文档内容
第第一一章章 算算法法初初步步…………………………………………………………………………11
11..11 算算法法与与程程序序框框图图………………………………………………………………………………22
1.1.1 算法的概念（第 1课时）………………………………31.1 算法与程序框图（共3课时）
11..11..11 算算法法的的概概念念（（第第 11 课课时时））
【【课课程程标标准准】】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），
体会算法的思想，了解算法的含义.
【【教教学学目目标标】】1.理解算法的概念与特点；
2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
【【教教学学重重点点】】算法概念以及用自然语言描述算法
【【教教学学难难点点】】用自然语言描述算法
【【教教学学过过程程】】
一、序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会
里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、
画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作
的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量
的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化
的步骤，这就是算法的思想.
二、实例分析
例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.
解：第一步：把水注入电锅；
第二步：打开电源把水烧开；
第三步：把烧开的水注入热水瓶.
（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）
例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法.
解： 算法1 按照逐一相加的程序进行
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.
n(n1)
算法2 可以运用公式1+2+3+…+n= 直接计算
2
第一步：取n=5；
n(n1)
第二步：计算 ；
2
第三步：输出运算结果.
（说明算法不唯一）
例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤）
（可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性）
例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；
第二步：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F 的方程组；
第三步：解出a，b，r或D，E，F ，代入标准方程或一般方程.
三、算法的概念
通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设
计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些
步步骤骤称称为为解解决决这这些些问问题题的的算算法法
在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或
步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
四四、、知知识识应应用用
例5：（课本第3页例1）（难点是由质数的定义判断一个大于1的正整数n是否为质数的基
本方法）练习1：（课本第4页练习2）任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法求出n的所
有因数.
解：根据因数的定义，可设计出下面的一个算法：
第一步：输入大于1的正整数n.
第二步：判断n是否等于2，若n 2，则n的因数为1，n；若n 2，则执行第三步.
第三步：依次从2到n1检验是不是整除n，若整除n，则是n的因数；若不整除n，
则不是n的因数.
例6：（课本第4页例2）
练习2：设计一个计算1+2+…+100的值的算法.
解：算法1 按照逐一相加的程序进行
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
……
第九十九步：将第九十八步中的运算结果4950与100相加，得到5050.
n(n1)
算法2 可以运用公式1+2+3+…+n= 直接计算
2
第一步：取n=100；
n(n1)
第二步：计算 ；
2
第三步：输出运算结果.
练习3：（课本第5页练习1）任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆
的面积.
解：第一步：输入任意正实数r；
第二步：计算S r2；
第三步：输出圆的面积S .
五五、、课课堂堂小小结结
11.. 算算法法的的特特性性：：
①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无
限的.
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不
应当是模棱两可.
③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通
过手工和机器在有限时间内完成.
④输入：一个算法中有零个或多个输入..
⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.
22.. 描描述述算算法法的的一一般般步步骤骤：：
①输入数据.（若数据已知时，应用赋值；若数据为任意未知时，应用输入）
②数据处理.③输出结果.
六六、、作作业业
1. 有A、B、C三个相同规格的玻璃瓶，A装着酒精，B装着醋，C为空瓶，请设计一个算
法，把A、B瓶中的酒精与醋互换.
2. 写出解方程x2 2x30的一个算法.
3. 利用二分法设计一个算法求 3的近似值（精确度为0.005）.
4. 已知A(x ,y )，B(x ,y )，写出求直线AB斜率的一个算法.
1 1 2 2
x2 x1 （x 2）
5. 已知函数 f(x) 设计一个算法求函数的任一函数值
x1 （x 2）
1.1.2 程序框图（第 2 课时）
【课程标准】通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体
问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：
顺序、条件分支、循环.
【教学目标】1.理解程序框图的概念；
2.掌握运用程序框图表达顺序结构和条件结构的算法；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
【教学重点】运用程序框图表达顺序结构和条件结构的算法
【教学难点】规范程序框图的表示以及条件结构算法的框图
【教学过程】
一、回顾练习
1. 已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，利用海伦—秦九韶公式设计一个算法，求出
它的面积.
2. 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否
存在.
二、程序框图的有关概念
1. 两道回顾练习的算法用程序框图来表达，引入程序框图概念.
2. 程序框图的概念
程序框图又称流程图，是一种规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形.
3. 构成程序框图的图形符号及其作用（课本第6页）
4. 规范程序框图的表示：
①使用标准的框图符号.
②框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范.
③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点.
④一种判断是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；
另一种是多分支判断，有几种不同的结果.
输入
⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.
三、顺序结构
语句
输出顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成.
例1：（课本第9页例3）
练习1：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值. 开始
解：算法如下： 程序框图：
输入A，B
第一步：输入A，B的值.
