专题22.2 二次函数与一元二次方程（七大题型）
【题型1：求抛物线与x轴交点坐标】.................................................................................1
【题型2：求抛物线与y轴交点坐标】.................................................................................4
【题型3：求抛物线与x轴交点问题】..................................................................................7
【题型4：图像法确定一元二次方程的根】...........................................................................9
【 题 型 5 ： 利 用 图 像 法 求 一 元 二 次 不 等
式】......................................................................12
【 题 型 6 ： 利 用 不 等 式 求 自 变 量 或 函 数 值 的 范
围】...........................................................13
【 题 型 7 ： 根 据 交 点 确 定 不 等 式 的 解
集】.........................................................................18
【题型1：求抛物线与x轴交点坐标】
1．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线y=x2−2x+c与x轴的一个交点坐标为
(−1,0)，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
(5 ) (7 )
A． ,0 B．(2,0) C． ,0 D．(3,0)
2 2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是
解题的关键．先求出二次函数的对称轴，进而得出另一个交点坐标．
−2
【详解】解：由抛物线y=x2−2x+c中，对称轴为：x=− =1，
2×1
∵抛物线y=x2−2x+c与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，
∴此抛物线与x轴的另一个交点坐标是(3,0)，
故选：D.2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线y=x2+2x−3与y轴的交点坐标是（ ）
A．(0,−3) B．(−3,0) C．(0,3) D．(1,0)
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解
题的关键．把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：当x=0时，y=−3，
则抛物线y=x2+2x−3与y轴交点的坐标为(0,−3)，
故选：A．
3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点为（ ）
A．(0,3) B．(0,−3) C．(−1,0) D．(3,0)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线与y轴交点的横坐标为
0是解题的关键．
求出当x=0时y的值，即可得出抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：在y=x2−2x−3中，
当x=0时，y=−3，
∴抛物线与轴交点的坐标是(0,−3)，
故选：B．
4．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标是（ ）
A．(0,3) B．(3,0) C．(0,0) D．(3,3)
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，令x=0，即可求得该抛物线与y轴
的交点坐标．
【详解】解：在y=x2+3中，令x=0，得y=3，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)．
故选：A．
5．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点的坐标为 ．
【答案】(3,0)，(−1,0)/(−1,0)，(3,0)
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标的求法，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为
0是解答此题的关键．根据x轴上的点的坐标特点：纵坐标等于0，然后令y=0即可求
出纵坐标，从而得出结论．【详解】解：令y=0，得：x2−2x−3=0，
即(x−3)(x+1)=0，
解得：x =3,x =−1，
1 2
∴抛物线y=x2−2x−1与x轴的交点的坐标为：(3,0),(−1,0)，
故答案为：(3,0),(−1,0)．
6．（24-25九年级上·山东济南·期中）抛物线y=ax2−8ax+c与x轴的一个交点的坐标为
(2,0)，则与x轴的另一个交点坐标是 ．
【答案】(6,0)
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，正确记忆修改知识点是解题关键．先求出抛
物线对称轴为：x=4，再根据抛物线的对称轴进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为y=ax2−8ax+c，
−8a
∴抛物线对称轴为直线x=− =4，
2a
∵抛物线y=ax2−8ax+c与x轴的一个交点的坐标为(2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(6,0)，
故答案为：(6,0)．
7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，若y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则
关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为 ．
【答案】x=−1
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点
的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此利用对称性求出二次函数与x轴的另一
个交点的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1且与x轴的一
个交点坐标为(3,0)，∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为x=−1，
故答案为：x=−1．
1
