2025届高考数学二轮复习：专题五数列（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025届高考数学二轮复习专题练习（含解析）

专题五 数列 典例分析 考查方式 数列是每年高考的必考内容，考查重点是等差数列、等比数列的基本运算，数列的通项 与数列求和. 新高考数学比起把数列内容作为独立知识板块考查，更呈现出将其融入函数主 线的趋势，重视函数内容与数列内容的融合应用和数列模型的实际应用，体现了高考命题的 基础性、创新性与综合性. 由此，在复习过程中学生必须深刻理解基础知识，掌握基本方法， 灵活运用所学知识解题，更要注重函数思想、等价转化思想、分类讨论思想等数学思想在解 题时的应用. 高考真题 1．[2023年 新课标Ⅱ卷]记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 ( ) A.120 B.85 C.-85 D.-120 2．[2023年 新课标Ⅰ卷]记 为数列 的前n项和，设甲： 为等差数列；乙： 为 等差数列，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．[2024年 新课标Ⅱ卷]记 为等差数列 的前n项和.若 ， ，则 __________.4．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知 为等差数列， .记 ， 分别为数列 ， 的前n项和，若 ， . （1）求 的通项公式； （2）证明：当 时， . 5．[2023年 新课标Ⅰ卷]设等差数列 的公差为d，且 ，令 ，记 ， 分 别为数列 ， 的前n项和. （1）若 ， ，求 的通项公式； （2）若 为等差数列，且 ，求d. 6.[2024年 新课标Ⅰ卷]设m为正整数，数列 ， ，…， 是公差不为0的等差数列，若 从中删去两项 和 后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差 数列，则称数列 ， ，…， 是 可分数列. （1）写出所有的 ， ，使得数列 ， ，…， 是 可分数列； （2）当 时，证明：数列 ， ，…， 是 可分数列； （3）从1，2，…， 中一次任取两个数i和 ，记数列 ， ，…， 是 可分数列的概率为 ，证明： .参考答案 1．答案：C a  q(q 0) 解析：解法一：设等比数列 n 的公比为 ，由题意易知 ，则 a (1q4) 1 5   1q  a 1 (1q6) 21 a 1 (1q2) S  a 1  1q8  1   144 85   1q 1q ，化简整理得 .所以 8 1q 3 .故选 C. S S S S S S S S S 2 S S S  解法二：易知 2， 4 2， 6 4， 8 6，……为等比数列，所以 4 2 2 6 4 ， 5 解得 S 2 1 或 S 2  4.当 S 2 1 时，由 S 6 S 4 2 S 4 S 2 S 8 S 6  ，解得 S 8 85 ；当 S 5 q2 5 时，结合 4 得 ，化简可得 ，不成立，舍去.所以 ， 故选C. 2．答案：C 解析：若 为等差数列，设其公差为d，则 ，所以 ，所 以 ，所以 ，为常数，所以为等差数列，即甲 乙；若 为等差数列，设其公差为t，则 ， 所以 ，所以当 时， ，当 时， 也满足上式，所以 ，所以 ，为常数，所以 为等差数列，即甲 乙，所以甲是乙的充要条件，故选C. 3．答案：95 解析：法一：设 的公差为d，由 ， ，解得 ， ，则 . 法二：设 的公差为d，由 ， ，得 ， ，故 ， ，则 . 4．答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）设等差数列 的公差为d. 因为 ，所以 ， ， . 因为 ， ， 所以 ， 整理得 ，解得 ， 所以 的通项公式为 . （2）由（1）知 ， 所以 . 当n为奇数时， . 当 时， ， 所以 . 当n为偶数时， .当 时， ， 所以 . 综上可知，当 时， . 5．答案：（1） （2） 解析：（1）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 ， 所以 ， . 因为 ，所以 ，解得 或 ， 因为 ，所以 .所以 的通项公式为 . （2）因为 ，且 为等差数列，所以 ，即 ， 所以 ，所以 ， 解得 或 .①当 时， ，所以 ， ， . 因为 ，所以 ，即 ， 解得 或 （舍去）. ②当 时， ，所以 ， ， . 因为 ，所以 ，即 ， 解得 （舍去）或 （舍去）. 综上， . 6.答案：（1） ， ， （2）证明见解析（3）证明见解析 解析：（2）证明：当 时，删去 ， ，其余项可分为以下3组： ， ， ， 为 第1组， ， ， ， 为第2组， ， ， ， 为第3组， 当 时，删去 ， ，其余项可分为以下m组： ， ， ， 为第1组， ， ， ， 为第2组， ， ， ， 为第3组， ， ， ， 为第4组， ， ， ， 为第5组，……， ， ， ， 为第m组，可知每组的4个数都能构成等差 数列，故数列 ， ，…， 是 可分数列. （3）证明：易知 ， ，…， 是 可分数列 是 可 分数列，其中 . 当 时，删去 ， ， 其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列， 故数列1，2，…， 是 可分数列，可分为 ，…， ，…， ，…， .p，q的可能取值方法数为 . 易知 ， ，…， 是 可分数列 是 可分数列，其中 .当 时，删去 ， ， 将 与 从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数成等差数列. 考虑 ， ， ，…， ， 是否可分，等同于考虑1，3，4，…， ， 是否可分，其中 ，可分为 ， ， ，…， ， ，每组4个数都能构成等差 数列. 