第二步：把A的值赋给x.
x=A
第三步：把B的值赋给A.
第四步：把x的值赋给B. A=B
第五步：输出A，B的值.
B=x
输出A，B
结束
四、条件结构 否
满足条件？
根据条件判断，决定不同流向.
是
语句1 语句2
例2：（课本第10页例4）
练习2：有三个整数a，b，c，由键盘输入，输出其中最大的数.
解：算法1
第一步：输入a，b，c；
第二步：若a b，且a c；则输出a；否则，执行第三步；
第三步：若b c，则输出b；否则，输出c.
算法2
第一步：输入a，b，c；
第二步：若a b，则t a；否则，t b；
第三步：若t c，则输出t；否则，输出c.
练习3：已知 f(x) x2 2x3，求 f(3) f(5)的值.
设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图.解：算法如下：
第一步：x 3；
第二步： y x2 2x3；
1
第三步：x 5；
第四步：y x2 2x3；
2
第五步： y y y ；
1 2
第六步：输出y.
练习4：设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出程序框图.
解：第一步：输入任意实数x；
第二步：若x 0，则y x；否则y x；
第三步：输出y.
练习5：（课本第18页例6）设计一个算法，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输
出，
并画出程序框图.
练习6：
五、课堂小结
1. 画程序框图的步骤：首先用自然语言描述解决问题的一个算法，再把自然语言转化为程
序框图；
2. 理解条件结构的逻辑以及框图的规范画法，条件结构主要用在判断、分类或分情况的问
题解决中.
六、作业
5
1. 已知华氏温度F 与摄氏温度C的转换公式是：(F 32) C，写出一个算法，并画
9
出程序框图，使得输入一个华氏温度F ，输出其相应的摄氏温度C.
2. 如果考生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”，试写出一个算
法，并画出程序框图.
3. 画出1+2+3+4+5的一个算法的程序框图.
4. （课本第20页习题1.1A组第2题）
5. 输入一元二次方程ax2 bxc 0的系数，输出它的实数根，试写出一个算法，并画出
程序框图.
1.1.2 程序框图（第 3 课时）
【课程标准】通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体
问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
【教学目标】1.进一步理解程序框图的概念；
2.掌握运用程序框图表达循环结构的算法；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
【教学重点】运用程序框图表达循环结构的算法
【教学难点】循环体的确定，计数变量与累加变量的理解.
【教学过程】
一、回顾练习
引例：设计一个计算1+2+…+100的值的算法.
解：算法1 按照逐一相加的程序进行
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
……
第九十九步：将第九十八步中的运算结果4950与100相加，得到5050.
简化描述： 进一步简化：
第一步：sum=0； 第一步：sum=0，i=1；
第二步：sum=sum+1； 第二步：依次 i从 1到 100，反复做
sum=sum+i；
第三步：sum=sum+2； 第三步：输出sum.
第四步：sum=sum+3；
……
第一百步：sum=sum+99；
第一百零一步：sum=sum+100
第一百零二步：输出sum.
根据算法画出程序框图，引入循环结构.
二、循环结构
循环结构：在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处
理步骤的情况，这种结构称为循环结构.
循环体
循环体
满足条件？
满足条件？
否
是
是
否循环体：反复执行的处理步骤称为循环体.
计数变量：在循环结构中，通常都有一个起到循环计数作用的变量，这个变量的取值
一般都含在执行或终止循环体的条件中.
当型循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，
不满足则停止.
直到循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环体进行判断，当条件不满足时执行
循环体，满足则停止.
练习1：画出引例直到型循环的程序框图.
当型循环与直到循环的区别：①当型循环可以不执行循环体，直到循环至少执行一次
循环体.
②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断. ③对同一算法来说，当型循环和
直到循环的条件互为反条件.
练习2：1.1.1节例1的算法步骤的程序框图（如图）
说明：①为了减少难点，省去flag标记；
②解释赋值语句“d 2”与“d d 1”，还有“d n1；
③简单分析.
练习3：画出123100的程序框图.
小结：画循环结构程序框图前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，
即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件.
三、条件结构与循环结构的区别与联系
区别：条件结构通过判断分支，只是执行一次；循环结构通过条件判断可以反复执行.
联系：循环结构是通过条件结构来实现.
例1：（课本第10页的《探究》）画出用二分法求方程x2 2 0的近似根（精确度为0.005）
的程序框图，并指出哪些部分构成顺序结构、条件结构和循环结构？
练习4：设计算法，求使123n 2005成立的最小自然数n的值，画出程序框图.
练习5：输入50个学生的考试成绩，若60分及以上的为及格，设计一个统计及格人数的程
序框图.
