文档内容
专题 5-1 平面向量中的高频小题归类
目录
专题5-1平面向量中的高频小题归类....................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：平面向量的线性运算................................................................................................................1
题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题）................................................................................5
题型三：向量的夹角..............................................................................................................................18
题型四：向量模（含最值，范围问题）..............................................................................................22
题型五：平面向量的平行与垂直问题..................................................................................................29
题型六：三点共线的等价关系..............................................................................................................33
................................................................41
一、单选题..............................................................................................................................................41
二、多选题..............................................................................................................................................48
三、填空题..............................................................................................................................................50
四、双空题..............................................................................................................................................52
题型一：平面向量的线性运算
【典例分析】
例题1．（2022·河南开封·一模（文））已知 中， 为 边上一点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在 中， .
因为 ，所以 .
所以 .故选：A
例题2．（2022·河南新乡·一模（理））在△ 中， ， 分别为边 ， 的中
点，且 与 交于点 ，记 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意可得点G为△ 的重心，
所以 ．
故选：A.
例题3．（2022·四川资阳·一模（理））如图， ， 为以 的直径的半圆的两个三等
分点， 为线段 的中点， 为 的中点，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， 为以 的直径的半圆的两个三等分点
则 // ，且
又 为线段 的中点， 为 的中点
故选：A.【提分秘籍】
平面向量的线性运算主要工具是向量的加，减法：
向量加法法则：
①三角形法则(首尾相接，首尾连）： .
②平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）：
向量减法法则：(共起点，连终点，指向被减向量）
【变式演练】
1．（2022·河北容城中学模拟预测）在平行四边形 中， 分别是 的中
点， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设 ，且 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：B.
2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））如图， 中， ， ，点E
是 的三等分点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
故选：B.
3．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边 中，O为重心，D是
的中点，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】O为 的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有 ，而D是 的中点，
所以 .
故选：D
4．（2022·全国·模拟预测（理））在 中，D为AC的中点， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
.
故选：D
题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·湖南·模拟预测）已知直线 与圆 ： 相交于不同两点 ，
，点 为线段 的中点，若平面上一动点 满足 ，则 的取值范
围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ， ， 三点共线，
且点 在线段 外，因为点 为线段 的中点，
所以 ，即 是直角三角形，
所以 ，由数量积的定义可得：
，
因为 ，所以 ，即 ，
故选:C.
例题2．（2022·全国·模拟预测）如图，在矩形 中， ， 为边
上的任意一点（包含端点）， 为 的中点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】法一：设 ，
因为O为AC的中点，所以 ，
所以 ．又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
法二：以A为坐标原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直
角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
所以 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 .
故选：A．
例题3．（2022·江西·模拟预测（理））已知圆 的半径为2，点 满足 ， ，
分别是 上两个动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【答案】C
【详解】取EF的中点M，连接CM，则 ，
，
又 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当向量 与 共线同向时， 取得最大值22；向量 与 共线反向
时， 取得最小值6，
故选：C．
例题4．（2022·上海松江·二模）已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边
、 上，且 ， ，若点 在正方形 的边上，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则 ， ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ，则 ，
，知 ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，即 .
综上可得， ，
故选：C
例题5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知抛物线 ： ，点
为直线 上一动点，过点 作直线 ， 与抛物线 分别切于点 ， ，则
（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1
【答案】A
【详解】由 ，得 ，则 ，
设 ， ，所以 ，
得切线 的方程为 ，即 ，
切线 的方程为 ，即 ，
又两条切线过切点 ，有 、 ，
所以 是方程 即 的两实根，
得 ，
又 ，
所以将 代入上式，得 .
