文档内容
专题 08 平面向量小题全面梳理与精细分类
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................13
题型一：平面向量基本定理及其应用 13
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用 16
题型三：平面向量的数量积 20
题型四：平面向量的模与夹角 23
题型五：等和线问题 26
题型六：极化恒等式 31
题型七：矩形大法 36
题型八：平面向量范围与最值问题 41
题型九：等差线、等商线问题 46
题型十：奔驰定理与向量四心 51
题型十一：阿波罗尼斯圆问题 57
题型十二：平行四边形大法 62
重难点突破：向量对角线定理 68平面向量的数量积、模和夹角是高考中的重点和热点内容，它们通常以选择题或填空题的形式被考察。
这类题目经常以平面图形作为背景，来测试学生对数量积、夹角以及向量垂直条件的理解和应用。此外，
这些内容还容易与平面几何、三角函数、解析几何以及不等式等其他数学知识相结合，作为解题的工具或
手段。近年来，高考中主要围绕平面向量的坐标运算、模的最大或最小值问题，以及向量的夹角等问题进
行考察。这些问题与三角函数、解析几何等知识点紧密相关，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
平面向量基本定理及
理解定理，掌握应用 2022年I卷第3题，5分
其应用 2025 年高考中，平面
向量的数量积预计将继续成
为重点考察内容，可能会单
2024年 I I卷第 3题，5分 独出现，也可能与平面图形
2023年北京卷第3题，4分 等其他知识点相结合。考察
平面向量的数量积、 理解概念，应用解决 内容将涵盖平面向量数量积
2023年甲卷第4题，5分
模、夹角 实际问题 的定义、性质及其应用，特
2023年 I卷第3题，5分 别是利用数量积来计算向量
2023年 I I卷第13题，5分 的夹角、模以及判断向量的
垂直关系等问题。这些题目
2024年天津卷第14题，5分
的难度可能会涵盖基础题、
2023年天津卷第14题，5分 中档题乃至难题，并且以选
掌握范围求解，最值 择题或填空题的形式呈现。
平面向量范围与最值 2022年北京卷第10题，4分
方法，提升解题能力
2022年浙江卷第17题，4分
2022年天津卷第14题，5分1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问
题，总的思路有：
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行
相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方
程进行求解．
2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面
图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．1．（2024年北京高考数学真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024年天津高考数学真题）已知正方形 的边长为1， 若 ，其中
为实数，则 ；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为
．
【答案】
【解析】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B.
4．（2023年北京高考数学真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量 满足 ，
所以 .故选：B
5．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与
交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
9．（2023年天津高考数学真题）在 中， ， ，记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .题型一：平面向量基本定理及其应用
【典例1-1】如图，在 中， ， 是 的中点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，即 .
故选：D.
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如图，在 中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近 的
四等分点，CD与AE交于点 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接DE，
由题意可知， ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
故 .
又 ，所以 ，则 .
故选：A
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘
运算．
2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；
（3）运用法则找关系；（4）化简结果．【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知等边 的边长为1，点 分别为 的中点，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在 中，取 为基底，
因为点 分别为 的中点， ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
【变式1-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形 中， 分别在边 上，
， 相交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】
由题意可得： ，
，
设 ，
则 ,
又 三点共线，所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：A
8．如图，在平行四边形 中，点 满足 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 .
因为点 为 的中点，所以 ，
所以 .
故选：B.
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用
【典例2-1】在 中， 、 分别在边 、 上，且 ， ， 在边 上（不
包含端点）．若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在边 上（不包含端点），不妨设 ，其中 ，
即 ，
所以， ，
又因为 ，则 ， ，其中 、 均为正数，
且有 ，
所以， ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故则 的最小值是 .
故选：A.
【典例2-2】已知 是平面内两个不共线的向量， ， ，则 三点共
线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 三点共线的充要条件是 且 ，
即 ，由 是两个不共线向量，
所以 ，故 .
故选：C.
1、平面向量共线定理：已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量 ， ，则 的充要条
件是 ；（2）若 ，则 ．
【变式2-1】如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设
， ，则 的最小值为（ ）A． B．4 C． D．3
【答案】C
【解析】
如图，延长 交 于点 ，因点 是 的重心，
则 ，①
因 三点共线，则 ，使 ，
因 ， ，代入得， ，②
由①，②联立，可得， ，消去 即得， ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
即 时， 取得最小值，为 .
