文档内容
专题 5-1 均值不等式及其应用归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................4
【题型一】公式应用及限制条件.............................................................................................................................4
【题型二】构造“公式型”......................................................................................................................................6
【题型三】“1”的代换.............................................................................................................................................7
【题型四】“积”与“和”混合型........................................................................................................................8
【题型五】构造分母代换型....................................................................................................................................10
【题型七】分离常数消去型....................................................................................................................................11
【题型八】消去型.......................................................................................................................................................13
【题型九】多次均值..................................................................................................................................................15
【题型十】多元均值..................................................................................................................................................16
【题型十一】权方和不等式....................................................................................................................................18
【题型十二】万能“k”法......................................................................................................................................20
【题型十三】整体换元.............................................................................................................................................21
【题型十四】均值应用：恒成立...........................................................................................................................22
专项训练.........................................................................................................................................................................24
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不
等式，换底公式可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所
以 ，即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常
用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，
简单明了，是该题的最优解．
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三
相等”，即可得出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值
为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等
号取不到，所以其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当
，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ，
，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，
再结合有关函数的性质即可解出．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在
上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式
即可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
4．（陕西·高考真题）已知不等式 对任意正实数x，y恒成立，则正实数
a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由 ，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大
于等于9，建立不等式，解之即可.
【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要 的最小值大于等于9即可，
，，
当且仅当 即 时等号成立， ，
或 舍去 ，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大
值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则
这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性
求最值.
5．（·天津·高考真题）已知函数 设 ，若关于x的不等式
在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式 为 (*)，
当 时，(*)式即为 ， ，
又 （ 时取等号），
（ 时取等号），
所以 ，
当 时，(*)式为 ， ，
又 （当 时取等号），
（当 时取等号），
所以 ，
综上 ．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足 转化为 去解决，由于涉
及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对 的两种不同情况进行讨论，针
对每种情况根据 的范围，利用极端原理，求出对应的 的范围.题型全归纳
综述
1．基本不等式：≤；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
2．常用不等式：
(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)重要不等式链：≥ ≥≥；
【题型一】公式应用及限制条件
【讲题型】
例题1.下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，取 ，则 ，故A错.
对于B，取 ，则 ，故B错..
对于C，取 ，则 ，故C错.
对于D，由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，
故选：D.
例题2.）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果.
【详解】因为 ，所以 ， ，
又根据基本不等式可得， ，
所以 .故选：C.【讲技巧】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最
大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号
则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【练题型】
1.下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 ，且 ，则
【答案】D
【分析】利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项.
【详解】对于A选项，当 时， ，所以A选项错误.
对于B选项，如 时， ，所以B选项错误.
对于C选项，由于 ，则 ， ，所以C选项
错误.
对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.
故选：D
2.给出下列条件：① ；② ；③ ， ；④ ， .其中能使
成立的条件有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据基本不等式可知，当 成立时，则 ，可知 、 同号，据此可得
出结论.
【详解】由基本不等式可知，要使得 成立，则 ，所以， 、 同号，所以
①③④均可以.
故选：C.
3.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
【答案】B
【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.
【详解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2 ，∴ ＜ ，而 ＝
＞0，
∴ ＜ ，故选：B
【题型二】构造“公式型”
【讲题型】
例题1.若x>1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，化简可得 ，利用基本不等式
即可得解.
【详解】由 ，可得 ，
，
当且仅当 ，即 取等号， 的最小值为 ，故选：A.
例题2.）若关于 的不等式 对任意 恒成立，则正实数 的取值集合为
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【答案】C
【分析】由题意可得 对任意 恒成立，由基本不等式可得最小值，
再由一元二次不等式的解法，可得 的取值集合.
【详解】由题意可得 对任意 恒成立，
由 ，可得 ，
当且仅当 即 时，取得等号，则 ，解得 .
故选：C.
【练题型】
1.设 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A【分析】原式可变形为 ，然后根据
基本不等式即可求解
【详解】 ， ，
，当且仅当
，
即 时取等号故选：A
2.已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题意，只需求 的最小值，再根据基本不等式求解即可.