故选：A
【提分秘籍】
求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）
（2）利用向量的坐标运算（自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求
解）；
（3）利用向量三角不等式
（同号同向取等号；异号反向取等号）
例如： 中间的连接号都是“ ”，记忆口诀：同号则 ， 同向不等式
取到等号；
在不等式 中，中间的连接号“ ”和“ ”，记忆口诀：异号则 ，
反向不等式 取到等号；
【变式演练】
1．（2022·四川·射洪中学模拟预测（理））在 中， ， ， 为线段
的中点， ， 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，则
（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【详解】解：因为在 中， 为线段 的中点，
所以 ，即 ，因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 为直角三角形，
所以
因为 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，
所以 ， ， ，
所以
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，点E是 的
中点，点F满足 ，且 ，则 （ ）
A．9 B． C． D．【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，
所以
，
故选：A．
3．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的
传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形
的边长为4，圆 的圆心为该正六边形的中心，圆 的半径为2，圆 的直径
，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知， 、 、 、 、
、 均为边长为 的等边三角形，
当点 位于正六边形 的顶点时， 取最大值 ，当点 为正六边形各边的中点时， 取最小值，即 ，
所以， .
所以， .
的最小值为 .
故选：D.
4．（2022·全国·模拟预测）在 中，已知 ， ， ， ，
，点 在边 上，则 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】以A为坐标原点， AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， .连接 ，设线段 的中点为 ，连接 ，
则 ，
.连接 ， ，因为点 在线段 上，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，所以 的最大值为 .
故选：C
5．（2022·四川·成都七中一模（文））已知 ， ，且 ，则
的最小值是_____________．
【答案】
【详解】解：由题知， 三点共圆，圆心为坐标原点，半径为 ，
所以， ，
设 ，
数形结合可得 在 上的投影 ，
所以， ，即 ，
故当 ， 时 有最小值 ，此时 .
当 时， 时 有最大值 ，所以，
综上， 的取值范围是 ，
所以， 的最小值是
故答案为：
6．（2022·上海崇明·一模）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一
点，则 的取值范围为______.
【答案】
【详解】正六边形ABCDEF中，过点B作 于 ，则
又
即 ，故 的取值范围为
故答案为：
7．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））骑自行车是一种环保又健康的运动，如
图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为， ， ， 均是边长为 的等边三角形.设点 为后轮上的一点，则在骑
行该自行车的过程中， 的最大值为______.
【答案】
【详解】方法一：以点 为坐标原点， 为 轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标
系，
则 ， ，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，可设 ，
， ，
，
则当 时， 取得最大值 .
方法二：
，则当 与 同向，即 时， 取得最大值为 .
题型三：向量的夹角
【典例分析】
例题1．（2022·广西北海·一模（文））已知向量 是单位向量，向量 ，且
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知 ， ，
， ，
故 ，
因为 ，即 和 的夹角为 .
故选：C
例题2．（2022·云南大理·模拟预测）已知向量 满足
，则向量 与 所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ， ，
解得 ，所以 ，因为 ，所以向量 与 所成的夹角为 ，
故选:B．
例题3．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量 满足： ，若对满足
条件的任意向量 ， 恒成立，则 的最小值是______________．
【答案】
【详解】由题意设 ， ，
由 ， ，
化简得 恒成立，所以 ， ，
，
，
当且仅当 且 时取到等号；
故答案为： .
【提分秘籍】
求向量夹角公式：
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量 与 互相垂直，模长之比为2：
1，若 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】平面向量 与 互相垂直，模长之比为2：1，则 且
，得 ，又 ，则 ，将 平方得
，解得 ， ,则 ，设
与 的夹角为 ，则 ，
故选：A.
2．（2022·山东德州·模拟预测）已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为 ， ， ，所以 ，
，
因此， ．
故选：C．
3．（2022·湖南·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角
的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 与 夹角为 ，整理可得： ，即
，代入
可得
可得： ，即
整理可得：
当且仅当 ，即 取等号
故 ，结合 ，
根据余弦函数图象可知 最大值：
故选：A.
4．（2022·广西北海·一模（理））已知向量 是单位向量，向量 ，且
，则 与 的夹角为_____________．
【答案】 ##
【详解】解：由题意可知 ， ，
所以， ，所以 ，解得 ，
因为
所以， ，即 和 的夹角为 ．
故答案为：
题型四：向量模（含最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·浙江绍兴·一模）已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍）
所以，
故选：D
例题2．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量 ， ，
且非零向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2【答案】B
【详解】
设 ，则 ，
，
整理得 ，则点 在以 为圆心， 为半径的圆上，则
表示 和圆上点 之间的距离，
又 在圆 上，故 的最大值是 .
故选：B.