故选：C.
【变式2-2】如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，若 ，
则 的最小值（ ）A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】因为点 是线段 的中点，则 ，
则 ，
因为 三点共线，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D
1．已知 是 所在平面内一点，若 均为正数，
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以点 是 的重心，所以 .
因为 ，所以 ，
综上， .
因为 ，所以 三点共线，则 ，即 .
因为 均为正数，所以 ，则 ，
所以 （当且仅当 ，即 时取等号），
所以 的最小值为 .
故选：B
题型三：平面向量的数量积
【典例3-1】如图，在平行四边形 中， 分别为 的中点， 为 上一点，且 ，
，则 ．
【答案】1【解析】
如图，连接 ，在平行四边形 中， 分别为 的中点，
则 三点共线，且 为 的中点，所以 ．
过点 作 于点 ，设 ，
由 ， ，
得 ，则 ．
由 分别为 的中点，
则 ， ，所以 ，
所以
．
故答案为：1.
【典例3-2】已知向量 ， 满足 ，且 ，则 ．
【答案】 /0.25
【解析】由 得 ，
两式相减得 ，
所以 ，则 ．故答案为： .
1、向量的数量积：设两个非零向量 的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积，记作 ．
2、数量积的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积．
3、设向量 ， ，则 ，由此得到：
（1）若 ，则 或 ．
（2）设 ，则A，B两点间的距离
（3）设两个非零向量 ，且 ， ，则
（4）若 都是非零向量， 是 与 的夹角，则
【变式3-1】如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若
， ，则 的值为 .
【答案】1
【解析】由 ，可得 ，
又 ， ， 三点共线，
则有 ，
由于 ，所以 ，即 ，又 ，
且 ， ， ，
故
.
故答案为：1.
【变式3-2】如图，在平面四边形 中，O为BD的中点，且 ， .若 ，则
.
【答案】9
【解析】如图，在 中，D为 的中点，下面证明结论： .
因为D为 的中点，
所以 ，所以 ①
又 ，所以 ②
- 得 ，所以
① ②
因为在平面四边形 中，O为BD的中点，且 ， .所以 ，解得 ，
.
故答案为：
1．已知 是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边 ， 的中点，连接 并延长到点F．使
得 ，则 ．
【答案】2
【解析】如图：
以 为基底，则 ， .
所以 ， ，
所以 .
所以 .
故答案为：2题型四：平面向量的模与夹角
【典例4-1】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
．
【答案】6
【解析】由 可得 ，
，解得 ，
故答案为：6
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在 中， ， ，P在以O为圆
心，半径为1的圆上运动，则当 取最大值时， ．
【答案】 /
【解析】
如图所示，以 为坐标原点，以 方向为x轴，垂直 方向为y轴，建立平面直角坐标系，
因为 ， ，所以 ， ．
设P(x,y)，圆O方程为 ，则 ， ，
所以 ．
因为 ，当 时， ，
此时 ，且 ， ，
所以 ， ，则 ．
故答案为： .
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为 ．
(2)求非零向量 的夹角一般利用公式 先求出夹角的余弦值，然后
求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期末）已知非零向量 满足： ，且 ，则
.
【答案】
【解析】 .
，
，解得 ，
故 ．故答案为： .
【变式4-2】已知平面内两个向量 ， ，若 与 的夹角为钝角，则实数k的取值范围是
.
【答案】
【解析】由题意， ， .
当 ， 反向时，有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
1．平面向量 满足 ， ，若 ，则 .
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，
由题设有 ，故 ，
而 ，故 ，
故答案为：题型五：等和线问题
【典例5-1】已知在 中，点P满足 ，动点M在 的三边及内部运动，设
，则 的取值范围为 .（用区间表示）
【答案】
【解析】
因为 ，所以 ，
整理得 ，所以P为 的重心，
取AC的中点D，则 .