【详解】∵ 且 ，∴ .
当且仅当 即 时取等号，此时 取得最小值小3.
故选:A.
【题型三】“1”的代换
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.
【详解】解析：由 得
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，所以 的最小值是4．
故选：C．
例题2.已知正实数 、 满足 ，则 的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得 的最小值判断.
【详解】解：因为正实数 、 满足 ，所以 ， ，当且仅当
，即 时，等号成立，故选：D
【练题型】
1.若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以， 的最小值为 .故选：B
2.已知 且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． } C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取 的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵ ，且 ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，∴ ，
由 恒成立可得 ，
解得： ，故选：D.
【题型四】“积”与“和”混合型
【讲题型】
例题1.已知 ， ，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 ，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 ， 时取等号．所以 的最小值为 .故选：C
例题2.若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 可得 ，由基本不等式可得
，即 ，解不等式即可求解.
【详解】由 可得 ，
因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，所以 ，解得：
，所以 ，
当且仅当 即 时等号成立， 的最小值为 .故选：D.
【讲技巧】
1.形如 求
型，
求
2.形如 型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应
的“和”的系数系数，如下：
【练题型】
1.若 ，且 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简整理式子可得 ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由 ，且 ，则 ，即 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .故选：D
2.已知a，b是正实数， ，则 的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简条件等式，再结合基本不等式求最值中“1”的妙用的技巧转化需要求解的
代数式，最后运用基本不等式得出结果即可.【详解】等式 的两边同除以 可得：
当且仅当 ，即 时，取等号，此时
选项D正确，选项ABC错误.故选：D.
【题型五】构造分母代换型
【讲题型】
例题1.若正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值
范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，将 展开利
用基本不等式求得最小值，再解不等式即可求解.
【详解】若不等式 有解，则
，
当且仅当 即 时， 最小值为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
解得： 或 ，故选：A.
例题2.若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值．
【详解】解：由题意，正数 ， 满足 ， ，当且仅当 ， 时取等号，故选：B.
【练题型】
1.若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，可将 化为 ，结合结合基本不等式即
可得出答案.
【详解】解：若 ， ，且 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．故选：B．
2.已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用 变形为 ，将 变形后利用均值不等式
求解.
【详解】因为 ,
所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：D
【题型七】分离常数消去型
【讲题型】
例题1.已知 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】 ，根据 结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解： ，
因为 ，又 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
即 的最小值是7.故选：C
例题2.已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将所求的代数式整理为 ，再
利用 的代换即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 即 时， 的取得最小值为 ，故选：D.
【练题型】
1.已知 为正实数且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题知 ，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 为正实数且 ，
所以 ，
所以，
因为 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，当且仅当 时等号成立；故选：D2.已知 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2
C．4 D．1
【答案】A
【分析】因为 ，所以 ，将 分离常数既可以用基本不等式求最值.
【详解】因为 ，所以 ，
由均值不等式可得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，因此， 的最小
值为3，
故选：A
【题型八】消去型
【讲题型】
例题1.已知点 在椭圆 上运动，则 最小值是__________．
【答案】 详解：点P（x，y）在椭圆x2+2y2=3上运动，∴x2+2y2=3即x2=3-2y2则
即最小值为 ，故答案为
例题2.已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【详解】由题意，可知 ，且 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 等号成立，即 最小值是 ，故选A.
【练题型】
1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由已知得 ，所以 ，记
，可得 ，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，得 ，
所以 ，
记 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以
，当且仅当 即 等号成立，
此时 ， .故选：A.
2.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 ，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.
【详解】因为ab+a+2b=7，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故选：A
3.已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】经转化可得 ， ，条件均满足，
即可得解.
【详解】根据题意可得 ，由 ，所以 ，
由 ，可得 ，即 ，
，
【题型九】多次均值
【讲题型】例题1.已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因 ，则
，
当且仅当 且 ，即 时取“=”，
所以当 时， 取最小值 .