8．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）二次函数y=− x2−x+m的部分图象如图所示，则
2
1
关于x的一元二次方程− x2−x+m=0的解是 ．
2
【答案】x =−3，x =1
1 2
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，
根据函数图象，对称轴，可得二次函数与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴交点
的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系，即可．
1
【详解】解：由函数图象可得，二次函数y=− x2−x+m与x轴的交点为(−3,0)，对
2
x +x −3+x
称轴为：x= 1 2=−1= 2，
2 2
∴x =1，
2
1
∴二次函数y=− x2−x+m与x轴的另一个交点为(1,0)，
2
1
∴当x=−3或x=1时，y=− x2−x+m=0，
2
1
∴一元二次方程− x2−x+m=0的解为：x =−3，x =1．
2 1 2
故答案为：x =−3，x =1．
1 2
【题型2：求抛物线与y轴交点坐标】
1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数y=−3(x+1) 2−2与y轴的交点坐标是
（ ）A．(−1,−2) B．(−1,2) C．(0,−2) D．(0,−5)
【答案】D
【分析】本题考查了求二次函数与y轴的交点坐标，令x=0求出y的值即可得解．
【详解】解：在y=−3(x+1) 2−2中，当x=0时，y=−3×(0+1) 2−2=−5，
故二次函数y=−3(x+1) 2−2与y轴的交点坐标是(0,−5)，
故选：D．
2．（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数图象中，与y轴交点的坐标是(0,1)的是（
）
A．y=2x−1 B．y=2x
C．y=2(x+1) 2 D．y=2x2+1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数和一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握函数与坐标轴
交点坐标的特征是解题的关键．
将x=0分别代入函数的图象，得出y轴交点的坐标，即可判断．
【详解】A．当x=0时，y=2×0−1=−1，所以与y轴的交点坐标为(0,−1)．故该选
项不符合题意；
B．当x=0时，y=2×0=0，所以与y轴的交点坐标为(0,0)．故该选项不符合题意；
C．当x=0时，y=2×(0+1) 2=2，所以与y轴的交点坐标为(0,2)．故该选项不符合题
意；
D．当x=0时，y=2×02+1=1，所以与y轴的交点坐标为(0,1)．故该选项不符合题意；
故选：D．
3．（24-25九年级下·全国·期中）如图，二次函数y=x2−4x+3的图像与x轴交于A，B两
点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为（ ）A．6 B．3 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴的交点坐标，二次函数与y
轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别令y=0，x=0，代入
y=x2−4x+3，得A(1,0),B(3,0)，C(0,3)，再结合三角形面积公式列式计算，即可
作答．
【详解】解：∵二次函数y=x2−4x+3的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
∴令y=0时，则x2−4x+3=0，
得x =1,x =3,
1 2
∴A(1,0),B(3,0)，
∴AB=2，
令x=0时，y=02−4×0+3=3，
∴C(0,3)．
∴OC=3，
1
∴S = ×AB×OC=3．
△ABC 2
故选：B．
4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）二次函数y=3x2−x−2的图象与y轴的交点坐标为
【答案】(0,−2)
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活
运用二次函数的性质是关键．依据题意，令x=0，从而y=3×0−0−2=−2，故图象
与y轴的交点坐标为(0,−2)，进而可以得解．
【详解】解：由题意，令x=0，
∴y=3×0−0−2=−2．
∴图象与y轴的交点坐标为(0,−2)．
故答案为：(0,−2)．5．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，y=ax2+2x+c与x轴
交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C，则OC的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与y轴的交点问题；待定
系数法求得解析式为y=x2+2x−3，令x=0，得出OC=3，即可求解．
【详解】解：∵y=ax2+2x+c与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
{0=9a−6+c)
∴
0=a+2+c
{ a=1 )
解得：
c=−3
∴y=x2+2x−3
当x=0时，y=−3
∴C(0,−3)
∴OC=3
故答案为：3．
【题型3：求抛物线与x轴交点问题】
1．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数y=(a−2)x2−2x+1的图象与x轴有交点，
则a的取值范围是（ ）
A．a<2 B．a≤3 C．a<3且a≠2 D．a≤3且a≠2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义、二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．根据二次函数的定义得到a≠2，由二次函数的图象与x轴有交点，利用
Δ≥0求出a的取值范围即可．【详解】解：∵二次函数y=(a−2)x2−2x+1，
∴a−2≠0，即a≠2，
∵二次函数y=(a−2)x2−2x+1的图象与x轴有交点，
∴Δ=(−2) 2−4(a−2)≥0，
解得：a≤3，
∴综上所述，a的取值范围是a≤3且a≠2．
故选：D．
2．（2025·广东清远·二模）关于二次函数y=x2−3x+2的图象与x轴交点个数的情况，下
列说法正确的是（ ）
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情
况和抛物线与x轴交点的个数间的关系是解题的关键．令y=0，得到关于x的一元二次
方程，然后由Δ>0即可判断．
【详解】解：令y=0，则x2−3x+2=0，
∵Δ=(−3) 2−4×1×2=9−8=1>0，
∴方程x2−3x+2=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=x2−3x+2的图象与x轴有两个交点，
故选：A．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查二次函数图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式，由题