因为 ，所以 ，
所以当点M在线段BP上时， 取得最小值1，
当点M与C重合时， 取得最大值2，
所以 的取值范围为 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【典例5-2】如图，已知 是圆 上不同的三点， 与 交于点 （点 与点 不重合），若
，则 的取值范围是 ．【答案】
【解析】因为 与 交于点 ，所以 三点共线，
所以 与 共线，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
可得 ＝ ＋ ，因为 三点共线，所以 ，可得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．
①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；B
1
B
P
Q l
O
A A
1
【变式5-1】已知点 为扇形 的弧 上任意一点，且 ，若 ，
则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】方法一：设圆 的半径为1，由已知可设 为 轴的正半轴， 为坐标原点，过O点作x轴垂线
为y轴建立直角坐标系，
其中 ，其中 ，
由 ，
即 ，整理得 ，
解得 ，
则 ，
所以 .
方法二：设 ，如图，当 位于点 或点 时， 三点共线，所以 ；当点 运动到 的中点时， ，所以
故答案为：
【变式5-2】如图所示， ，圆 与 分别相切于点 ， ，点 是圆 及其内
部任意一点，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】连接 ，则 ， ，
因为 ，所以 ,
因为点 是圆 及其内部任意一点，
所以 ，且当 三点共线时， 取得最值，
当 取得最大值时，以 为对角线，以 为邻边方向作平行四边形 ,则 和 为等边三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ，
同理可求得 的最小值为 ，
所以 ，
故答案为：
1．已知 为 内一点，且 ，点 在 内（不含边界），若
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 ，即 ，
可得 ，
因为 ，即 ，
整理可得 ，且 不共线，
则 ，解得 ，
即 ， ，
又因为点 在 内（不含边界），设 ，且 ，
可得 ，
则 ，
可得 ，可得 ，
且 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
题型六：极化恒等式
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆C的半径为2，点A满足 ，E，F分别是C上两个动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【答案】C
【解析】取EF的中点M，连接CM，则 ，
，
又 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当向量 与 共线同向时， 取得最大值22；向量 与 共线反向时， 取得
最小值6，
故选：C．
【典例6-2】已知正六边形 的边长为4，圆 的圆心为该正六边形的中心，圆 的半径为2，圆
的直径 ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知， ， ， ， ， ， 均
是边长为4的等边三角形，当点 位于正六边形 的顶点时， 取最大值4，
当点 为正六边形各边的中点时， 取最小值，即 ，
所以 ．
所以 ，
即 的最小值为8．
故选：D
极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，
①
②
①②两式相加得：（2）极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
【变式6-1】已知圆 的半径为2，弦长 ， 为圆 上一动点，则 的最大值为 .
【答案】6
【解析】取 的中点 ，连接 ， ， ，如图所示：
因为 为 中点，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以最大值为 ；
所以 的最大值为 .
故答案为：6．
【变式6-2】在 中， ， ， ，P，Q是BC边上的两个动点，且 ，则的最大值为 ．
【答案】3
【解析】
如图，取 中点 ，连接 ，
，
，
两式相减得
，
要使 有最大值，则 最小，
当 时， ，
所以 的最大值为 .
故答案为：3.
1．已知点O为坐标原点， 为圆 的内接正三角形，则 的最小
值为 ．
【答案】5
【解析】取 的中点N，连接 ，取其中点D，如图所示，
当正 沿圆周运动时，点D在以M圆心，以 为半径的小圆上运动．
由 外接圆半径为1，则 ，
从而 ．所以 的最小值是 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，
所以
，
所以 的最小值为 .
故答案为：5.
2．如图所示，正方形 的边长为 ，正方形 边长为1，则 的值为 .若在线
段 上有一个动点 ，则 的最小值为 .
【答案】 6
【解析】由已知得正方形 与正方形 的中心重合，不妨设为 ，所以 ， ，
则 ；
，
显然，当 为 的中点时， ，
所以
故答案为：6； ．
题型七：矩形大法
【典例7-1】已知圆 与 ，定点 ，A、B分别在圆 和圆 上，
满足 ，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以 为邻边作矩形 ，则由 得
，即 ，
的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
，
．
【典例7-2】在平面内，已知 ， ， ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
又 ，所以四边形 是矩形，
从而 ，因为 ，所以 ，即矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，
证明： ．
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，
且 若 ，则 的最小值为______．
【答案】 /
【解析】解法1：如图，因为 ，所以 ，故四边形 为矩形，
设 的中点为S，连接 ，则 ，
所以 ，
又 为直角三角形，所以 ，故 ①，
设 ，则由①可得 ，
整理得： ，
从而点S的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，显然点P在该圆内部，所以 ，
因为 ，所以 ；
解法2：如图，因为 ，所以 ，
故四边形 为矩形，由矩形性质， ，
所以 ，从而 ，
故Q点的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以 ．
故答案为： ．
【变式7-2】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量 ， 是平面内两个互相
垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，
故可设 ， ， ，
则 ， ，因为 ，所以 ，
整理得到 ，即 ，
故 的最大值为 ，
故选：B.