例题3．（2022·四川资阳·一模（理））已知平面向量 ， ， 满足
，且 ，则 的最大值为______．
【答案】
【详解】由题意， ，又 ，
故 ，
故 ，
由向量模长的三角不等式， ，
即 ，解得： ，则 的最大值为 .
故答案为：
例题4．（2022·浙江绍兴·一模）已知圆 ： ，线段 在直线 ：
上运动，点 为线段 上任意一点，若圆 上存在两点 ， ，使得
，则线段 长度的最大值是______.
【答案】
【详解】解：由题意知，圆心 ，半径
所以，圆心到直线的距离 ，即直线和圆相离.
从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线为切线时 最大，
不妨设切线为 ，由 知 ，即 .
所以 ，解得 .
所以在直线上，当 最大时，点 到圆心的距离为 .
所以，此时 长度最大值为 .
故答案为: .例题5．（2022·江西南昌·模拟预测（文））已知 为正交基底，且
， 分别为 的中点，若 ，则 的最
小值为_____.
【答案】 ##
【详解】因为 为正交基底，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 分别为 的中点， ，
所以
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
【提分秘籍】求两个向量的模方法：
（1） 可通过基底法表示向量求模，也可通过建系法用坐标表示向
量求模
（2）利用向量三角不等式
（同号同向取等号；异号反向取等号）
例如： 中间的连接号都是“ ”，记忆口诀：同号则 ， 同向不等式
取到等号；
在不等式 中，中间的连接号“ ”和“ ”，记忆口诀：异号则 ，
反
向不等式 取到等号；
【变式演练】
1．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））已知点A､B在单位圆上，
，若 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【详解】
，因此 .
故选：A.
2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知A，B为圆 上
的两动点， ，点P是圆 上的一点，则 的最小值
是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C【详解】设M是AB的中点，因为 ，所以 ，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，
，所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ．
故选：C.
3．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量 满足 ，则
与 夹角最大值时 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为平面向量 满足 ，所以
，
所以 ，所以 .
由夹角公式， （当且仅当
，即 时等号成立）.
因为 ，所以 ，即 时 最大.
此时 .
故选：D
4．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量 两两所成的角相等，且
，则 （ ）A． B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【详解】由不共线的平面向量 ， ， 两两所成的角相等，可设为θ，则 .设| |=m.
因为 ，所以 ，
即 ，
所以
即 ，解得： 或3.
所以| |=2或3
故选：D
5．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）已知 为单位向量， 满足
，当 与 的夹角最大时， _________．
【答案】
【详解】不妨取 ，设 ，故 ，故
；
设 ，则 ，
即 ，故 ， ，
设 与 的夹角为 ，则 ，不妨取 ，则 ，
当 ，即 时等号成立，此时夹角最大，
.
故答案为：
题型五：平面向量的平行与垂直问题
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知向量 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为向量 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
解得： ，
故选： .
例题2．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．2 C．8 D．
【答案】A【详解】由 ， ， ，得 ，解得 .
所以 ，所以 .
故选：A.
例题3．（2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（理））已知向量 ，
且 ， 则 ___________.
【答案】2
【详解】因为 ，由 ， ，
则 ，所以 ，解得 .
故答案为: 2
例题4．（2022·陕西渭南·一模（文））已知点 ， ，向量
，若 ，则实数 等于___________.
【答案】
【详解】因为 ， ，
则 ，
因为 ，则 ，.
故答案为： .
【提分秘籍】
两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量 ，
（1） ．（2）
【变式演练】
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（文））已知平面向量 ，若 与
垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知： ，
因为 ，
所以
，
故选：A．
2．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若 ， ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，向量 ， ，
可得 ， ，
因为 ，可得 ，解得 .
故选：A.
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知向量 ， ，且 ，则
______．【答案】2
【详解】由题意， ，因为 ，所以 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
4．（2022·广东茂名·二模）已知向量 （t，2t）， ＝（﹣t，1），若（ ﹣ ）⊥（
+ ），则t＝_____．
【答案】
【详解】因为（ ﹣ ）⊥（ + ），所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，所以 .