意可根据一元二次方程根的判别式得b2−4ac=0，然后根据二次函数的图像与系数的
关系可求解．
【详解】解：解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0，
所以二次函数y=ax2+bx+c与轴有一个交点；
故答案为：1．4．（2025·广东广州·二模）已知抛物线y=x2−2x+m与x轴有两个不同的交点，则m的
取值范围为 ．
【答案】m<1
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴有两
个不相同的交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求
解即可．
【详解】解：∵抛物线y=x2−2x+m与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4m>0，
∴m<1，
故答案为：m<1．
5．（2025·江苏南通·一模）将抛物线y=x2−4x+8向下平移m个单位长度后得到新抛物
线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥4
【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，
利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
先根据平移的规律写出抛物线y=x2−4x+8向下平移m个单位长度后的抛物线的表达
式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得Δ≥0，由此列不等式即可求出m
的取值范围．
【详解】解：将抛物线y=x2−4x+8向下平移m个单位长度得y=x2−4x+8−m，
∵y=x2−4x+8−m与x轴有公共点，
∴Δ≥0，
即(−4) 2−4(8−m)≥0，
解得：m≥4，
故答案为：m≥4．
【题型4：图像法确定一元二次方程的根】
1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数y=ax2−2ax+c（a≠0，a，c为常
数），下表给出了自变量x与函数值y的部分对应值．x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
y=ax2−2ax+c3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
根据表格，可以估计方程ax2−2ax+c=5的近似解是（ ）
A．−0.55和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．−0.75和2.75
【答案】D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当
y=ax2−2ax+c=5时，x在2.7和2.8之间，再根据对称性得到当
y=ax2−2ax+c=5时，x还在−0.8和−0.7之间，据此即可得到答案．
【详解】解：∵y=ax2−2ax+c，
−2a
∴抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴观察表格可知，当y=ax2−2ax+c=5时，x在2.7和2.8之间，
根据二次函数的对称性可知，当y=ax2−2ax+c=5时，x还在−0.8和−0.7之间，
故选：D．
2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线y=ax2+c与直线
y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，则方程ax2+c=mx+n的解为（ ）
A．x=−1 B．x=3 C．x=−1或3 D．x<−1或x>3
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函
数的交点是解题的关键．根据抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，
B(3,q)两点，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，
∴ ax2+c=mx+n的解为x=−1或3，
故选：C．
3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设y=x2+3x−5，下表列出了x与y的6对对应值：
x −1 0 1 2 3 4
y −7 −5 1 5 13 23
根据表格能够发现一元二次方程x2+3x−5=0的一个解的大致范围是（ ）
A．−7<x<−5 B．0<x<1 C．−5<x<1 D．1<x<2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与方程的解，熟练掌握方程的解是对应二次函数与轴的
交点坐标是解题的关键．根据二次函数的增减性，可得答案．
b 3
【详解】解：根据y=x2+3x−5，可得对称轴为直线x=− =− ，
2a 2
3
∴当x>− 时，y随x的增大而增大，
2
∵当x=1时，y=1，当x=0，y=−5，
∴x2+3x−5=0的一个解的大致范围是0<x<1，
故选：B．
4．（2022九年级上·浙江·专题练习）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如
图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个
近似根为（ ）（精确到0.1）
A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3
【答案】C
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝
﹣1，
∴另一个交点坐标为：（2.3，0），
则方程的另一个近似根为x＝2.3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据二次函数图象求方程的近似根，掌握抛物线的对称性是解题
的关键．
【题型5：利用图像法求一元二次不等式】
1．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数y=x2−x−2的图象如图所示，则函数值
y>0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x<−1 B．x>2 C．−1<x<2 D．x<−1或x>2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值y>0时，自变量
x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案．
【详解】观察图象知，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>2，
故选：D．
2．（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据
图中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）A．−1≤x≤3 B．x≥3 C．x≤−1 D．x≤−1或x≥3