1．已知向量 、 满足 且 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】求出向量 、 的夹角为 ，设 ， ， ，根据
可求得点 的轨迹方程，由 的几何意义结合圆的几何性质可求得 的最大值.设
向量 、 的夹角为 ， ， ，
， ，
设 ， ， ，
则 ， ，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，其中点 ， ，
所以，点 在圆 上，，则 ，
则 的几何意义为点 到定点 的距离，如下图所示：
由圆的几何性质可得 .
故答案为： .
题型八：平面向量范围与最值问题
【典例8-1】若 ， ，则 的最大值是 ；最小值是 ．
【答案】 6
【解析】 ，
，当且仅当 时取到等号，
此时 ，即当 时， 的最大值为 .
又 ，
且 ，
，当且仅当 与 反向时取等号.此时 的最小值为6.
故答案为： ；6.
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在四边形 中，已知 ，
点 在边 上，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】解法一：
由 ， ，得 ，
所以 ， ，则 ，
设 ，则 ，
所以
，
当且仅当 时， 取得最小值 .
解法二：
由 ，得 ，
所以 ， ，如图，建立平面直角坐标系 ，
则 ， ，
所以 .
设 ，则 ，所以 ，
所以 ， ，
则 ，
当且仅当 时， 取得最小值 .
解法三：
由 ，得 ，
所以 ， ， ，
如图，分别以 所在的直线为 轴、 轴建立平面直角坐标系，则 .
因为点 在边 上，所以设 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步： 将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步： 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【变式8-1】（2024·高三·上海·期中）在平面上，已知两个单位向量 、 的夹角为 ，向量
，其中 .则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意， ， ， ， ，
则 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为 .
故答案为： .
【变式8-2】设向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为
【答案】4
【解析】如图所示，设 因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 四点共圆，因为 ， ，
所以 ，由正弦定理知 ，
即过 四点的圆的直径为4，
所以 的最大值等于直径4.
故答案为：4.
1．已知向量 ， 满足 ，则 的最大值与最小值之和为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
，
，且 ，设 ，
其中 ， ，
则 ，
当 ， 时 取得最大值 ，
当 即 ， 时 取得最小值4，
所以最大值与最小值之和为 ．
故答案为：
2．已知向量 满足 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 , ， ，
则 则 ,
故点 的轨迹是以 为焦点， 为中心，长轴长 的椭圆，
故短半轴： ，
则 .
故答案为：题型九：等差线、等商线问题
【典例9-1】如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端点），若 ，
则 ， 的最小值为 .
【答案】 2
【解析】因为在 中， ，
所以 ,
即 .
因为点 在线段 上移动（不含端点），所以设 .
所以 ，对比 可得 .
代入 ，得 ；
代入 可得 ，根据二次函数性质知当 时，.
故答案为：
【典例9-2】（多选题）给定两个单位向量 ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运
动， ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】BCD
【解析】因为给定两个单位向量 ，且 ，所以建立如下图所示的坐标系，
因为 ，所以有 ,
，所以 ，
设 ，
因为 ，
所以有 ，
，
因为 ，所以 ，因此 ，即 ，
故选：BCD1、如图设 ， 是平面内两个不共线向量，若 = ，反向延长 到 ,使
，当P位于直线BE上时，一定有 ，若 且 ，则有 .
2、如图所示，令 ，若 ，根据等和线定理可得 ，
所以直线OC就是一条等商线.
【变式9-1】（多选题）在 中，点 满足 ，当点 在线段 上（不含 点）移动时，记，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】BC
【解析】 是 中点,则 ,又点 在线段 上,即 三点共线,设
,故 , .故B对A错.
,当且仅当 时,即 ,故C对.