故答案为： ．
题型六：三点共线的等价关系
【典例分析】
例题1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知 是 内一点，
，若 与 的面积之比为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，
设 ，则 .由于 ，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵ 与 反向共线， ，∴ ，∴ ，
∴ .
故选：D
例题2．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文）） 中，若 ，点
满足 ，直线 与直线 相交于点 ，则 的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在 ABC中，由余弦定理得：
△
设 ， ，因为 ，
所以 ，即 ，
因为A、B、D三点共线，
所以 ，
解得： ，所以 ，
即
因为AB=5，
所以AD=3，BD=2
在三角形ACD中，由余弦定理得：
，
因为 ，所以 .
故选：A
例题3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）在 中， ， 分别是边 ，
上的点，且 ， ，点 是线段 上异于端点的一点，且满足
，则 _________．
【答案】8【详解】解：因为 ， ，
所以 ， ，
即 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ， ， 三点共线，故 ，解得 ．
故答案为：
例题4．（2022·湖南·雅礼中学一模）在 中， 在边
上，延长 到 ，使得 ，若 （ 为常数），则 的长
度是________．
【答案】 或0
【详解】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【提分秘籍】
设平面上三点 , , 不共线,则平面上任意一点 与 , 共线的充要条件是存在实数
与 ,使得 ,且 .特别地,当 为线段 的中点时,
.
【变式演练】
1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任
一点，若 ，则 的最大值为（ ）A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ，
∵BC//EF，∴设 ，则
∴ ，
∴
∴
故选：A.
2．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在 中，M，N分别是线段
， 上的点，且 ， ，D，E是线段 上的两个动点，且，则 的的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【详解】设 ， ， ， ，
则
， ， ， ，
.
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立.
所以 的的最小值是 .
故选：B
3．（2022·山东滨州·二模）在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一
点，若 （ ， ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：由题意，设 ， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，从而有 ；
当 时，因为 （ ， ），
所以 ，即 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
故选：C.
4．（2022·河南·安阳一中模拟预测（文））在 中，点D在BC上，且满足
，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足 ，则 的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
由 三点共线可得 ，且 ．
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
故选：D．
5．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点 为 的重心，过 作直线与 、
两边分别交于 、 两点，且 ， ，则 的值为________.
【答案】
【详解】如图，因为 为 的重心，所以 ，又 ，
，所以 ，由题意知M,G,N三点共线，所以 ，化
简得 .
故答案为： .
一、单选题
1．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））在平行四边形 中， ， ，则
（ ）
A．1 B．-1 C．9 D．-9
【答案】D
【详解】在平行四边形中， ， ，所以 .
故选：D
2．（2022·上海普陀·一模）设 ，若向量 、 、 满足 ，且
，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
得 ，又 ，所以 ，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知在平行四边形 中，
， ， ， ， ，则 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】因为 为平行四边形，所以 ， ，又
则，又因为 ， ， ，则
，因为 ，解得 .
故选：
4．（2022·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题可得 ①，
②，
①②两式联立得 ， ，
∴ ，而 ，
∴ ．
故选：D.
5．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））设D为 所在平面内一点， ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
故 ，
又因为 ，
所以 ， ，则 .
故选：D.
.
6．（2022·全国·模拟预测）如图，在 中，点D是边AB上一点且 ，E是边
BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是 的平分线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【详解】因为BF是 的平分线，所以存在一个实数 使得 ，
（根据角平分线的条件，选择合适的基底）
因为E是边BC的中点，所以 ，又点A，E，F共线，所以①．（三点共线的应用： （ ， 为实数），若A，B，C
三点共线，则 ）
因为 ，所以 ，又点C，F，D共线，所以
②，联立①②，得 ，则 ，即 .
故选：C．
7．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中，点 在线段 上，且
（ ），若 （ ， ）且 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】方法1：在平行四边形 中，因为 ，所以
，
所以 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ， ，（平面向量基本定理的应用）
又∵ ，
∴ ，解得 ，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，设 ， ，
∵ 则 ，
又∵ ，设 ，则
即：
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴
∴
∴由②得 ，将其代入①得 ，
故选：B.
8．（2022·江苏盐城·模拟预测）在 中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，
N两点，设 ， ，（ ， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【详解】在 中，E为重心，所以 ，
设 ， ，（ ， ）
所以 ， ，所以 .
