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专题 26.2 模型构造专题：反比例函数中 k 的几何意义有关的解题模型
之五大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积】.....................................................................................1
【类型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】.............................................................................6
【类型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】.............................................................................9
【类型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积】.......................................................................................14
【类型五 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】...............................................................................17
【典型例题】
【类型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积】
例题：（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，已知点A为反比例函数 的图象上任意一点，
过A作 轴于B， 的面积为（ ）A．2 B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的系数 的几何意义，即可得出解．
【详解】解：由题意，得： 的面积 ；
故选D．
【点睛】本题考查已知反比例函数的系数 ，求特殊图形的面积，熟练掌握反比例函数的系数 的几何意
义，是解题的关键．
【变式训练】
1．如图， 是反比例函数 在第一象限分支上的一动点， 轴，随着 逐渐增大， 的面积
将（ ）
A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【分析】设点 ，根据 在反比例函数 上，则 ，根据 ，根据点 反比
例函数上，都有 ，即可得到答案．
【详解】设点 ，
∵ 在反比例函数 上，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 反比例函数上，
∴无论点 在哪，都满足 ，
∴随着 逐渐增大， 的面积都为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质．
2．如图，点 是反比例函数 图象上的一点， 轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，则
（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】连接 ，由于 轴，根据反比例函数系数k的几何意义和三角形面积公式得到
．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 轴，
∴ 轴，∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐
标轴围成的矩形面积就等于 ．
3．如图， 两点在函数 图像上， 垂直 轴于点 ， 垂直 轴于点 ， ，
面积分别记为 ， ，则 ．（填“ ”、“ ”、“ ”）
【答案】
【分析】根据反比例函数系数 的几何意义即可求解．
【详解】解：根据题意，设 ， ，且 两点在函数 图像上，
∴ ， ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的系数与几何图形面积的关系是解题的关
键．
4．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在反比例函数 的图象上，顶点B在反比例函
数 的图象上， 轴，若 的面积为4，则 ．【答案】11
【分析】根据反比例函数解析式中，k的几何意义求解．
【详解】如图，延长 交y轴于点C，
， ，
∵
∴ ，
解得
故答案为：11．
【点睛】本题考查反比例函数解析式中，k的几何意义，掌握系数k与三角形面积之间的关系是解题的关
键．
5．如图，直线 与双曲线 相交于A、C两点，过点A作 轴于点B，连接 ，则
的面积为 ．
【答案】【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，可得A，C两点原点对称，从而得到 ，然后根据
反比例函数的系数 的几何意义，求得 ，即可求出 的面积．
【详解】解： 直线 与双曲线 交于A，C两点，
A，C两点关于原点对称，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数的系数 的几何意义，掌握反比例函数关于原点
中心对称是解题关键．
6．如图，在反比例函数 的图像上任取一点 ，过点 作 轴的垂线交反比例函数
的图像于点 ，连接 ， ．则 的面积为________．
【答案】
【分析】设点 的横坐标为 ，代入反比例函数 中，可得到 ，由于 ，可得 ，从而
可得 的长，知道 的底和高，即可得到答案．
【详解】解：设点 横坐标为
点 在 上
∵
∴轴
∵
∴
在 上
∵
，则
∴
．
∴
故填：5．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式是解答
此题的关键．
【类型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】
例题：（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象经过正 的顶点
P，则 的面积为 ．
【答案】【分析】过点 作 ，设 ，则 ， ，由 为正三角形可得，
，求解即可．
【详解】解：过点 作 ，如下图：
设 ，则 ， ，
∵ 为正三角形， ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性
质．
【变式训练】
1．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数 （k＞0，x＞0）图象上，
PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．不变 B．越来越大 C．越来越小 D．先变大后变小
【答案】A【分析】设点P(x， )，作BC⊥PA可得BC=OA=x，根据S PAB= PA•BC= • •x= k可得答案．
△
【详解】解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，则四边形OACB是矩形，则BC=OA，
设点P(x， )，
则S PAB= PA•BC= • •x= k，
△
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于 k，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是
解答本题的关键．
2．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数 第二象限内的图象上，点B
在x轴的负半轴上，若 ，则 的面积为 ．
【答案】4
【分析】过A作 于H，依据 可得 的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，过A作 于H，∵点A在反比例函数 第二象限内的图象上，
∵ 的面积为 ，
∵ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数 图象上任意一点向坐标轴
作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．
【类型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】
例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点A是反比例函数 的图象上的一点，过点A
作平行四边形 ，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形 的面积为 ．【答案】6
【分析】作 于 ，根据四边形 为平行四边形得 轴，则可判断四边形 为矩形，
所以 ，根据反比例函数 的几何意义得到 ，据此即可得到答案．
【详解】解：过点A作 于 ，如图，
四边形 为平行四边形，
轴，
四边形 为矩形，
，
∵ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数 系数 的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数
图象上任意一点向 轴和 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 ．
【变式训练】
1．如图，点A在双曲线 上，过点A作 轴，交双曲线 于点 ，点 、 都在 轴上，
连接 、 ，若四边形 是平行四边形，则 的面积为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由 轴可知，A、B两点纵坐标相等，且都设为b，根据点A在双曲线 ，B在双曲线
上，求得 ，而 的 边上高为b，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵点A在双曲线 上，B在双曲线 上，且 轴，
∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b，
则 ， ，
∴ ，
故 的 边上高为b，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，
根据平行四边形的面积公式计算．
2．如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A向y轴作垂线，垂足为点B，点C、D在x轴上，
且 ，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】
【分析】如图，过点 作 轴于点 ，则四边形 是矩形，根据反比例函数系数 的几何意义可
得 ，然后证明四边形 是平行四边形，根据平行四边形面积的求法计算即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，， ，
四边形 是矩形， ，
点 是反比例函数 的图象上一点，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及反比例函数系数 的几何意义，熟
练掌握反比例函数系数 的几何意义是解题的关键．
3．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，四边形 是平行四边形，点A、B分别在反比例函数
和 的图像上，点C、D都在x轴上，则 的面积为 ．
【答案】10
【分析】过点A作 规于E，过点B作 规于F，设 与y轴交于G，MJ ，
，再根据平等四边形与矩形的性质得出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作 规于E，过点B作 规于F，∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，四边形 是矩形，
∴ ，
∵点A、B分别在反比例函数 和 的图像上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反
比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．
4．（2023·安徽亳州·九年级专题练习）如图，点A是双曲线 上的动点，过点A作x轴的平行线
交双曲线 于点B，作 轴于点C，连接 ，若四边形 为平行四边形，则k的值是 ．
【答案】
【分析】延长 交y轴于点D，过B作 轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案；【详解】解：延长 交y轴于点D，过B作 轴，
∵点A是双曲线 ， 轴，
∴ ， ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 轴， 轴， 轴，
∴ ，
∵点B在 上，
∴ ，
解得： ，
故答案为 ；
【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的
三角形得到面积．
【类型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积】例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图， 是函数 图象上的一点，过点 作
轴的垂线，垂足为 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，则四边形 的面积是 ．
【答案】
【分析】直接根据反比例函数比例系数 的几何意义求解．
【详解】解：∵ 是函数 图象上的一点，
又 ，
∴四边形 是矩形
∴矩形 的面积 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个
点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．
【变式训练】
1．（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，且轴，点 、 在 轴上，若四边形 为矩形，则它的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】延长 交 轴于点 ，根据反比例函数 的几何意义可得答案．
【详解】解：延长 交 轴于点 ，则 轴，四边形 是矩形，如图：
∵点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上一点作坐标轴垂线组成的四边
形面积为 是解答本题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中， 是反比例函数 的图象上的
一点，则矩形 的面积为 ．【答案】
【分析】根据反比例函数 的几何意义，直接求出即可．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴矩形 的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义，理解反比例函数 的几何意义并熟练运用是解题关键．
3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点 与点 是反比例函数 的图象上的
两点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
设矩形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的大小关系为： （填“ ”，
“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出 与 的值．
【详解】∵点A与点B是反比例函数 的图象上的两点，
过点A作 轴于点M， 轴于点N，过点B作 轴于点G， 轴于点H，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
【类型五 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】
例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点 作反比例函数 的图象上， 轴于
点 ，交反比例函数 的图象于点A， 轴于点 ，交反比例函数 的图象于
点 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得 ， ， ，即可得四边形 的面积．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ，交反比例函数
的图象于点A， 轴于点 ，交反比例函数 的图象于点 ，
∴ ，，
，
∴四边形 的面积为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意
义．
【变式训练】
1．如图，过点 分别作 轴于点C， 轴于点D， 分别交反比例函数
的图象于点A、B，则四边形 的面积为 ．
【答案】16
【分析】
根据反比例函数系数 的几何意义可得 再利用矩形 的面积减去 和
的面积即可.
【详解】∵ 两点在反比例函数 的图象上，
∵ ,
∴四边形 的面积为 ,
∴四边形 的面积为 ,
故选: .
【点睛】此题主要考查了反比例函数 的几何意义，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 且保持不变.
2．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）点 ， ， 在反比例函数 （常数 ， ）图象上的
位置如图所示，分别过这三个点作 轴、 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为 ，
， ． ，若四边形 的面积是27，则 的值为 ；若 ，则
的值为 ；若 ，则 的值为 ．
【答案】 27 27
【分析】利用反比例函数系数 的几何意义可得 ，根据 求解 ，然
后利用 列方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意知：四边形 是矩形，
若四边形 的面积是27，
∵ 在反比例函数 （常数 ， ）图象上，且四边形 的面积是27，
∴ ；
若 ，
同理：矩形 ，矩形 的面积都为 ，
∴ ；若 ，
，
，
，
∴
故答案为：27，27，
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的
关键．
3．如图，点 、 、 、 在反比例函数 的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4……，
过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为 、 、 ……，则
．【答案】 /
【分析】根据反比例函数 的几何意义，求出 的坐标，再用平移法和反比例函数 的几何意义进行求
解即可．
【详解】解：当 ， ，
∴ ，
由图象可知：
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的面积问题．熟练掌握反比例函数 的几何意义，利用平移法解决面
积问题是解题的关键．
4．如图，在反比例函数 的图象上有点 ， ， ， ， ，其横坐标依次为2，4，6，8，
10，分别过这些点作 轴、 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ， ，已知 的纵坐标为10．
（1） 的值为 ；
（2）阴影部分的面积 ， ， ， 的和为 ．
【答案】
【分析】（1）可得 ，代入即可求解；
（2）可求 ，将所以阴影部分面积移到一起是矩形，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得 ，
，
解得： ，
故答案： ．
（2）由（1）得： ，
当 时，
，
解得： ，
，
，
故答案： ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数关系式，根据 的意义求矩形面积，理解 的意义是解题的
关键．