练习6：指出下列程序框图的运行结果
五、课堂小结
1. 理解循环结构的逻辑，主要用在反复做某项工作的问题中；
2. 理解当型循环与直到循环的逻辑以及区别：
①当型循环可以不执行循环体，直到循环至少执行一次循环体.②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断.
③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.
3. 画循环结构程序框图前：
①确定循环变量和初始条件；
②确定算法中反复执行的部分，即循环体；
③确定循环的转向位置；
④确定循环的终止条件.
4. 条件结构与循环结构的区别与联系：
区别：条件结构通过判断分支，只是执行一次；循环结构通过条件判断可以反复执行.
联系：循环结构是通过条件结构来实现.
七、作业
1. 设计一个算法，计算两个非0实数的加、减、乘、除运算的结果（要求输入两个非0实数，
输出运算结果），并画出程序框图.
2. 设计一个算法，判断一个数是偶数还是奇数（要求输入一个整数，输出该数的奇偶性），
并画出程序框图.
3. 设计一个算法，计算函数 f(x) x2 3x5当x 1,2,3,,20时的函数值，并画出程序
框图.
4. （课本第11页习题1.1A组第2题）
5. 如果我国工农业产值每年以9%的增长率增长，问几年后我国产值翻一翻，试用程序框图
描述其算法.
6.（课本第20页习题1.1B组第1、2题）
1.2 基本算法语句（共3课时）（有条件在电脑室上）
1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句（第 1 课时）
【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句—
—输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想
【教学目标】1.理解输入语句、输出语句和赋值语句；
2.能运用输入语句、输出语句和赋值语句表达解决具体问题的过程；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
【教学重点】输入语句、输出语句和赋值语句的表示方法、结构和用法
【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，赋值语句的逻辑关系
【教学过程】
一、回顾知识
顺序结构及其框图
二、输入语句、输出语句和赋值语句
例1：（课本第21页例1）
分析：首先画出解决该问题算法的程序框图，并解析BASIC语言中的数学运算符号表示.
如：23写成2*3，53写成5^3，53写成5/3，5除以3的余数为“5 MOD 3”，5除以3的商为“5\3”， 2 写成“SQR（2）”， x 写成“ABS（x）”等等.
1. 输入语句的一般格式
INPUT “提示内容”；变量
说明：①输入语句的作用是实现算法的输入信息功能.②“提示内容”提示用户输入什么
样的信息，用双引号.③提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与
变量之间用逗号“，”隔开，如“INPUT “a=,b=,c=”；a，b，c”.④变量是指程序在运行是
其值是可以变化的量，如③中的a，b，c都是变量，通俗把一个变量比喻成一个盒子，盒子
内可以存放数据，可随时更新盒子内的数据.⑤如③中当依次输入了1，2，3程序在运行时
把输入的值依次赋给a，b，c，即a=1，b=2，c=3.
例如，输入一个学生数学、语文、英语三门课的成绩：
INPUT “Maths，Chines，English”；a，b，c
输入任意整数n：
INPUT “n=”；n
2. 输出语句的一般格式
PRINT “提示内容”；表达式
说明：①输出语句的作用是实现算法的输出结果的功能，可以在计算机的屏幕上输出常量、
变量的值和系统信息.②“提示内容”提示用户输出什么样的信息，用双引号.③提示内容与
表达式之间用分号“；”隔开. ④要输出表达式中的字符，需要用双引号“”，如：PRINT
“提示内容：”；“a+2”，这时屏幕上将显示：提示内容：a+2.
例如，下面的语句可以输出斐波那契数列：
PRINT“The Fibonacci Progression is:”；1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…”
这时屏幕上将显示：
The Fibonacci Progression is: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
例2：（课本第23页例2）
分析：补充写出屏幕上显示的结果.
3.赋值语句的一般格式
变量=表达式
说明：①赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量.②赋值语句中的“=”叫做赋值
号，它和数学中的等号不完全一样；赋值号的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边
的表达式的值赋给赋值号左边的变量，如a=b表示用b的值代替变量a原先的值.③格式中
右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的
作用是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量，如若a=1，b=2，c=a+b
是指先计算a+b的值3赋给c，而不是将a+b赋给c.
例3：（课本第25页例3）
分析：先画出程序框图，重点分析“A=A+15”.
例4：（课本第15页例4）
分析：先画出程序框图.4. 输入语句、输出语句和赋值语句之间的区别
（1）输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；赋值语句是程
序内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量.
（2）输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；输出语句是程
序运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出.
三、课堂练习
1. （课本第24页练习1） （要求：先画出程序框图）
2. （课本第24页练习2） （要求：先画出程序框图）
3. （课本第24页练习3）
4. （课本第24页练习4） （要求：先画出程序框图）
5. （课本第33页习题1.2A组第1题）
6.