故数列1，2，…， 是 可分数列，p，q且 的可能取值方法数为 . 从而 . 重难突破 1.已知在等比数列 中， ，等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 ( ) A.60 B.54 C.42 D.36 2.在各项均为正数的等比数列 中， ，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知数列 满足 ， ，则 ( )A.-1 B. C.2 D.3 4.在等比数列 中， ， ，则 ( ) A.64 B.128 C. D. 5.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式.已知该报告厅共有15排座位，共 有390个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为( ) A.12 B.26 C.40 D.50 6.已知数列 为有穷整数数列，具有性质p：若对任意的 ， 中存在 ， ， ，…， （ ， ， ），使得 ，则称 为4-连 续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是( ) A.1，1，1 B.1，1，2 C.1，3，1 D.2，3，6 7.已知数列 是正项数列，且 ，则 ( ) A.216 B.260 C.290 D.316 8.已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ( ) A.51 B.34 C.17 D.1 9.记 为正项等比数列 的前n项和，若 ， ，则 ( ) A.6 B.9 C.12 D.15 10.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细 菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细 菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为( ) A. B. C. D.11.若函数 的定义域为 ，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 12.已知在无穷数列 中， ， ，…， 是首项为10，公差为-2的等差数列， ， ， …， 是首项为 ，公比为 的等比数列（ ， ），对任意 ，均有 成立.若 ，则m的所有可能取值的个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 13.（多选）已知 是等比数列 的前n项和， ， ， 成等差数列，则下列结论正确 的是( ) A. B. C. D. 14.（多选）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的有( ) A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 15.（多选）对于数列 ，定义： ， ， ，则下列说法 正确的是( ) A.若 ，则B.若 ，则 C.若 ，数列 的前n项和为 ，则 D.若 ， ，则 16.已知数列 的前n项和， ，则 _________. 17.已知 是等差数列 的前n项和，且 ， ，则 _________. 18.对于数列 ，定义数列 为数列 的“和数列”，若 ，数列 的“和 数列”的通项公式为 ，则数列 的前21项和 ______.（结果保留指数形式） 19.设 为数列 的前n项积，若 ，其中常数 ，数列 为等差数列，则 _____. b  20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ 数列”.已知数列 n （nN* ）的前n项 1 2 2   和为S n ，且满足b 1 1，S n b n b n1 .设m为正整数.若存在“ M ~ 数列” c n  （ ）， 对任意正整数 ，当 时，都有 成立，则 的最大值为________. 21.设数列 的前n项和为 ， ， . (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前n项和. 22.已知 是首项为1的等比数列，且 ， ， 成等差数列.（1）求数列 的通项公式； （2）设 ， ，求数列 的前n项和 . 1 7 23.已知数列 a n  的前n项和为S，且有 S n  2 n2  2 n ，数列 b n  满足 b 2b b 0  nN b 11 n2 n1 n ，且 3 ，前11项和为220. a  b  (1)求数列 n ， n 的通项公式； 3 1 c  (2)设 n 2a n 72b n 1，数列c n 的前n项和为T n ，求证： T n  2 . 24.已知数列 满足： ， ，数列 的前n项和为 ，且 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）记 ，数列 的前n项和为 ，若 对一切 恒成 立，求实数t的取值范围. 25.给定数列 ，若对任意m， 且 ， 是 中的项，则称 为“H数 列”；若对任意m， 且 ， 是 中的项，则称 为“J数列”. (1)设数列 的前n项和为 ，若 ，试判断数列 是否为“J数列”，并说明理 由； (2)设数列 既是等比数列又是“J数列”，且 ， ，求公比q的所有可能值； (3)设等差数列 的前n项和为 ，对任意 ， 是数列 中的项，求证：数列是“H数列”.答案以及解析 1.答案：C 解析：由等比数列的性质可知 ，因为 ，所以 ， ， 所以 . 故选：C. 2.答案：C 解析：因为数列 为等比数列，且 ， 所以 ， 所以 . 故选：C 3.答案：B 解析：因为数列 满足 ， ，所以 ， 所以 ， ， ， ， 所以 是周期为3的周期数列，又 ，所以 . 故选：B. 4.