文档内容
专题 03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：构造法...................................................2
题型二：倒数法...................................................3
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练............................5
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
n+1 n
p
（其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而
a +m=k(a +m) k−1 {a +m} {a +m}
n+1 n n n
{a }
求出数列 的通项公式.
n
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，kp≠0）
n+1 n
类型2：用“同除法”构造等差数列
a a
（1）形如 a =qa+p⋅qn+1 (n∈N¿) ，可通过两边同除 qn+1，将它转化为 q n n + + 1 1 = q n n +p，从而构造数列
n+1 n
{a } {a }
n n
为等差数列，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
qn qn {a }
n
（2）形如 ，可通过两边同除 ，将它转化为 ，换元令：
qn+1
，则原式化为： ，先利用构造法类型1求出 ，再求出 的通项公式.
{a }
n
1 1
（3）形如 的数列，可通过两边同除以 ，变形为 − =−k 的形式，从而
a −a =ka a (k≠0) a a a a
n n+1 n+1 n n+1 n n+1 n{1 } {1 }
构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
a a {a }
n n n
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形为
n+1 pa+q
p,q
pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
= + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，即可求得 .
a a q a a q a a a
n+1 n n+1 n n n n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两边取“倒”，
p,q
变形为 ，可通过换元： ，化简为： （此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
n+1 n
p
法”将原等式变形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
例题1．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列 中， ，则数列
的通项 （ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足
， ，则（ ）
A． B． C．数列 为等差数列 D． 为等比数列
例题3．（2023春·山东淄博·高二校考期中）已知 数列满足 ， ，则数列 的通
项公式为例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的前 项和
为 ．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且 ，求 .
例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列 的前n项和为 ，
．
(1)求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．
例题7．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
例题8．（2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列 满足 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
题型二：倒数法
例题1．（多选）（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列 满足 ，则
（ ）A． 为等比数列
B． 的通项公式为
C． 为单调递减数列
D． 的前n项和
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通
项公式．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
例题5．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列 的首项 ， ， .
(1)设 ，求数列 的通项公式；
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， .
(1)求证： ；例题7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 为等比数列：
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列 满足 ，
，则满足 的最小正整数 ．
3．（2023·全国·高三对口高考）数列 中， ， ，则 ．
4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列 中， ， ，则此数列
的通项公式 .
5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为
.
6．（2023·全国·高二专题练习）设 为数列 的前 项和，已知 ， ，则
三、解答题
7．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列 满足： 求通项 .
8．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知： ， 时， ，求 的通项公式．9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， .若 ，求数列 的
通项公式.
10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 中， ，求数列 的通项公
式；
．
11．（2023秋·江苏·高二专题练习）设 是数列 的前n项和，且 ， ．
(1)求 ；
12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为
(1)试求数列 的通项公式；
13．（2023春·海南儋州·高二校考阶段练习）已知数列 的首项， ， .
(1)求数列 的通项公式；
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， ， ．(1)求证：数列 是等差数列．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .求数列 的通项公
式；
16．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
四、双空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 ， ，则
；若 ， ，则 .
