知数列{a}中，a＝，a＝a ＋2aa ，求数列{a}的通项公式． n 2 n n＋1 n n＋1 n [关键点拨] (1)由a ＝3a＋6，可构造a ＋λ＝q(a＋λ)的形式． n＋1 n n＋1 n 切入点 (2)将已知递推式两边同除以2n＋1，由等差数列的定义和通项公式，可得所求． (3)首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出{a}的通项公式 n 障碍点 对递推式进行合理变形，转化为等差数列或等比数列 方法技巧 1．用“待定系数法”构造等比数列 形如a ＝ka ＋p(k，p为常数，kp≠0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为a ＋m＝k(a ＋ n＋1 n n＋1 n m)(其中m＝)，由此构造出新的等比数列{a＋m}，先求出{a＋m}的通项公式，从而求出数列{a}的通项公 n n n 式．2．用“同除法”构造等差数列 (1)形如a ＝qa＋p·qn＋1(n∈N*)，可通过两边同除qn＋1，将它转化为＝＋p，从而构造数列为等差数列， n＋1 n 先求出的通项公式，便可求得{a}的通项公式． n (2)形如a －a ＝ka a(k≠0)的数列，可通过两边同除以a a ，变形为－＝k的形式，从而构造出 n n＋1 n＋1 n n＋1 n 新的等差数列，先求出的通项公式，便可求得{a}的通项公式． n 针对训练 1．在数列{a}中，a＝1，S ＝4a＋2，则a 的值为( ) n 1 n＋1 n 2 023 A．1 517×22 024 B．1 517×22 023 C．1 517×22 022 D．无法确定 2．已知数列{a}满足a＝1，a ＝(n∈N*)，则a ＝( ) n 1 n＋1 10 A. B． C. D． 3．已知数列{a}，{b}满足a＝，2a －a＝16a a，b＝－16，则b＝________. n n 1 n＋1 n n＋1 n n n (二) 数列的奇偶项问题 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征等差、等比数 列或其他特征求解原数列. 数列中的奇、偶项问题的常见题型： 1数列中连续两项和或积的问题a＋a ＝fn或a·a ＝fn； n n＋1 n n＋1 2含有－1n的类型；3含有{a }，{a }的类型； 2n 2n－1 4已知条件明确的奇、偶项问题. [例1] 已知数列{a}的前n项和为S ，对任意n∈N*，S ＝(－1)na ＋＋n－3且(t－a )(t－a)<0恒成 n n n n n＋1 n 立，则实数t的取值范围是________． [关键点拨] 切入点 由题意及S－S ＝a 可得a 的表达式，再根据n的奇偶性求a n n－1 n n n 迁移点 结合函数的单调性解不等式，注意n的范围 [例2] 已知数列{a}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{a}前n n n 项和为S，且满足S＝a，a＋a＝2＋a. n 3 4 3 5 4 (1)求数列{a}的通项公式； n (2)求数列{a}前2k项和S ； n 2k (3)在数列{a}中，是否存在连续的三项a ，a ，a ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所 n m m＋1 m＋2 有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由． [关键点拨] (1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知条件列方程组求得d，q 后可得通项公式； 切入点 (2)按奇数项与偶数项分组求和； (3)按m分奇偶讨论，利用2a ＝a ＋a ，寻找k的解 m＋1 m m＋2 障碍点 解第三问时不会由等差中项印证，从而造成无从下手 方法技巧 1．奇偶两重天 (1)项的奇偶性：数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列划分成两个新的数列进行考查， 很多同学对n为奇数时的情形产生混淆，往往会弄错新数列与原数列的项数； (2)项数的奇偶性：数列{a}中的任意一项a 的角标不是奇数就是偶数． n n2．处理策略 奇偶分离法，其本质其实就是分类讨论，只不过分类标准是项的奇偶性，按照奇数项与偶数项分而治 之地进行操作．分类讨论的一层涵义是不能合而分，我们也不要忽视分类讨论的另一层涵义是能合而不分， 能够站在整体视角看的就可以通过具体手段巧妙地避免分类讨论． 针对训练 1．(2022·运城期末)设首项为1的数列{a}的前n项和为S ，且a ＝若S >4 042，则正整数m的最小值 n n n m 为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 (三) 数列的公共项问题 将数列{a}与{b}看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新 n n 数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项. [典例] (1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则 n {a}的前n项和为________． n (2)已知两个等差数列{a}：5,8,11，…与{b}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{c}，则数列{c}的 n n n n 通项公式c＝________；若数列{a}和{b}的项数均为100，则{c}的项数是________． n n n n 方法技巧 求两个数列的公共项有两种方法 不定方程法 列出两个项相等的不定方程，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式 即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断，并找 周期法 到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式