四、课堂小结
1. 理解输入语句、输出语句和赋值语句的一般格式，注意标点符号的使用以及数学符号的
表示和数学式子的表示；
2. 赋值语句与数学中等号的区别.
3. 编写一个程序的步骤：首先用自然语言描述问题的一个算法，然后把自然语言转化为程
序框图，最后把程序框图转化为程序语句.
4. 输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；赋值语句是程序
内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量.
5. 输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；输出语句是程序
运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出.
五、作业
1.（课本第33页习题1.2A组第2题）
2. 编写一个程序，给任意三个变量a、b、c赋值，求b2 4ac的值.
3. 已知直线方程为AxByC 0 (AB 0)，试编写一个程序，要求输入符合条件的A、
B、C的值，输出该直线在x轴、y轴上的截距和斜率.
4. 编写一个程序，任意输入五个数，并在每加一个数时输出当时的累加和.1.2 基本算法语句（共3课时）（有条件在电脑室上）
1.2.2 条件语句（第 2 课时）
【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句—
—输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想
【教学目标】1.理解、掌握条件语句；
2.能运用条件语句表达解决具体问题的过程；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力，进一步体会算法思想.
【教学重点】条件语句的表示方法、结构和用法
【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，条件语句的逻辑关系
【教学过程】
一、回顾知识
1. 什么是条件结构？画出其程序框图.
2.练习：写出解不等式ax b (a 0)的一个算法，并画出程序框图.
二、条件语句
1. 把回顾练习中的程序框图转化为程序语句.
INPUT “a=”；a
INPUT “b=”；b
IF a>0 THEN
PRINT “不等式的解为：x ”；a/b
ELSE
PRINT “不等式的解为：x ”；a/b
END IF
END
2. 条件语句的一般格式
否
（1）IF—THEN—LESE形式 满足条件？
IF 条件 THEN 是
语句1 语句1 语句2
ELSE
语句2
END IF说明：①当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执
行THEN后的语句，否则执行ELSE后的语句.②书写时一个条件语句中的IF与END IF要对齐.
否
满足条件？
（2）IF—THEN形式 是
IF 条件 THEN 语句
语句
END IF
说明：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN
后的语句，否则直接结束该条件语句.
三、知识应用 x2 x1 （x 2）
练习1：已知函数 f(x) x 1 （ x 2） 编写一个程序，对每输入的一个x值，
都得到相应的函数值.
例1：（课本第25页例6）编写程序，输入一元二次方程ax2 bxc 0的系数，输出它
的实数根.
分析：首先画出程序框图，再转化为程序语句；解释平方根与绝对值BASIC语言的表
示；注意两重条件的表示方法.
例2：（课本第27页例7）编写程序，使得任意输入的3个整数按从大小的顺序输出.
分析：首先画出程序框图，再转化为程序语句.
四、课堂练习
1. （课本第29页练习1）
2. （课本第29页练习2）
3. （课本第29页练习3） （要求：先画出程序框图）
4. （课本第29页练习4） （要求：先画出程序框图）
5. 6.
五、课堂小结
1.理解条件语句的两种表达形式以及何时用格式1、何时用格式2.
2.注意多个条件的语句表达方法：如(a+b>c) AND (b+c>a) AND (a+c>b).
3.条件语句的嵌套，注意END IF是和最接近的匹配，要一层套一层，不能交叉.
3.编写一个程序的步骤：首先用自然语言描述问题的一个算法，然后把自然语言转化为
程序框图，最后把程序框图转化为程序语句.
六、作业
1.（课本第23页习题1.2A组第3题）2.（课本第24页习题1.2B组第2题）
3. 某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；
如果通话 超过3分钟，则超过部分以0.1元/分钟收取通话费.问：设计一个计算通话费用的
算法，并且画出程序框图以及编出程序.
4. 编写一个程序，任意输入一个整数，判断它是否是5的倍数.
5. 基本工资大于或等于600元，增加工资10%；若小于600元大于等于400元，则增加工
资15%；若小于400元，则增加工资20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资，计算
出增加后的工资.
1.2 基本算法语句（共3课时）（有条件在电脑室上）
1.2.3 循环语句（第 3 课时）
【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句—
—输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想
【教学目标】1.理解、掌握循环语句；
2.能运用循环语句表达解决具体问题的过程；3.培养学生逻辑思维能力与表达能力，进一步体会算法思想.
【教学重点】循环语句的表示方法、结构和用法
【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，当型循环和直到型循环的格式
与逻辑的区别与联系.
【教学过程】
一、回顾知识
1. 什么是循环结构？画出其程序框图.
2. 引例：（课本第13页例6）设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图.
分析：由程序框图转化为程序语句，引入循环语句.