【答案】D
【分析】根据图象即可得出答案．
【详解】解：由图可得，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为(−1，1)，(3，1)，
观察图象可知，当y≥1时，x≤−1或x≥3，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用图象法解不等式，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解
此题的关键．
3．（22-23九年级上·河南许昌·期末）已知，抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据
图象回答，当ax2+bx+c<1时，x的取值范围是（ ）
A．−1<x<3 B．x<−1或x>3 C．x<−1 D．x>3
【答案】A
【分析】由图象可得：当y=1时，x=−1或x=3，可得当ax2+bx+c<1时，即图象
在直线y=1的下方，从而可得x的取值范围是−1<x<3．
【详解】解：由图象可得：当y=1时，x=−1或x=3，
∴当ax2+bx+c<1时，x的取值范围是−1<x<3；故选A
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解
题是关键．
【题型6：利用不等式求自变量或函数值的范围】
1．（22-23九年级上·北京海淀·期中）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关
于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≤0 C．−3≤x≤0 D．x≤−3或x≥0
【答案】C
3 3
【分析】由函数图象得对称轴为x=− ，然后可得点(0,2)关于x=− 的对称点的坐标，
2 2
进而可得答案．
3
【详解】解：由函数图象得：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=− ，
2
3
∴点(0,2)关于x=− 的对称点的坐标为(−3,2)，
2
∴关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是−3≤x≤0
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应
用是解题的关键．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数y=x2，当1<x<2时，y的取值范围是
（ ）
A．−1<y<4 B．1<y<4 C．0≤ y<1 D．0≤ y<4
【答案】B
【分析】先求出二次函数的最小值，再求出x=1，x=2时的函数值，即可解决问题．【详解】解：∵二次函数y=x2，
∴抛物线对称轴为y轴，即直线x=0，开口向上，y的最小值为0，
∴当x>0时，y随x的增大而增大，
∴x=1时，y=1；x=2时，y=4，
所以当1<x<2时，1<y<4．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定
出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
3．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，对称轴
为直线x=2，若其与x轴的一个交点为B(6,0)，则由图象可知，不等式
ax2+bx+c＞0的解集是 ．
【答案】x＞6或x＜−2
【分析】本题考查了抛物线的对称性，数形结合思想，求不等式的解集，先求得抛物
线与x轴的两个交点坐标，后计算即可．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c的一部分，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点
为B(6,0)，另一个交点坐标为(x ,0)，
1
6+x
∴ 1=2，
2
解得x =−2，
1
∵ax2+bx+c＞0，
∴x＞6或x＜−2，
故答案为：x＞6或x＜−2．
4．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，(3,0)，
则y<0的解集为 ．【答案】x<−2或x>3
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系；
根据函数图象结合与x轴的交点坐标，找出y<0时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象得，抛物线开口向下，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−2,0)，(3,0)，
∴y<0的解集为x<−2或x>3，
故答案为：x<−2或x>3．
5．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，
对称轴为直线x=1，则当y<−3时，x的取值范围是 ．
【答案】0<x<2/2>x>0
【分析】先根据抛物线的对称性求出点(2，−3)在二次函数图象上，再结合函数图象
求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，二次函数与y轴的交点坐标为(0,−3)，
∵二次函数对称轴为直线x=1，
∴点(2，−3)在二次函数图象上，
∴由函数图象可知，当0<x<2时，y<−3，
故答案为：0<x<2．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的对称性得到点
(2，−3)在二次函数图象上是解题的关键．
6．（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点．当−1<x<3时，则y的取值范围
；
【答案】−4≤ y<0
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，求二次函数解析式，先利用
待定系数法求出二次函数解析式，进而把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据函
数图象可知找到函数图象在x轴下方时函数值的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，
{1−b+c=0
)
∴ ，
9+3b+c=0
{b=−2)
∴ ，
c=−3
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴抛物线顶点坐标为(1,−4)，
∴由函数图象可知，当−1<x<3时，y的取值范围−4≤ y<0，
故答案为：−4≤ y<0．
7．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
则当0≤x<3时，函数值y的取值范围是 ．
【答案】−1≤ y<3【分析】根据图象中的数据得到当横坐标0≤x<3时的纵坐标范围即可．
【详解】解：由图象可知，
当0≤x<3时，函数值y的取值范围−1≤ y<3，
故答案为：−1≤ y<3．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质和数形结合的思想解答．
