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专题 03 平面向量
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】平面向量的线性运算
向量
定义 法则(或几何意义) 运算律
运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量－b的
减法 a－b＝a＋(－b)
和的运算叫作a与b的差
(1)|λa|＝|λ||a|； (1)结合律：λ(μ a)＝
(2)当λ>0时，λa与a λμ a＝μ(λa)；
求实数λ与向量a的积的
数乘 的方向相同； (2)第一分配律：
运算
当λ<0时，λa与a的 (λ＋μ)a＝λa＋μ a；
方向相反； (3)第二分配律：当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb
【考点2】共线向量定理、平面向量基本定理及应用
1．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，
则存在实数λ，使得________(如图所示)．
2．向量共线定理的应用
(1)证明点共线；(2)证明两直线平行； (3)已知向量共线求字母的值．
3．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只
1 2
有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e ，其中e ，e 是一组基底．
1 2 1 1 2 2 1 2
【考点3】平面向量坐标运算的应用
1．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )(b≠0)，则a±b＝(x ±x ，y ±y )．
1 1 2 2 1 2 1 2
(2)若A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝(x －x ，y －y )．
1 1 2 2 2 1 2 1
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．
2．向量平行的坐标表示
(1)如果a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件为x y －x y ＝0.
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )三点共线的充要条件为(x －x )(y －y )－(x －x )(y －y )
1 1 2 2 3 3 2 1 3 1 3 1 2 1
＝0.
a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x ，y 有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点
2 2
对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
【考点4】平面向量的垂直与夹角
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)
叫作向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
⇔
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a，b的夹角为θ，则
1 1 2 2
(1)a·b＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)|a|＝.若A(x ，y )，B(x ，y )，则|AB|＝.
1 1 2 2
(3)cos θ＝.
(4)a⊥b a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
⇔ ⇔
x y －x y ＝0与x x ＋y y ＝0不同，前者是两向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )共线的充要条件，
1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
后者是它们垂直的充要条件．
【考点5】平面向量的模及其应用
求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
三、解法解密
考向1 平面向量在平面几何中的应用
向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b a＝
λb x y －x y ＝0. ⇔
1 2 2 1
⇔(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
a⊥b a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(3)求夹角问题，常用公式：
⇔ ⇔
cos θ＝＝.
(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模
|a|＝＝或
|AB|＝|AB|＝.
考向2 平面向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，
除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三
角恒等变换的相关知识．四、考点解密
题型一:平面向量的基础应用
例1．（1）、（2020·山西太原·模拟预测）已知平面向量 ，若 与 垂直，则λ
＝（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【分析】求出向量的模，根据数量积的运算可得关于 的方程，求得答案
【详解】因为 ，故 ，
由题意 与 垂直，∴ ，
即 ，解得 ，
故选：C
【变式训练1-1】、（2007·重庆·高考真题（理））与向量 的夹角相等，且模为1的
向量是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】先设定所求向量的坐标，根据条件求解即可.
【详解】设所求向量为 ，依题意则有 ，
又 ，即 ， ，
联立方程 ，解得 或 ；
故选：B.
题型二:平面向量的综合应用
例2．（1）、（2007·福建·高考真题（理））已知 ，点C在 内，且
.设 ，则 等于（ ）A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ,建立坐标系，由已知条件可得 ，进而可得 ，
即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ,
又因为点C在 内，且 ，
建立如图所示的坐标系：
则 , ,
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
（2）、（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的取值范
围为________.
【答案】
【分析】利用向量的模的计算公式，化简即可得到向量 的终点的轨迹方程，进而利用数形结合，即可求
解.
【详解】设 ，则 ， ，即为 ，则在平面坐标系中向量
的终点的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，圆心到原点的距离为 ，则 .
故答案为：【变式训练2-1】、（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量 满足： ，若对满足条件的
任意向量 ， 恒成立，则 的最小值是______________．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，将向量用坐标表示，根据题意计算即可.
【详解】由题意设 ， ，
由 ， ，
化简得 恒成立，所以 ， ，
，
，
当且仅当 且 时取到等号；
故答案为： .
【变式训练2-2】、（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知 中， ， ， ，点P为
边AB上的动点，则 的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】设 ,
,
所以当 时， 取得最小值为 .
故选：A
题型三:平面向量在平面几何中的应用
例3．（1）、（2022·江苏常州·模拟预测）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给
出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若 ， ，则实数 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】依据题给条件利用 列出关于 的方程，解之即可求得实数 的值
【详解】由 ，可得 ，又
则
又 ， ， 则
即
则
即 ，整理得
解之得， 或 （舍）
故选：B
（2）、（2022·全国·模拟预测）在 中，已知 ， ， ， ， ，
点 在边 上，则 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，又可将 转化为 ，即可求出
的最大值
【详解】以A为坐标原点， AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， .