二、循环语句
循环体
1. 当型（WHILE型）语句的一般格式：
WHILE 条件
满足条件？
循环体 是
否
WEND
说明：当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE
与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个
过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND
语句后，接着执行WEND之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.
循环体
2. 直到型（UNTIL型）语句的一般格式：
DO
满足条件？
否
循环体
是
LOOP UNTIL 条件
说明：当计算机遇到UNTIL语句时，先执行DO和LOOP UNTIL之间的循环体，然后判
断条件是否成立，如果不成立，执行循环体.这个过程反复执行，直到某一次符合条件为止，
这时不再执行循环体，跳出循环体执行LOOP UNTIL后面的语句. 因此，直到型循环有时
也称为“后测试型”循环.
3.当型循环与直到型循环的区别：
①当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断.
②当型循环用WHILE语句，直到型循环用UNTIL语句.
③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.
三、知识应用
练习1：编写程序，计算函数 f(x) x2 3x5当x 1,2,3,,20时的函数值.
1 1 1
例1：设计一个算法，求1 的和（其中n的值由键盘输入），画出程序
3 5 2n1
框图并编程.例2：把课本第7页的程序框图转化为程序语句.
练习2：（课本第32页练习1）
练习3：（课本第32页练习2）
练习4：某玩具厂2004年的生产总值为200万元，如果年生产增长率为5%，试编一个程序，
计算最早在哪一年生产总值超过300万元.
练习5： 练习6：
四、课堂小结
1. 理解、掌握当型循环和直到型循环的逻辑与格式的区别与联系.
2. 当型、直到型循环条件的构造，循环体的确定.
3. 由程序框图转化为程序语句时，条件结构和循环结构的区别.
4. 编写一个程序的步骤：首先用自然语言描述问题的一个算法，然后把自然语言转化为程
序框图，最后把程序框图转化为程序语句.
五、作业
1.（课本第33页习题1.2A组第1题）
2.（课本第33页习题1.2A组第2题）
3.（课本第33页习题1.2A组第3题）
4.（课本第33页习题1.2B组第1题）
1.3算法案例（共3课时）
辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法（第 2 课时）
【课程标准】通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡
献.
【教学目标】1.理解辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法；
2.能对辗转相除法、更相减损术和秦九韶进行算理分析，学会应用算法解题；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力，进一步体会算法思想.
【教学重点】辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的算理分析
【教学难点】辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的算理分析
【教学过程】
一、回顾知识
1.什么是顺序结构，及其程序框图；输入、输出语句与赋值语句的一般格式.
2.什么是条件结构，及其程序框图；条件语句的一般格式.
3.什么是循环结构，及其程序框图；循环语句的一般格式.
二、辗转相除法
练习1：求18与30的最大公约数.例1：求8251与6105的最大公约数.
分析：引入辗转相除法.
1. 辗转相除的原理.
简单分析
2. 辗转相除法的算法分析.
用较大的数除以较小的数，得到除式m nqr (0 r n)，直到r 0.
课本第26页的图是直到型循环，还可以用当型循环.
直到型循环程序： 当型循环程序：
INPUT “m=”；m INPUT “m=”；m
INPUT “n=”；n INPUT “n=”；n
IF m0
n=r m=n
LOOP UNTIL r=0 n=r
PRINT “m与n的最大公约数：”；m r=m MOD n
END WEND
PRINT “m与n的最大公约数：”；n
END三、更相减损术
算法分析：比较两个数的大小，较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比
较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求
的最大公约数.
当型循环程序：
INPUT “m=”；m
INPUT “n=”；n
IF mr
IF n、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P
62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，
思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们
提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从
这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）
（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为
其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据
众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由
样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中
位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和
右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。（图略见课本63页图
2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原
因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数
居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端
值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的
片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该
地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五
十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体
素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选
手去参加正式比赛？
我们知道，x 7， x 7。
甲 乙两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２２.
-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我
们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数
的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据x x ,x 的标准差的算法：
1, 2, n
（1）、算出样本数据的平均数x。
（2）、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：x x(i 1,2,n)
i
（3）、算出（２）中x x(i 1,2,n)的平方。
i
（4）、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（5）、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显
1
s [(x x)2 (x x)2 (x x)2] 然 ，
n 1 2 n 标 准
差 较
大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
s 0
从标准差的定义和计算公式都可以得出： 。当s 0时，意味着所有的样本数据都等
于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的
方法。）
２．方差
s2
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方 （即方差）来代替标准差，作为测量样本
数据分散程度的工具：
1
s2 [(x x)2 (x x)2 (x x)2]
n 1 2 n
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采
用标准差。
【例题精析】
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式
即可算出每一组数据的标准差。解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ77）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的
平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得
相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间
的差异的估计值。
【课堂精练】
P 练习 1. 2. 3
79
【课堂小结】
1． 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
a) 用样本平均数估计总体平均数。
b) 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
2． 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3． 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【课后作业】
1.作业本配套练习
1．P 习题2.2 A组 ３、5、6、7
81课课题题：：§§22..33..11 变变量量之之间间的的相相关关关关系系
一．教学任务分析:
（1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着
不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.