答案：B 解析：由题意得 ，得 ，则 . 由 ，得 . 所以 .故选：B. 5.答案：C 解析：根据题意，把各排座位数看作等差数列， 设等差数列通项为 ，首项为 ，公差为d，前n项和为 ，则 ， ， 所以 ，即得 ， 故选： 6.答案：B 解析：选项A中， ，和不可能为4，A不是4-连续可表数列； 选项B中， ， ， ， ，B是4-连续可表数列； 选项C中，没有连续项的和为2，C不是4-连续可表数列； 选项D中，没有连续项的和为1，D不是4-连续可表数列． 故选：B． 7.答案：A 解析：令 ，得 ， . 当 时， . 与已知式相减，得 . ，又 时， 满足上式， . ， . 故选：A8.答案：C 解析：设等差数列 的首项为 ，公差为d， 所以由 ， 可得： ， 解得： ， 所以 . 故选：C. 9.答案：B 解析：设正项等比数列 的公比为q， 由题意知， ， 所以 ， ， 成等比数列， 所以 ，即 ， 解得 （舍负）. 故选：B. 10.答案：C 解析：设经过n小时，有 个正常细菌， 个非正常细菌，则 ， . 又 ， ，所以 ， ，则 ， ， 所以 ，所以 .11.答案：C 解析：由 ， 可得 ， 当 时，数列 是公差为2的等差数列，首项为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 故选：C. 12.答案：A 解析：因为 ， ，…， 是首项为10，公差为 的等差数列，所以 ， . ， ，…， 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ， .因为 ，且 只可能是等比数列中的项，所以 ，所以 ，所以 ，且 .因为对任意 ，均有 成立，所以数列 是以2m为周期的数列，所以 ，即 .当 时， ，即m的所有可能取值有4个.故选A. 13.答案：AB解析：若公比 有 ， ， ， 此时 ，故公比 ， 由题意 ， 化简有 ，两边同时乘以 ，可得： ； 两边同时乘以 ，可得： 故有 或 ， 选选：AB. 14.答案：ABD 解析：因为 ， ，所以 ，所以 ，又 ，所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即 ，故B正确； ，因为 ，所以 ， ， ，所以 ，所以 为递减数列，故C错误； ，则 ，故D正确. 15.答案：ABD解析：A. ， ； B. ， ， ； C. ， ，又 时， ， D. ， ， ，…， ， ， ， ， ， ， ， .又 时也成立， ， .又 ， ， 综上，故选：ABD. 16.答案：9 解析：因为数列 的前n项和 ， 所以 ， 所以 . 故答案为：9 17.答案：145 解析：由 ，及 ， ， 可得： ， ，所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 故答案为：145 18.答案： . 解析：因为 ，数列 的“和数列”的通项公式为 ， 所以数列 ， ， 故答案为： . 19.答案：1或2 解析：当 时， ， ， 所以 . 由数列 为等差数列，则 为常数d， ①若 ，则 恒成立，即 恒成立， ；②若 ，则 ， 解得 综上所述， 或 . 20.答案：5 解析：由 ， ， 得 ， ，则 ，则 ， 当 时，由 ，得 ，整理得 ， 所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 ，则 ， 因为数列 为“ 数列”，设公比为q，所以 ， ， 因为 ，所以 ，其中 ， 当 时，有 ； 当 时，有 ， 设 ，则 ， 当 ， ， 单调递增； 当 ， ， 单调递减， 因为 ，所以 ，取 ，当 时， ，即 ，经检验知 也成立， 因此所求m的最大值不小于5， 若 ，分别取 ，得 ，且 ， 从而 且 ，所以q不存在，所以 ， 综上，所求m的最大值为5. 故答案为：5 21.答案：(1) ， (2) ， 解析：(1)由 ，得 ， 两式相减得 ，即 . 因为 ，所以 ，得 ，满足 . 所以 是首项为8，公比为4的等比数列， ， . (2)因为 ， 所以 . 所以 . 故数列 的前n项和为 ， .22.答案：（1） ； （2） 解析：（1）设等比数列 的公比为q， ， 因为 ， ， 成等差数列， 所以 ，即 ， 化简可得 ，解得 . 又 ，所以数列 的通项公式为 . （2）因为 ， 所以 ， 则 ，①， ，② ①-②得 ， 所以 . 23.答案：(1) ， (2)证明见解析 解析：(1) ，故当 时， ； 当 时， ，满足上式，所以 ， . 又 ， ， 数列 为等差数列，令其前n项和为 ， 则 ， ， 公差 ， ， . (2)由(1)知： ， 故 ， ； 1 1 1 1  1 1  T c c c   1          n 1 2 n 2 3 3 5 2n1 2n1 . 24.答案：（1） ， ； （2） 或 解析：（1）对 ：由 ，且 ， 所以数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列.所以 . 对 ：前n项和为 . 当 时， ； 当 时， ， 时，上式亦成立. 所以 . （2）因为 . 所以 . 由已知 或 . 25.答案：(1)是，理由见解析 (2)q的所有可能值为2， ， . (3)证明见解析 解析：(1)因为 ， 当 时， ， 当 时， 也成立，所以 ， 所以对任意m， 且 ， ， 是“J数列” (2)因为 ， ，数列 是等比数列 所以 ，且 ， 由已知得 也为数列中的项， 令 ，得 ， 即 ， 即得 ， 所以 ， 因为 且 故q的所有可能值为2， ，8. (3)设数列 的公差为d， 所以存在 ，对任意 ， ， 即 ， 当 时，则 ，故 ，此时数列为“H数列”； 当 时， ，取 ，则 ， 所以 ， ， 当 时， 均为正整数，符合题意， 当 时， 均为正整数，符合题意， 所以 ， ， 设 ， ， ， 即 ， 所以任意m， 且 ， ， 显然 ， 所以 为数列中的项， 所以 是“H数列”.