连接 ，设线段 的中点为 ，连接 ，
则 ，
.连接 ， ，因为点 在线段 上，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，所以 的最大值为 .
故选：C
【变式训练3-1】、（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内
的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
【变式训练3-2】、（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知向量 满足 ，
，若向量 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先判断出 ，设 ， ， ， ，得到 .设 ，判断出A，
B，C三点共线，由等面积法得 ，利用基本不等式求出最大值.
【详解】由 得 ，所以 ． 如图：设 ， ， ， ，由 可知， ，所以 ，即
，所以 ，则 ，当且仅当 时取得等号.
设 ，由 ，可知A，B，C三点共线，由 可知 ，所以
，由等面积法可得： ，得 ，所以 的最大值为 ．
故选：B．
题型四:平面向量在其他知识中的应用
例4．（1）、（2022·江苏无锡·模拟预测）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．
八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单
独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续
的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八
角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分
是正方形且边长为2，其中动点P在圆 上，定点A、B所在位置如图所示，则 最大值为（ ）
A．9 B．10 C． D．
【答案】C【分析】由题意可得 ， ， ， ，设 的夹角为 ，
的夹角为 ，则 = - ,分 在 所对的优弧上和 在 所对的劣弧
上两种情况计算即可得答案.
【详解】解：如图所示：连接 ，
因为中间阴影部分是正方形且边长为2，
所以可得 ， ， ，
所以 ，
在 中由余弦定理可得 ，
所以 ，
设 的夹角为 ， 的夹角为 ，
= = - ,
当 在 所对的优弧上时， ，
所以 ， ，
= ,
所以 = - ＝ ＝ ,（其中 ）
所以 最大值为 ；
当 在 所对的劣弧上时， ，所以 ， ，
= ,
所以 = - ＝ ＝ ,（其中 ）
所以 最大值为 ；
综上所述： 最大值为 .
故选：C.
（2）、（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量 满足
，则 的最小值为_________．
【答案】
【分析】设 ，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.
【详解】解析：几何意义+等和线
由题记 ，
则由 ，
得 ，且 ．
作图，如右图所示：
为正三角形， ，
由 ，得C在直线 上，
又∵ ，∴ ，即点D在以点E为圆心， 为半径的圆上，
∴ ．
故答案为： ．
【变式训练4-1】、（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五
颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去
掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断
【详解】对于A， ，故A正确，
对于B：因为 ， ，所以 ，故B正确，
对于C：由题意 是 的外心，不是 的重心
设 中点为 ，则 ，
，故C错误，
对于D： ，故D正确．
故选：C
【变式训练4-2】、（2022·全国·模拟预测）已知 ， 满足 ， ，则 的最大
值为______．
【答案】4
【分析】 ， ，得到 ， ，从而画图，点A，B在以原点为圆心，以 为半径的
圆上，作出平行四边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公
式和性质求得结果.
【详解】因为 ， ，如图，圆O的半径为 ，点A，B在圆上，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
设 ， ，则 ， ．
设 ，
则 ，
当 时， 有最大值，最大值为4，
此时， 的最大值为4．
故答案为：4.五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在 中， ， ，直线AM交BN于点Q，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把 用 表示，然后由三点 共线可得．
【详解】由题意得，
，
因为Q，M，A三点共线，故 ，化简整理得 ．
故选：C．
2．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））在 中， ， ， 为线段 的中点，
， 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，则 （ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】先根据题意得 为直角三角形， ，进而得 ，再根据 ，
， 得 .
【详解】解：因为在 中， 为线段 的中点，
所以 ，即 ，
因为 ， ， ，所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 为直角三角形，
所以
因为 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，
所以 ， ， ，
所以
故选：C
3．（2022·四川雅安·模拟预测（理））如图，在等腰直角 中，斜边 ， 为线段BC上的动
点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】设 ，然后可得 ，然后根据二次函数的
知识可得答案.
【详解】因为在等腰直角 中，斜边 ，所以 ，
因为 、 ，所以 ，
设 ，则 ，所以当 时， 取得最小值 ，
故选：B
4．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））如图，在 中，已知 ， ， ，
BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则 在 上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合向量运算以及向量投影的计算公式计算出正确答案.
【详解】 ，
由于 是三角形的中线，所以 是三角形 的重心，
所以 ,
则 ，
，
，
.
所以 在 上的投影为 .
故选：A5．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））已知点A､B在单位圆上， ，若
，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】由 结合向量数量积运算可化为二次函数，即可求最小值.
【详解】 ，因
此 .