(2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间
的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断.
(3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用.
二．教学重点与难点：
教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系.
教学难点：理解变量间的相关关系.
三．教学基本流程:
通过具体实例说明变量之间的相关关系
↓
利用散点图认识变量间的相关性
↓
对现实问题中两个有关联变量的相关性作出判断
↓
巩固练习，小结、作业
四.教学情境设计:
1．创设情景，揭示课题
客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因
果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是
“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是
学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一
种非确定性关系——相关关系.
生活中存在着许多相关关系的问题:
问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系.
问题2:粮食产量和施肥量之间的关系.
问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.
由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取
值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系
是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系.
2.两个变量的线性相关
问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:
年
23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
龄脂 9. 17. 21. 25. 27. 26. 28. 29. 30. 31. 30. 33. 35. 34.
肪 590 8 2 9 5 3 2 6 2 4 8 5 2 5
根据上述数据,人体的脂肪含量和年龄之间有怎样的关系?
80
x y
学生活动:为了了解人体的脂肪含量和年龄大致关系，我们以横坐标 表示年龄，纵坐标
70
表示人体的脂肪含量，建立直角坐标系，将表中数据构成的14个数对所表示的点在坐标系
内标出60 ，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
50
40
30
20
10
-20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-10
从散点图可以看出. 各散点在从左下角到右上角的区域,表明年龄越大, 体内脂肪含量越高,
图中-点20 的趋势表明两个变量之间存在一定的关系.这种关系称为正相关.
问题5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热
茶的杯数与当天气温的对照表：
气温/ 0 C 26 18 13 10 4 1
杯数 20 24 34 38 50 64
根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系?
x y
学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标 表示气温，纵坐标 表示
6
热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的 个数对所表示的点在坐标系内标出，得到
下图，
180
160
140
120
100
80
60
40
20
-20 20 40 60 80 100 120 140 160
-20
-40从散点图可以看出,各散点在从左上角到右下角的区域里,因此,随着气温的升高, 热茶销售
量逐步减少,图中点的趋势表明两个变量之间存在一定的关系.这种相关关系称为负相关.
3. 两个变量的线性相关性的判断
例题1：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与
交通事故数之间是否有线性相关关系，说明理由．
机 95 11 11 12 12 13 150 18
动 0 2 0 9 5 0
车
辆
数
x
／
千
台
交 6. 7. 7. 8. 8. 9. 10. 13
通 2 5 7 5 7 8 2
事
故
数
y
／
千
件
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相
关关系．正相关.
4．练习：
（1）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
（2）给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
请判断施化肥量对水稻产量是否有影响,说明理由．
5. 课外作业：
作业本配套练习课课题题：：§§22..33..11 线线性性回回归归方方程程（（11））
一．教学任务分析:
（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量
间的相关关系.
(2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式
建立线性回归方程．
(3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程
进行预测.
二．教学重点与难点：
教学重点：回归直线方程的求解方法．
教学难点：回归直线方程的求解方法.
三．教学基本流程:
通过具体实例说明变量之间的相关关系
↓
利用散点图认识变量间的相关性
↓
对现实问题中两个有关联变量的相关性作出判断
↓
巩固练习，小结、作业
四.教学情境设计:1．创设情景，揭示课题
在上节课,为了了解热茶销量与气温的大致关系.
气温/0C 26 18 13 10 4 1
杯数 20 24 34 38 50 64
我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的
6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到散点图.
180
从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心
160
的一条直线的附近. 140
120
如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的
100
附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线 80
60
叫回归直线.
40
如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清 20
楚的了解热茶销量与气温之间的关系. -20 20 40 60 80 100 120 140 160
-20
2.最小二乘法 -40
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?
我们有多种思考方案:
(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；
（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直
线的斜率、截距；
………………
怎样的直线最好呢?
------从整体上看,各点与此直线的距离最小.
即: 用方程为yˆ bxa的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.
那么，怎样衡量直线yˆ bxa与图中六个点的接近程度呢？
我们将表中给出的自变量 x的六个值带入直线方程,得到相应的六个 yˆ 的值:
26ba,18ba,13ba,10ba,4ba,ba.这六个值与表中相应的实际值应该越接近
越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和:
Q(a,b)(26ba20)2 (18ba24)2 (13ba34)2 (10ba38)2
(4ba50)2 (ba64)2
1286b2 6a2 140ab3820b460a10172
Q(a,b)是直线 yˆ bxa与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量
直线 yˆ bxa与图中六个点的接近程度,所以,设法取a,b的值,使Q(a,b)达到最小值.这种
方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) .
