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第 17 讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明
真题展示
2022 新高考一卷第 17 题
记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通
项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之
中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创
新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作
用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂
多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减
法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1 求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．反思感悟 公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前n项和
①等差数列：S＝na＋d(d为公差)或S＝.
n 1 n
②等比数列：S＝其中q为公比．
n
(2)四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2 求和：S＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
n
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比
数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3 设F(x)＝，求F＋F＋…＋F.
反思感悟 (1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反
序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a＋a)．
1 n
(2)如果一个数列{a}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
n
四、裂项相消法求和
例4 求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
延伸探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.反思感悟 (1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用
此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
五、错位相减法求和
例5 已知{a}是等比数列，{b}是等差数列，且a＝1，b＝3，a＋b＝7，a＋b＝11.
n n 1 1 2 2 3 3
(1)求数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)设c＝，n∈N*，求数列{c}的前n项和T.
n n n
反思感悟 一般地，如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a·b}的前n项和时，可采用错位
n n n n
相减法求和，在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出
n n
“S－qS”的表达式．
n n
六、并项求和法求和
例6 求和：S＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
n
反思感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进
行求和．三年真题
1．设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
2．已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
3．已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
4．已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
5．记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
6．已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，在Q中存在
，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
7．记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；(2)证明： ．
8．已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
9．记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
10．设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
11．记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，证明： 是等差数列.
12．已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
13．记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．14．已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
15．设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
16．已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
三年模拟一、单选题
1．已知角 的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且满足 ，则 的值为（ ）
A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
3．已知数列 为等差数列， 为等比数列 的前n项和，且 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．设 是由正整数组成且项数为 的增数列，已知 ， ，数列 任意相邻两项的差的绝
对值不超过1，若对于 中任意序数不同的两项 和 ，在剩下的项中总存在序数不同的两项 和 ，使得 ，则 的最小值为___________.
5．已知项数为m的有限数列 是1，2，3，…，m的一个排列.若
，且 ，则所有可能的m值之和为______.
6．数列 满足 ， ，则 __________
7．已知等差数列 中， ，则 的值等于__________.
8．已知公差为 且各项均为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为
__________.
9．已知数列 满足 ，且 ， 表示数列 的前n项和，则使不等式成立的正整数n的最小值是______．
三、解答题
10．已知数列 的前 项和为 ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ，求证: .
11．已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 .
12．近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启
动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达 ，每年年底把除运营成本
万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
(1)若 ，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到 万元）
13．若函数 是其定义域内的区间 上的严格增函数，而 是 上的严格减函数，则称
是 上的“弱增函数”.若数列 是严格增数列，而 是严格减数列，则称 是“弱增数
列”.
(1)判断函数 是否为 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 是自然对数的底数）；
(2)已知函数 与函数 的图像关于坐标原点对称，若 是 上的“弱增函
数”，求 的最大值；
(3)已知等差数列 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 的前 项和为 ，设
是正整数，常数 ，若存在正整数 和 ，使得 且 ，求 所有可能的
值.
14．已知数列 满足 ，记 ，在 中每相邻两项之间都插入3个数，使
它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列 ，若数列 中的第 项是数列 中的第 项.
(1)求数列 及 的通项公式.
(2)求数列 的前 项和 .16．已知 是数列 的前 项和，已知 目 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