因为M、E、N三点共线，所以 ，
所以 （当且仅当 ，即 ，
时取等号）．
故 的最小值是3．
故选：C．
9．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文）） 的外心 满足
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】设 的中点为 ，则 可化为即为 ， 三点共线且 ， 为等腰三角形，
由垂径定理得 ，代入数据得 ,
解之： ， .
故选：B.
10．（2022·河南·一模（理））在 中， ，点 在线段 上且与端点不重
合，若 ，则 的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
， ，
在线段 上且与端点不重合， ，且 ， ，
（当且仅当 时取等号）， ，
.
故选：B.
二、多选题
11．（2022·全国·模拟预测）已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 ：与抛物线 交于 两点，若 ，且 ，则 的取值可
以为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】AC
【详解】设 ， ，
由题意可知：直线 ： 过定点 ，即抛物线 的焦点为 ，
所以 ， ，故抛物线的方程为 .
联立方程 ，消去 得 ，可得： ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ，
故 ，解得 或 ，故 或 .
故选：AC.
12．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． 在 方向上的投影向量为C．与 垂直的单位向量的坐标为 D．若向量 与向量 共线，则
【答案】AD
【详解】由题意知 ， ， ，则
，A正确；
在 方向上的投影向量为 ，B错误；
设与 垂直的单位向量的坐标 ，则有 ，
解得 或 ，所以与 垂直的单位向量的坐标为 或 ，C错
误；
显然 与 不共线.
因为 ， ，
向量 与向量 共线，
根据共线向量的坐标表示可得， ，
整理可得 ，解得 ，D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．（2022·上海宝山·一模）已知平面向量 、 满足 ， ，则 在 方向上
的数量投影的最小值是______.
【答案】2【详解】因为 在 方向上的数量投影为 ，
所以当 最小时，数量投影取得最小值.
设 ，则 .
因为 ，则当 时， 有最小值6.
所以， 在 方向上的数量投影的最小值是 .
故答案为：2.
14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 中， ， ， 与
交于点 ，若 ，则 的值为__________.
【答案】
【详解】由已知可得， ， .
因为， 三点共线，设 ， .
，则 .
，
又 ，
因为 三点共线，则存在 ，使得 ，即
，因为， 不共线，所以有 ，解得 ，
所以， ，即 ， ， .
故答案为： .
四、双空题
15．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知平面四边形 ， ， ，
， ，则 ______；动点 ， 分别在线段 ， 上，且
， ，则 的取值范围为____.
【答案】 ##
【详解】 ， ，
所以
，
解得： ，
因为 ，
所以 ，以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ，
因为 ， ，
所以设 ，
由 得： ，
，解得： ，
所以 、
，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 或1时，取得最大值，最大值为
所以 的取值范围是
故答案为： ，
16．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量 ，且，则 的最大值是_______； 最小值是________．
【答案】 ##0.5 1
【详解】设 ，
由 得： ，而 ，
所以 ，
故向量 ：以原点为始点，终点是圆心为 ，半径为 的圆 上的点，
当 时， ；
设 ，代入 整理得， ，
故 为以原点为始点，终点在射线 上的点，
故 为始点在圆 上，终点在 上的向量，
则 .
故答案为： ；1．
17．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形 中， ，
，E，F分别为 ， 上的点， ， ，若线段 上存在
一点M，使得 ，则 __________，若点N为线段 上一个动点，则
的取值范围为__________.【答案】
【详解】因为 为菱形，所以 ，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平
面直角坐标系，
因为 ， ，所以
则 ，设
因为 ，所以
解得 ，所以
又
所以
因为 ，所以当 时， 有最小值 ，
当 时， 有最大值 ，
所以 的取值范围为
故答案为： ，18．（2022·天津·耀华中学一模）如图是由两个有一条公共边的边长为2的正六边形构成
的平面图形.设 ，则 ___________； 是线段 上的动点，则
的最小值是___________.
【答案】 1 ##
【详解】如图，连接 ，则 三点共线，且 ，故 ，故 ，
所以 ，所以 .
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
故 ，其中 .
设 ，
则 ， ，
故
，
故答案为：1， .