140a3820
先把a看作常数,那么Q是关于b的二次函数.易知,当b 时, Q取得最小
21286
140b460
值.同理, 把b看作常数,那么Q是关于a的二次函数.当a 时, Q取得最小
12
140a3820
b
值.因此,当 21286 时，Q取得最小值，由此解得b1.6477,a57.5568.所求
140b460
a
12
直线方程为 yˆ 1.6477x57.5568.当 x5时,yˆ 66,故当气温为5 0C时,热茶销
量约为66杯.
3.线性回归方程的求解方法一般地,设有n个观察数据如下：
x x x x … x
1 2 3 n
y y y y … y
1 2 3 n
当a,b使Q(y bx a)2 (y bx a)2 ...(y bx a)2取得最小值时,就
1 1 2 2 n n
称yˆ bxa为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.
上述式子展开后，是一个关于a,b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时
的a,b的值．即
n n
(x x)(y y) x y nxy
i i i i
b i1 i1
n
(x x
)
n
x2 nx
2
,（*） x 1 n x , y 1 n y
i i n i n i
i1 i1 i1 i1
a ybx
yˆ bx a
线性回归方程是 ,其中b是回归方程的斜率,a是截距.系数
4.求线性回归方程的步骤：
(1)计算平均数x,y；
(2)计算x与y 的积，求x y ；
i i i i
(3)计算x 2 ；
i
n
x y nxy
(4)将结果代入公式 i i ,求b；
b i1
n 2
x2 nx
i
i1
(5)用 a ybx,求a；
(6)写出回归方程
5. 线性回归方程的应用
例题:给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归直线方程
解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i 1 2 3 4 5 6 7
x 15 20 25 30 35 40 45
i
y 330 345 365 405 445 450 455
i
xy 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475
i i
7 7 7
x30,y399.3,x2 7000,y2 1132725,x y 87175
i i i i
i1 i1 i1
87175730399.3
b 4.75,
故可得到 70007302
a 399.34.7530 257^
从而得回归直线方程是y 4.75x257．
6.小结：
对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数
a,b的计算公式，算出a,b．写出回归方程
7.课外作业：33..11 随随机机事事件件的的概概率率
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A
出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f （A）与
n
事件A发生的概率P（A）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问
题．
2、过程与方法：（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试
验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；（2）通过对现实生活中的
“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题
的方法，理解逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
二、重点与难点：（1）教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；（2）
教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三
类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地
发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒
体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时
间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。
2、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试
n
验中事件A出现的次数n 为事件A出现的频数；称事件A出现的比例f (A)= A 为事件A
A n
n
出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f (A)
n
稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n 与试验总次数n
A
n
的比值 A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，
n
这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事
件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
（7）似然法与极大似然法：见课本P111
3、例题分析：
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
答：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；
事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
m
击中靶心的频率
n
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数n 与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频
A
率f （A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
n
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习：一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9607 13520 17190
男婴数 2883 4970 6994 8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517.
n
（2）由表中的已知数据及公式f （A）= A 即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常
n
n
数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．
例3 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8
环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？
中10环的概率约为多大？
9
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为 =0.9，所以中靶的概率约为0.9．
10
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
1
例4 如果某种彩票中奖的概率为 ，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意
1000
义解释。
分析：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000
次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是
随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也
可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其
公平性。
分析：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球
权的概率是0.5。
解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何
一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结：事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结：概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用
这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习：
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
m
进球频率
n
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点
雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
6、评价标准：
1．B[提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。]
2．C[提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3 ． 解 ： （ 1 ） 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.8
93,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
4．解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频
率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
5．解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发
生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有
下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业：根据情况安排3.1.3 概率的基本性质（第三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、
对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）
当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，
则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的
类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识
应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。
二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理
解和认识；2、教学用具：投灯片
四、教学设计：
1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C ={出现1点}，C ={出现2点}，C ={出现1
1 2 3
点或2点}，C ={出现的点数为偶数}……
4
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，
则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是
指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发
生，另一个必发生。
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少
一个发生）.