故选：B
例题2.已知 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值排除错误选项，由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A选项正确.
【详解】当 时， ， ，所以CD选项错误.
当 时， ， ，所以B选项错误.
，
即 当且仅当 或 时等号成立.
则 ， ，解得 .
故选：A
【练题型】
1.设 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 ，
所以 ，（当且仅当 ，即 时取等号）.
故答案为：D
2.若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号，
则 的最大值为 ．故选：A．
【题型十】多元均值
【讲题型】
例题1.设正实数 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简 ，然后由基本不等式得最值，及 ，这样 可化
为 的二次函数，易得最大值．
【详解】 当且仅当 时成立，因此
所以 时等号成立．
故选：C．
例题2.已知P是面积为1的 ABC内的一点（不含边界），若 PAB， PAC， PBC的面
积分别为x，y，z，则 △ 的最小值是（ ） △ △ △
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题意得出 ，原式可化为 ，
利用基本不等式求出最小值．
【详解】解：因为三角形的面积为 ，且 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，即最小值为3．
故选：D．【练题型】
1.若a，b，c均为正实数，则三个数 ， ， （ ）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
【答案】D
【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等
式，可以确定 ， ， 至少有一个不小于2，从而可以得结论．
【详解】解：A. 都不大于2，结论不一定成立，如 时，三个数 ，
， 都大于2，所以选项A错误；
B. 都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如 则 ，所以选项B错误；
C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如 时，三
个数 ， ， 都大于2，所以选项C错误.
由题意，∵a，b，c均为正实数，
∴ ．
当且仅当 时，取“=”号，
若 ， ， ，则结论不成立，
∴ ， ， 至少有一个不小于2，所以选项D正确；
故选：D．
2.设 为 中的三边长，且 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由题意，记 ，又由 ，
则
，又 为△ABC的三边长，
所以 ，所以 ，另一方面
，
由于 ，所以 ，又 ，
所以 ，
不妨设 ，且 为 的三边长，所以 ．令 ，则 ，
当 时，可得 ，从而 ，
当且仅当 时取等号．故选：B．
【题型十一】权方和不等式
【讲题型】
例题1.若正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7
解：∵正数 满足 ，∴ ，解得 ，
∴ ，当且
仅当 时，等号成立，∴ 的最大值为 ．故选：B．
权方和：
例题2.已知 为正数，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】 试题分析：因为 ，所以 ，所以
，即 ，令
，则
，而 ，所以 ，即 ，故应填
．
权方和：
【讲技巧】
权 方 和 不 等 式 ： 设 证 明 ：【练题型】
4 1
1.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n=1，则 + 的最小值为__________．
3m+n m+3n
9
【答案】 【详解】令3m+n=x，m+3n= y，∴x+ y=4，∴
4
4 1 4 1 1 4 1 1 4 y x 9
+ = + = ( + )(x+ y) = (5+ + )≥ ，
3m+n m+3n x y 4 x y 4 x y 4
8 4 5 1
当且仅当x=2y,x+ y=4，即x= ,y= ，即m= ,n= 时等号成立.
3 3 6 6
4 1 9 9
+ 的最小值为 ，故答案为 .
3m+n m+3n 4 4
权方和：
2.已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意知 ，可得： ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，则 的最小值为 。故选：A．
(√2+1) 2 3+2√2 3
¿ = = +√2
权 方 和 ：
2a−2+2b 2 2
. 当 且 仅 当
1 √2
=
a−1 b a=√2，b=2-√2
时，即 时取等号
【题型十二】万能“k”法
【讲题型】
例题1..已知正数 满足 ，则 的最大值为__________．
【答案】 【解析】 ，令 ， ，
， ， 时等号成立，可得 最大值为9，故答案为9.
例题2.已知 ， ， ，则 的最小值为
A． B． C． D．4
【答案】C【详解】由题意，知 ，可得 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时取得等号，
所以 ，即 的最小值为 ，故选C．
【练题型】
1.已知 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C详解：设 ，则 ， ，
即
整理得： 当且仅当
当且仅当 时取 .