在 上单调递减，当 取最小值 ，故D错.
故答案为：BC
【变式9-2】（2023·山西·高一统考期末）已知在 中，点 满足 ，点 在线段 (不含端
点 ， )上移动，若 ，则 .
【答案】3
【解析】如图，由题意得存在实数 ，使得 .
又 ，所以 ，
又∵ ，且 不共线，
故由平面向量的分解的唯一性得
所以 .
故答案为：3.
1．（多选题）已知 中， 是边 的中点，动点 满足
，则（ ）
A． 的值可以等于2
B． 的值可以等于2
C． 的值可以等于
D． 的值可以等于3
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 ， ，
，则 在以 为直径的圆上，如图 也是该圆上的点．
分别以 为 轴建立平面直角坐标系，则圆 方程是 ，
， ，
，即 ，所以 ，
．
可设 ， ，
所以 ，
时， ，A正确；
同理 ，B错误；
，
易知 ，所以 ，C错；
，
易知 ，所以 ， ， ，D正确；
故选：AD．题型十：奔驰定理与向量四心
【典例10-1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰
定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是 内一
点， 的面积分别为 ，且 ．以下命题错误的是
（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】C
【解析】对于A：取 的中点D，连接 ，
由 ，则 ，
所以 ，所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，所以 为 的重心，故A正确；
对于B：由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C：由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ，
则有 ，
所以 ，
，
，
所以 ，故C错误；对于D：如图，延长 交 于点D，延长 交 于点F，延长 交 于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确．
故选：C．
【典例10-2】平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为 内的一点， ， ， 的
面积分别为 ， ， ，则 ．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔
驰定理”．已知O为 的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
因为O为 的内心，设 ，由题意 ，
则 ，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
．
故选：A．
1、重心定理：①在△ABC中，若G为重心，则 ．
． ③
②
④三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
2、奔驰定理：若 ，则 ；
3、垂心定理：三角形三边上的高相交于一点
ABC
故点O是 的垂心，．
则一定有
，即 ，以此类推即可证明．
4、外心向量定理：
（1） ， ； ；
（2） ， ， ；
， ，
（3）
5、内心定理
①角平分线的交点，到三条边的距离相等；
② ；
③
【变式10-1】在平面上有 及内一点O满足关系式： 即称为经典
的“奔驰定理”，若 的三边为a，b，c，现有 则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为 ， ， ， ，
因为 ，则 ，即，又因为 ，所以 ，所以点P是△ABC的
内心.
故选：B
【变式10-2】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一
点， ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以 ，
．
所以 ， ，
又 ，
所以 ， ，
所以 在 的平分线上， 在 的平分线上，
所以点 是 的内心．
故选：C．
1．在锐角 中，内角 的对边分别为a，b，c， ， 为其外心.若 外接圆半径为 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可知 ， ，
，
，
， ，
， .
故选：B.
2．已知 的外心为 ，内角 的对边分别为 ，且 ．若 ，则
（ ）
A． B．50 C．25 D．
【答案】B
【解析】由已知，令 ，所以 是等腰三角形．
由余弦定理，得 ．
因为 ，所以 ，解得 （负值已舍去），
所以 ．
设 的外接圆半径为 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
由 为等腰三角形知 ，
所以 ，即 ．
所以 ．
故选：B．
题型十一：阿波罗尼斯圆问题
【典例11-1】（2024·高三·上海·期中）平面上到两个定点距离之比为常数 的动点的轨迹为圆，
且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知 满足
，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图所示建立坐标系，则 ．
其中 ,则 .
设 满足 ，故 ，
整理得到 .
故 ．
当 三点共线时，即BE与单位圆相切， 在 时，有最小值为 ；
又 ，
则
，当且仅当 ，即 时取等号.
又注意到当 时， ，则 ，当且仅当 时取等号.
则 ，当 ，即 在 等号成立．
故答案为： ．
【典例11-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 、
的距离之比为定值 （ 且 ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波
罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 中， 、 ，点 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】设点 ，由 可得 ，整理可得 ，
化为标准方程可得 ，
因为 为 的中点，
所以，
，
记圆心为 ，当点 为线段 与圆 的交点时，
取最小值，此时， ，
所以， .
故答案为： .