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=
1 1
，P(B)= ，求出“出现奇数点或偶数点”．
2 2
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加
法公式求解．解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=
1 1
+ =1
2 2
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是
1 1
，取到方块（事件B）的概率是 ，问：
4 4
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求
解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
1 1
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)= （2）P(D)=1—P(C)=
2 2
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为
1 5 5
，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、得到
3 12 12
黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，
5 5 1 2
则有P(B∪C)=P(B)+P(C)= ；P(C∪D)=P(C)+P(D)= ；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1- = ,解
12 12 3 3
1 1 1
的P(B)= ,P(C)= ,P(D)=
4 6 4
1 1 1
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 ．
4 6 4
4、课堂小结：概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事
件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事
件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B
发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个
发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立
事件互斥事件的特殊情形。
5、自我评价与课堂练习：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判
断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=
1 1
，P（B）= ，求出现奇数点或2点的概率之和。
2 6
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是
1 12
黑子的概率是 ，从中取出2粒都是白子的概率是 ，现从中任意取出2粒恰好是同一色
7 35
的概率是多少？
6、评价标准：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰
好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不
是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，
也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”
1 1 2
的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）= + =
2 6 3
3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，
即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率
的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为
对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概
1 12 17
率的和，即为 + =
7 35 35
7、作业：根据情况安排
33..22 古古典典概概型型（（第第四四、、五五课课时时））
3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事
件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
A包含的基本事件个数
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
总的基本事件个数
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问
题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证
唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，
并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，
感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，
它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只
有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
A包含的基本事件个数
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）= ．
总的基本事件个数
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
m 3 1
所以，P（A）= = = =0.5
n 6 2
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a ，a 和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，
1 2 1
连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，
即（a ，a ）和，（a ，b ），（a ，a ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，a ）。其中小括号内左边的
1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2
字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，
恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a ，b ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，a ）]
1 1 2 1 1 1 1 2
4 2
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）= =
6 3
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，
所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件
83
共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
103
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），
则 x有 10种可能，y有 9种可能，z有 8种可能，所以试验的所有结果为 10×9×8=720
种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以
336
P(B)= ≈0.467．
720
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种
可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），
是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事
56
件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
120
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺
序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
RAND RANDI
PRB
STAT DEC
RANDI（1，100）
ENTER
STAT DEG
RAND （1,100）
ENTER
3．
STAT DEC
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投
篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概
型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的
取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的
概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰
有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮
5
中恰有两次投中的概率近似为 =25%。
20
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算
机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按 SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何
一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand
（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要
产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
总的基本事件个数
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们
自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各
个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤
维的概率是（ ）
30 12 12
A． B． C． D．以上都不对
40 40 30
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的
概率是
1 1 4 1
A． B． C． D．
5 4 5 10
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中
至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是
12
等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为 ，因此选B.]
40
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订8 4
（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）= = .（方法2）本题还
10 5
可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与
2 4
取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－ = .]
10 5
7
3． [提示；记大小相同的5个球分别为红 ，红 ，白 ，白 ，白 ，则基本事件为：
1 2 1 2 3
10
（红 ，红 ），（红 ，白 ），（红 ，白 ）（红 ，白 ），（红 ，白 ），共10个，其中至少
1 2 1 1 1 2 1 3 2 3
7
有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为 .本题还可以利用“对立
10
事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，
即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，
我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子
的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），
5
（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为 .
36
5．解：具体操作如下
键入
PRB PAND RANDI
STAT DEG
ENTER PANDI（1,20）
STAT DEG
PANDI（1,20）
ENTER
3．
STAT DEG
反复按 E N TER 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
PRB PAND RANDI
STAT DEG
ENTER PANDI（0,1）
STAT DEG
PANDI（0,1）
ENTER
0
STAT DEG7、作业：根据情况安排
3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P（A）= ；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应
用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）
通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习
惯。
二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方
法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果
的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可
能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中
的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面
积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P（A）= ；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个
基本事件出现的可能性相等．
3、例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当
指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概
型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于
古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概
率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不
多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间
有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概
率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站
等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时
间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设 A={等待的时间不多于 10分钟},我们所关心的事件 A恰好是到站等车的时刻位于
6050 1
[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= = ，即此人等车时
60 6
1
间不多于10分钟的概率为 ．
6
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等
可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的
概率．
1
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
11
2 1
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= = ．
6 3
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点
钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构
成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
储藏石油的大陆架面积 40
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= = =0.004．
所有海域的大陆架面积 10000
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的
种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的
区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则取出的种子体积 10
P(A)= = =0.01．
所有种子的体积 1000
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概
率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一
个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]
上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也
就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是
事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a =RAND．
1
（2）经过伸缩变换，a=a *3．
1
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N 和[0，3] 内随机数的个数N．
1
N
（4）计算频率f (A)= 1 即为概率P（A）的近似值．
n
N
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转
动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N 及试验总次数N，
1
N
则f (A)= 1 即为概率P（A）的近似值．
n
N
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机
数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数
不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的
结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认
识．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形
的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，
求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a =RAND．
1
（2）经过伸缩变换，a=a *12得到[0，12]内的均匀随机数．
1
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N
1
N
（4）计算频率 1 ．
N
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似
N
值为f (A)= 1 ．
n
N
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，
一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的
量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草
履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