解得 或 （舍去） 即当 时， 取得最小
值8.故选C.
1 4
2.已知x+ y= + +8（x,y>0），则x+ y的最小值为（ ）
x y
A．5√3 B．9 C．4+√26 D．10
1 4 1 4
【答案】B【解析】x+ y= + +8⇒x+ y−8= + ，两边同时乘以“x+ y”得：
x y x y
1 4 y 4x
(x+ y−8)(x+ y)=( + )(x+ y)，所以(x+ y−8)(x+ y)=(5+ + )≥9，当且仅
x y x y
当y=2x时等号成立，令t=x+ y，所以(t−8)⋅t≥9，解得t≤−1或t≥9，因为x+ y>0，
所以x+ y≥9，即(x+ y) =9，故选B.
min
【题型十三】整体换元
【讲题型】
例题1.若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
√5+1
【详解】 由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy
4x+3y x−y
＝1且a = ，b = ，
4 4
x+3y x−y x2+5y2+2 2√5x2y2+2 √5+1
所以a2+b2＝（ ）2+（ ）2= ≥ = ，当且仅当x2
4 4 8 8 4
√5 √5+1
=√5，y2= 时取等．故答案为 ．
5 4
例题2.若实数 、 、 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】因为 ，所以
，所以
= ，当且仅当
时，等号成立. 故选D.
【练题型】
1.已知 ，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【详解】∵a，b∈R+，∴ ab，可得 ，当且仅当a=b=
或a=b=2取等
∵ ，∴（a+b） 5≥
（a+b） ，化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，则a+b的取值范
围是[1，4]．故选：A．
2.已知正实数 ， ，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可先对 作变形处理，得 ，结合基本不等式进
行放缩，可得 ，再进一步化简求值即可.
【详解】由 ，得 ，化简得
，解得 ，即 的取值范围为 ，故选：B.
【题型十四】均值应用：恒成立
【讲题型】
例题1.已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依题意可得 ，结合基本不等式可求 的最小值，然后由
恒成立可知 ，解不等式可求 的范围，从而得解．
解： ， ，且 ，
，
当且仅当 且 时取等号，此时 ，
若 恒成立． ， ，
解不等式可得， ，故实数 的最小值为 ，故选： ．
例题2.正数 ， 满足 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则
实数 ______.（填一个满足条件的值即可）
【答案】 ，填一个即可
解： ， ，且 ， ．
当且仅当 ，即 ， 时， ．若不等式 对任
意实数 恒成立，
则 ，即 对任意实数 恒成立， ，
． 实数 的取值范围是 故答案为： ，（答案不唯一）．
【练题型】
1.数列 中， ， ，若不等式 恒成
立，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由 ，化简为 ，得出 是等差数
列，
求出 ，然后，对于不等式 ，对 进行分类可得 的取值范
围.
【详解】解 : 由数列 满足 , ，两边取倒数可得：，
数列 是等差数列, 公差为1, 首项为2 ，
由 恒成立,得 , 当 为偶数时，
, 则 ，
当 为奇数时， ,则 ∴实数 的取值范围为 ，故答案为：
2.设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，求出 的值，代入 中化简，利用基本不等式
求出结果.
【详解】设 ，则
所以
当且仅当 即 时取等号
所以 的最小值是 ，则 的最大值为 .
故选A
一、单选题
1．已知 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【分析】利用均值定理即可求得 的最小值.
【详解】 时， ,
（当且仅当 时等号成立）则 的最小值为7.
故选：C
2．若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出 ，再结合 可得出结果.
【详解】由已知 ，利用基本不等式得出 ，
因为 ，则 ， ，
所以 ， ，
∴ .
故选：C.
3．已知x，y为正实数，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】结合基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意， ，
，
当且仅当 时等号成立.
故选：B
4．若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【分析】根据基本不等式可得 ，解出 ，即可得出答案.
【详解】因为 ， ，所以有 ，当且仅当 时，等号成立.