在平面上给定两点A，B，设点 在同一平面上且满足 ，当 且 时， 点的轨迹是个
圆，称之为阿波罗尼斯圆（ 时 点的轨迹是线段AB的中垂线）．【变式11-1】已知平面向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的直角坐标系：
依题意设 ， ， ， ， ，
则 ，故C在以 为圆心，半径为1的圆上，
如图，取点 ，则 ， ，且 ，
因此 ， ，故 ，
又 ，
由于 ，
当E，M，C三点共线且点C在线段 上时，等号取到，
因此 .
故选:C.
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的直角坐标系，设 ，
则 ，故点 在以 为圆心，半径为1的圆上，
如图：取点 ,则 ,且 ,
因此 ,所以 ,故 ,
由于
,当 三点共线且点 在线段 上时，等号取到，
因此 ，
故选：D1.已知平面向量 ， ， 满足： ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】如图， 为单位圆， 、 、 在 上， ， ，
在 的延长线上， ， 为 中点， 为 中点， 在 的延长线上， ，
设 ， ， 为 上一点， ，
则 ，
△ ，
，
同理 ，
，
故选：A．题型十二：平行四边形大法
【典例12-1】如图，C，D在半径为1的 上，线段 是 的直径，则 的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】以点O为原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设点 ， ，
则 ， ，
则 ，
其中 ，
所以 的最大值为：，
则当 时， 取得最大值 ，
最小值为 ，
则当 时， 取得最小值 ，
综上， 的取值范围为 .
故答案为： .
【典例12-2】半径为 的两圆 和圆 外切于点 ，点 是圆 上一点，点 是圆 上一点，则
的取值范围为_______.
【答案】
【解析】设点 关于点 的对称点为 ，则点 在圆 上，
所以，
，
因为
，
所以， ，因为 ，
当且仅当 、 同向且 、 反向时， ，
当 时，则 ，所以， ，
所以， ，所以， ，
因为 ，则 ，
故当 且四边形 为菱形时， ，
因此， .
故答案为： .
1、中线长定理
2、 为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：【变式12-1】如图，圆 是半径为1的圆， ，设 ， 为圆上的任意2个点，则 的取值范
围是___________.
【答案】
【解析】连接 ， ，设 是线段 的中点，连接 ，则有 .
设 为 和 的夹角.
则，
，
（当 即 时取等）
因为 ，所以当 时， 有最小值 .
，
（当 即 时取等）
当 时， 有最大值为3，
即 有最大值3，所以 的取值范围是 .
故答案为：
1．设圆 ，圆 的半径分别为1，2，且两圆外切于点 ，点 ， 分别是圆 ，圆 上的两动点，则
的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】连接 分别与两圆交于 ，又两圆外切于点 ，
三点共线，连 ，延长 交圆 与 ，连 ，
分别为圆 ，圆 的直径，
，
又 ， ，
设 为 中点，连 ，
先固定 ，根据向量数量积的定义，
当 在 同向投影最大值时 为与 平行的圆切线的切点，
记为图中的 点，此时 在 投影
，
当且仅当 ，等号成立，
同理当 在 投影最小（在 反向上）时，
为与 平行的圆切线的切点，
记为图中的 点，此时 在 投影 ，
，
当且仅当 时，等号成立，，
所以 的数量积取值范围是 .
故选：C.
重难点突破：向量对角线定理
【典例13-1】已知平行四边形 ， ， ， ， 与 交于点 ，若
记 ， ， ，则（ ）
A. B． C． D．
【答案】C
【解析】由对角线向量定理得 ，
所以 ，
而 ，
所以 ，选择C．
【典例13-2】如图，在圆 中，若弦 ，弦 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】如图所示，由对角向量定理得
所以选D．
【变式13-1】在四边形ABCD中， ， 若， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，由对角线向量定理得
= ，所以选A．
【变式13-2】如图，点 在以 为直径的圆上，其中 ，过 向点 处的切线作垂线，垂足为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ，则
∵
= ,
∴
依题意可证 ∽ ，则 ，即 ,
,
∵
∴ ，即 ，当且仅当 时取等号,
,
∴
,
∴
∴ 的最大值为1
故选:B1．在 中， ， ， ，若点 满足 ，则 .
【答案】 .
【解析】如下图所示，则可知 ，
∴ ，故填： .
