文档内容
第 03 讲 平面向量的数量积 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
角度2：平面向量数量积的几何意义
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
角度2：向量模运算
角度3：向量的夹角
角度4：已知模求数量积
角度5：已知模求参数
高频考点三：平面向量的综合应用
高频考点四：极化恒等式
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角
已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则
( )叫做向量 与 的夹角，记作 ．
(2)范围：夹角 的范围是 ．
当 时，两向量 ， 共线且同向；
当 时，两向量 ， 相互垂直，记作 ；
当 时，两向量 ， 共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即
，其中θ是 与 的夹角，记作： ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作： .
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点 ，作 .过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则 就
是向量 在向量 上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当 为锐角（如图（1））时， 与 方向相同， ，所以
；
当 为直角（如图（2））时， ，所以 ；
当 为钝角（如图（3））时， 与 方向相反，所以
，即 .当 时， ，所以 ；
.
当 时， ，所以
综上可知，对于任意的 ，都有 .
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量 ， 为向量 和 的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量 的充要条件：
2.5三角不等式： （当且仅当 时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形 中，则
②三角形形式：在 中， 为 的中点，所以
5、常用结论
①
②
③第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高一专题练习）判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）两个向量的数量积仍然是向量.( )
（2）若 ，则 或 .( )
（3） ， 共线⇔ · =| || |.( )
（4）若 · = · ，则一定有 = .( )
（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.( )
2．（2021·全国·高二课前预习）已知两个向量 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.( )
二、单选题
3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2022·全国·模拟预测（文））在边长为2的正三角形 中，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在 中，若 ，则 －定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角 中，关于向量夹角的说法，正确的
是（ ）A． 与 的夹角是锐角 B． 与 的夹角是锐角
C． 与 的夹角是锐角 D． 与 的夹角是钝角
例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量 的夹角为 ，且 ，则
在 方向上的投影为___________.
角度2：平面向量数量积的几何意义
例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量 ，则 在 方向上的投影数量为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆 中弦 的长度为8，则 =（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知 ， 与 的夹角为120°，则向量
在 方向上的投影为（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－2
例题4．（2022·吉林一中高一期中）在 中， ， ， ， 为边上 的动点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统
民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所
构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均在正方形
各边的中点（如图2，若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知 ABC的外接圆圆心为O，且 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为（ ）△
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，
则 在 上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京市第十九中学高一期中）如图，已知四边形ABCD为直角梯形， ， ，
AB=1，AD=3， ，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，与 方向相同的单位向量为 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南河南·三模（理））在 中，“ ”是“ 为钝角三角形” 的
（ ） △ △
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）在圆 中弦 ，则 __________.
7．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）如图，直径 的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，
，线段 上有动点P，则 的取值范围为_________．
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形 的边长为2，则 =
（ ）
A．-6 B． C． D．6
例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形 的边长为2， 为 的中点，
则 （ ）
A． B．0 C． D．2
例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知 ， ，且 ， 的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量 ，单位向量 满足 ，则向量
与 夹角为___________.
例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在 中， ，则_______
角度2：向量模运算
例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知 ， 是平面内的两个向量， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．4
例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则
______．
例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量 ， ，且向量 与 的夹角为 ，则
______．
角度3：向量的夹角
例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量 ， 满足 ， ， ，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量 、 、 ，满足 ，则向量 和 的夹角为
( )
A． B． C． D．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 夹角
的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量 ， 是单位向量，若
，则 与 的夹角为_____.
例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若 ， ，且 ，则 与 的夹角大小为
______．
例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量 ， ，则“ ”
是“ 与 的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，
则实数 的取值范围是______．
例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量 与向量 所成角为钝角．
则 的取值范围是______．
例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的取值
范围为______
角度4：已知模求数量积
例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量 ， 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量 、 满足 ，则 （ ）
A．6 B． C． D．－2
例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量 满足 ，则 _____.
例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量 ， 满足 ， ， ，则
___________.
例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量 ， ，则
________．角度5：已知模求参数
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，向量 ，若 ，则实数
（ ）
A． B． C．-2 D．2
例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量 ， ，若 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量 ， 满足 ， ，且 ，
则 的值为______．
题型归类练
1．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量 ， 为单位向量， ，
则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一单元测试）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，若
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））如图， 中， ， ，P为CD上一点，且满足 ，若AC＝3，AB＝4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量 、 满足 ， ，则向量 与
向量 夹角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东·模拟预测）已知单位向量 ， 满足 ，则向量 ， 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 为非零向量，且 ，则 ， 的夹
角为___________.
8．（2022·广东广州·三模）已知 为单位向量，若 ，则 __________.
9．（2022·山东济宁·三模）在边长为 的等边 中，已知 ，点 在线段 上，且
，则 ________.
高频考点三：平面向量的综合应用
例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三
角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边
形拼成一个大平行四边形，其中 分别是 的中点，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这
个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，
围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．
如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一
段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图
③中 的值为（ ）
A．24 B．6 C． D．
例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形 的对角线相交于点
，过点 的直线与 所在直线分别交于点 ， ，满足 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形 中，
分别为线段 ， 上的动点.
(1)求 ；
(2)若 ，求 ；
(3)若 ，求 的最小值；题型归类练
1．（2022·浙江·高一阶段练习）已知P是 的外心，且 ，则cosC=（ ）
A．- B．- C． 或- D． 或-
2．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））在△ 中，点D满足 = ，直线 与 交
于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东淄博·高一期中）如图， ，则 _________
4．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若 ，
，则 ______．
5．（2022·浙江·高一阶段练习）平面内的三个向量 .
(1)若 ，求实数k的值；
(2)若 ，求实数k的值.
6．（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）已知平面向量 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 与 夹角的余弦值.7．（2022·湖北·高一阶段练习）已知平行四边形 中， ， ，AE和BF交于点P.
(1)试用 ， 表示向量 .
(2)若 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值.
(3)若 ， ，求 的余弦值.
8．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，AD为BC边上的中线，已知 ，c＝1且 ．
(1)求b边的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求
的最小值．
高频考点四：极化恒等式
例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字： ，
，两式相减得： ，我们把这
个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点.
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
例题2．（2022·河北唐山·高三期末） 中， 为 的中点， ， ，则
______．
例 题 3 ． （ 2022 届 高 三 开 年 摸 底 联 考 新 高 考 ） 已 知 直 线 ： 与 圆 ：
交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的最小值为：（ ）
A. B. C. D.
题型归类练
1．设向量 ， 满足 ， ，则 ＝( )
A．1 B．2 C．3 D．52．如图， 中， ， ， ， 点是线段 一动点，若以 为圆
心半径为1的圆与线段 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A
P
M
Q
B C
3．已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
4．如图放置的边长为 1的正方形 ，顶点 分别在 轴， 轴正半轴（含原点）滑动，则
的最大值为______________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
3．（2021·全国·高考真题（文））若向量 满足 ，则 _________.
4．（2021·全国·高考真题（理））已知向量 ．若 ，则 ________．
5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于
点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
6．（2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则________； ________.