又 ，所以有 ，整理可得 ，
解得 或 （舍去）.
所以 ，所以 .所以当 时， 有最小值9.
故选：A.
5．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法表示出 代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，则 且，代入 中得：
当 即 时取“=”,
所以最小值为1.
故选：B
6．设 ，且 ，则 （ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最大值为 D．有最大值为
【答案】A
【分析】对 变形得到 ，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，故 ，
即 取等号.
故选：A.
7．若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得 的最小值，即可得到 的最大值.
【详解】因为 ， ， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立；所以 ，即 的最大值为 ，
故选：C.
8．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】令 ，则原不等式等价于 ，应用柯西不等式得
，再两次应用基本不等式求 的最小值，注
意最小值的取值条件.
【详解】令 ，即 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，
又 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
综上， ，即 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令 ，应用柯西不等式求得 ，
再利用基本不等式求 的最值即可.
二、多选题
9．在下列函数中，最小值是 的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， ， ，所以A选项不符合.
B选项， ，
当且仅当 时等号成立，所以B选项不符合.
C选项，对于函数 ，当 时， ，当且仅当 时等号成立.
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
综上所述， 的最小值是 ，符合题意.
D选项， ，
，
当且仅当 时等号成立，所以D选项符合.
故选：CD
10．若a，b均为正数，且满足 ，则（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为4
C． 的最小值是6 D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， ，
当且仅当 时等号成立，A选项正确.
B选项，
，但由 解得 ，不满足 ，
所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项， ，
当且仅当 时等号成立，所以C选项错误.
D选项， ，
所以当 ， 时，
取得最小值 ，D选项正确.
故选：AD
11．设正数 满足 ，则有（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由基本不等式推论可判断选项；对于B，利用分解因式结合A分析可判
断选项；对于C， ，利用基本不等式可判断选项；
对于D， ，利用基本不等式可判断选
项.
【详解】对于A，由基本不等式推论有 ，当且仅当 取等号.故A
正确.
对于B， ，由A分析可知
，则 ，当且仅当 取等号.故B正确.
对于C，
，当且仅当 ，即
时取等号.故C正确.
对于D，
，
当且仅当 ，即 时取等号.故D正确.
故选：ACD
12．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的最大值为 ；
B．函数 的最小值为2；
C．已知 ，则 的最小值为3；
D．若正数 满足 ，则 的最小值是3
【答案】AC
【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，则 的最大值为 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
所以 ，即 的最小值为 ，故B错误；
对于C，因为 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为3，故C正确；
对于D，因为 ， ，
所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
故 ，即 的最小值是4，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若三个正数 满足 ，则 的最小值为______.
【答案】 ##
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意 为正数， ，
所以
，
当且仅当 ，
， 时等号成立.
故答案为：14．若实数 满足 ， ，则 的最大值为______．
【答案】
【分析】由基本不等式求出 ， 变形得到 ，求出
，从而求出 的最大值.
【详解】由基本不等式得： ，当且仅当 ，即 时，等
号成立，
所以 ，解得： ，
又因为 ，所以 ，
化简得： ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
故 的最大值是 .故答案为： .
15．已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为__________.
【答案】
【分析】由于 ， ， 是正实数，且 ，所以先结合基本不等式“1”的代换求
的最小值，得 ，则 ，再根据基本不等式凑项法
求 的最小值，即可求得 的最小值.
【详解】解： ，由于 ， ， 是正实数，且 ，
所以
，当且仅当 ，即 ，
所以 时等号成立，
则 的最小值为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 最小值为 .故答案为： .16．已知正数 满足 ，则 的最小值是_________．
【答案】
【分析】根据题意，将等式 化简变形，得到 的表达式，根据表达
式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.
【详解】根据题意，由 可得 ，
即
所以 ；
又因为 均是正数，令 ，则
所以，
令 ，
则
当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以
所以 的最小值为 ;
即当 时，即 时，等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出
的表达式，根据 可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不
等式求解即可.