故选：A.
6．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算，得点 的轨迹，进而根据相似以及三角形边的关系即可结
合图形求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，设 ，
则 ，故点 在以 为圆心，半径为1的圆上，
如图：取点 ,则 ,且 ,
因此 ,所以 ,故 ,
由于
,当 三点共线且点 在线段 上时，等号取到，
因此 ，
故选：D7．（2021·江西·模拟预测（文））如图，在 中， ， ，P为 上一点，且满足
，若 ， ，则 的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 三点共线求出 ，然后把 当基底表示出 和 ，从而求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，因为 三点共线，所以 ，即 ，
所以 ，又 ,
所以
.
故选：C.
8．（2022·四川·模拟预测（理））八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图
2中的正八边形 ，其中 ，给出下列结论：① 与 的夹角为 ；
② ；
③ ；
④向量 在向量 上的投影向量为 （其中 是与 同向的单位向量）.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用正八边形 的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题即
可求解.
【详解】对于①，因为八边形 为正八边形，所以 ，
所以 与 的夹角为 ，①错误；
对于②， ，显然不成立，②错误；
对于③， ，所以 ， ，所以
，③正确；
对于④， ，向量 在向量 上的投影向量为 ，
④正确，
故选：B.
9．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱 的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆 的直径，
P为圆 上的点，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C【分析】利用圆柱的轴截面性质，求得圆柱的高与底面圆半径，根据平面向量的线性性质，把所求数量积
转化为直角三角形中的两个向量数量积，利用数量积的定义求解即可.
【详解】解：设圆柱的高为 ，底面半径为
若圆柱 的轴截面是边长为2的正方形，
则： ，
因为AB为圆 的直径，P为圆 上的点，所以在 中， 为AB中点
又在 中， ，且 ，则
如图：为圆柱的一个轴截面
所以
故选：C.
10．（2022·上海松江·二模）已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边 、 上，且 ，
，若点 在正方形 的边上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则 ， ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ，则 ，
，知 ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 .
综上可得， ，
故选：C
11．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量平行的坐标表示可得 ，再由数量积公式可得答案.
【详解】因为向量 ， ， ，
所以 ， ，
所以 .故选：C.
12．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量 满足 ，则 与 夹角最大值
时 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件对 两边平方即可得出 ,从而可求出 ,进而即可得
出 然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出 ，
.
【详解】因为平面向量 满足 ，所以 ，
所以 ，所以 .
由夹角公式， （当且仅当 ，即
时等号成立）.
因为 ，所以 ，即 时 最大.
此时 .
故选：D
13．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知平面向量 ， ， ， ，若 ，
，则 的最小值是________.
【答案】 ##
【分析】令 ， ，即可得到 且 ，令 ， ，
， ，根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得；
【详解】解：令 ， ，则 ，故 ，且 ，
令 ， ， ， ，
所以根据已知条件有 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立，
所以 的最小值是
故答案为：
14．（2022·全国·模拟预测（文））在 中， 为 的中点， 为线段 上一点（异于端点），
，则 的最小值为______．
【答案】 ##
【分析】本题首先可根据题意得出 ，然后根据 三点共线得出
，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】如图，结合题意绘出图象，
因为 ， 为边 的中点，
所以 ，
因为 三点共线，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 、 时取等号，
故 的最小值为 ，
故答案为： .
15．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，已知点O，A，B，C（顺时针排列）在半径为2的圆E上，将
顺时针旋转 ，得到 ，则 的最大值为_________．【答案】16
【分析】根据向量的线性运算公式和数量积运算公式化简 ，即可求其最大值.
【详解】如图，作 于G， 于H，
由题可得 ，
∴
．当且仅当 且 时等号成立，
故答案为：16．
16．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知平面向量 ， 满足 ，且 ， ，则
__________.
【答案】
【分析】根据已知结合数量积的运算法则求得 ，再利用向量模的计算求得答案.
【详解】由 得： ，故 ，
故答案为：B组 能力提升
17．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.
【详解】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ，
∵BC//EF，∴设 ，则
∴ ，
∴
∴
故选：A.
18．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在 中，M，N分别是线段 ， 上的
点，且 ， ，D，E是线段 上的两个动点，且 ，
则 的的最小值是（ ）A．4 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理可设 ， ， ， ，再结合
得 ，最后运用基本不等式可求解.
【详解】设 ， ， ， ，
则 ，
， ， ， .
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立.
所以 的的最小值是 .
故选：B
19．（2022·广西桂林·模拟预测（理））已知平面向量 ， ， 满足 ，且
，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，得到 ，不妨设 ，利用坐标法求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
如图所示：不妨设 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
表示点C在以 为圆心，以2为半径的圆上，
所以 最小值为 ，
故选：D
20．（2022·江苏南通·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用向量的数量积公式和余弦函数的有界性即可求解.
【详解】∵ ，∴ ，
其中 为向量 ， 的夹角，
即 ，当 时， 有最小值 ，
故选: ．
21．（2022·湖南怀化·一模）已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 的最
大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】以 ， 为邻边作平行四边形 ，设 ， 则 ，由题意 ，
设 ，在 中，根据正弦定理结合三角函数的性质即可得解.
【详解】解：以 ， 为邻边作平行四边形 ，设 ， ，则 ，
由题意 ，设 ，
，
在 中，由正弦定理可得， ，
，
即 的最大值为6.
故选：C．
22．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）在 中， ， 分别是边 ， 上的点，且
， ，点 是线段 上异于端点的一点，且满足 ，则
_________．
【答案】8
【分析】用 、 表示出 、 ，从而得到 ，再根据 ， ， 三点共
线，得到 ，解得即可.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ， ，
即 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
因为 ， ， 三点共线，故 ，解得 ．
故答案为：
23．（2022·四川资阳·一模（理））已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，
则 的最大值为______．
【答案】
【分析】由 ，可求得 ，再求解 ，结合向量模
长的三角不等式 ，即得解.
【详解】由题意， ，又 ，
故 ，
故 ，
由向量模长的三角不等式， ，
即 ，
解得： ，则 的最大值为 .
故答案为：
24．（2020·天津·二模）已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最大值是
________.
【答案】 ##
【分析】法一，由由 ，得 ，借助于几何作图，作 ，确定点P的轨迹，结合圆的几何性
质，即可求得答案;
法二，由题意建立平面直角坐标系，设 ，根据条件确定确定点C在以(1,1)为圆心，1为半径
的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.
【详解】法一 由 ，得 .
如图所示，分别作 ,作 ，
由于 是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以 ,作 ，则 ,
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，| |取得最大值 ,
1
故| |的最大值是 ,
故答案为：
法二 由 ，得 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
设 ，由 ，
得 ，
所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
25．（2022·北京市第十二中学三模） 为等边三角形，且边长为 ，则 与 的夹角大小为 ，
若 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】以点 为坐标原点， 、 分别为 、 轴的正方向建立平面直角坐标系，设点 ，
利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得 的最小值.
【详解】因为 是边长为 的等边三角形，且 ，则 为 的中点，故 ，
以点 为坐标原点， 、 分别为 、 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则 、 、 ，设点 ，
， ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
26．（2022·四川凉山·三模（理） ）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是 所在平面内
的动点，满足 （ ）．射线BP与边AC交于点D．若 ， ，则
面积的最小值为______．
【答案】 ##
【分析】根据向量数乘与加法法则得 是 的平分线，从而得 ，由正弦定理表
示出 ，利用 得出 的面积，并化为 的函数，由三角函数恒等变换并利用
换元法 得出 的函数，结合正弦函数性质、不等式的性质可得最小值．
【详解】 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量，设 ，
由向量加法的平行四边形法则，知 是 的平分线，
由 得 ，所以 与 共线，即 是 中
的平分线，，则 ， ，
由正弦定理得 ，即 ，所以 ，同理 ，
记 ，则 ，
，
设 ，则 ， ，
． ，即 时等号成立．
故答案为： ．C组 真题实战练
27．（2019·天津·高考真题（文））O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】根据 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知
点轨迹，据此可求解.
【详解】 ，
令 ，
则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即 在 的平分线上，
， 共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
28．（2020·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】结合已知条件，首先对 两边同时平方求出 ，然后利用 求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，
故 .
故选：D.
29．（2017·全国·高考真题（理））已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
则
当 ， 时，取得最小值 ，
故选： ．
30．（2018·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得 为等腰三角形， 为等边三角形，把数量积 分拆，设
，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知 为等腰三角形，而 ，所以 为等边三
角形， 。设=
所以当 时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。
同时利用向量共线转化为函数求最值。
31．（2018·天津·高考真题（文））在如图的平面图形中，已知 ,
则 的值为
A． B．
C． D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，
则 ，
由题意可知：
， ，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体
应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
32．（2016·天津·高考真题（理）） 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，连
接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：设 ， ，∴ ， ，
，∴ .
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；
二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为
向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性
运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
33．（2015·福建·高考真题（理））已知 ， ， ，若 点是 所在平面内一点，
且 ，则 的最大值等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ， ，
，即 ，所以 ， ，因此
，因为 ，所以 的最大值等于 ，当 ，即
时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
34．（2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与
BD交于点O，记 ， ， ，则
A．I１