8．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）已知y=−x2+2x，则当0<x≤2时，y的取值范
围是
【答案】0≤ y≤1/1≥ y≥0
【分析】先化为顶点式，根据开口方向以及顶点坐标求得最大值为1，抛物线的对称
轴可得，当x=2时y取得最小值，即可求解．
【详解】解：∵y=−x2+2x=−(x−1) 2+1
∴抛物线的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x=1时，有最大值，最大值为1
当0<x≤2时，当x=2时，y取得最小值，最小值为−4+2×2=0，
∴当0<x≤2时，y的取值范围是0≤ y≤1，
故答案为：0≤ y≤1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．
【题型7：根据交点确定不等式的解集】
1．（九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线y =(x−2) 2−1与直线y =x−1交于A、
1 2
B两点，则当y ≥ y 时，x的取值范围为（ ）
2 1
A．x≤1或x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．1≤x≤4
【答案】D
【分析】先求出两个图象的交点坐标，再根据图象即可求解．{y=(x−2) 2 −1)
【详解】解： ，
y=x−1
{x=1) {x=4)
解得： 或 ，
y=0 y=3
∴A(1,0)，B(4,3)，
由图象可知，当y ＞y 时，1≤x≤4，
2 1
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的综合，解题关键是求出交点坐标，
能根据图象写出不等式的解集．
2．（九年级上·山东烟台·期中）二次函数y =ax2+bx+c与一次函数y =mx+n的图象如
1 2
图所示，则满足y >y 的x的取值范围是（ ）．
1 2
A．−3<x<3 B．−3<x<0 C．x<−3或x>1 D．x<−3或x>0
【答案】B
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即
可．
【详解】解：由图可知，−3<x<0时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足y >y 的x的取值范围是−3<x<0．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
3.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数y =−x2+bx+c与一次函数y =kx+2
1 2
的图象交于点A，B．若−x2+(b−k)x+c−2<0，则x的取值范围是（ ）A．−1<x<4 B．x>−1 C．x<4 D．x<−1或x>4
【答案】D
【分析】本题考查了根据函数交点解不等式．
−x2+(b−k)x+c−2<0可以变形为−x2+bx+c<kx+2，据此根据图象判断即可．
【详解】解：−x2+(b−k)x+c−2<0可以变形为−x2+bx+c<kx+2，
即y <y ，
1 2
根据图象可知，此时x<−1或x>4．
故选：D．
4．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，已知二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)与一次函
1
数y =kx+m(k≠0)的图象交于点A(−1,3)，B(4,2)．如图所示，则能使y <y 成立
2 1 2
的x的取值范围是 ．
【答案】−1<x<4/4>x>−1
【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得x的取值范围．
【详解】解：由图象知，当−1<x<4时，抛物线位于直线的下方，即y <y ，
1 2
故答案为：−1<x<4．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键．5．（22-23九年级上·北京石景山·期中）已知二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)与一次函数
1
y =kx+m(k≠0)的图象相交于点A(−1,4)，B(4,2)．如图所示，则能使y >y 成立
2 1 2
的x的取值范围 ．
【答案】x＜−1或x＞4
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即
可．
【详解】解：∵两函数图象的交点坐标为A(−1,4)，B(4,2)，
∴使y ＞y 成立的x的取值范围是x＜−1或x＞4．
1 2
故答案为：x＜−1或x＞4．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解决本题的关键是利用数形结合的思想求解．
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4与
x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出点A、点B和点C的坐标．根据抛物线y=−x2+4，可以求得点A、点B
和点C的坐标，然后即可得到AB和OC的长度，最后计算△ABC的面积即可．
【详解】解：∵抛物线y=−x2+4，
∴当x=0时，y=4；当y=0时，x=2或−2，
∴点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0,4)，
∴AB=2−(−2)=4，OC=4，
AB×OC 4×4
∴S = = =8，
△ABC 2 2
故答案为：8．
2．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为
(m,0)，则代数式m2−m+2024的值为 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，代数式求值，首先把点(m,0)代入抛
物线的解析式，可得m2−m=1，再把m2−m=1代入m2−m+2024，即可求得答案．
【详解】解：把点(m,0)代入抛物线的解析式y=x2−x−1，
得m2−m=1，
∴m2−m+2024=1+2024=2025，
故答案为：2025．
2 4 2
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知抛物线y = x2− x与直线y = x交于
2 3 3 1 3
点O、A(3,2)，与x轴交于点B(2,0)．若y >y >0，则x的取值范围是 ．
1 2
【答案】2<x<3
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．
2 4 2
由二次函数y = x2− x的图象与正比例函数y = x的图象交于点A(3,2)，与x轴
2 3 3 1 3
交于点B(2,0)，然后观察图象，即可求得答案．
2 4 2
【详解】解：由图象可知，已知二次函数y = x2− x的图象与正比例函数y = x
2 3 3 1 3的图象交于点A(3,2)与坐标原点，
当0<x<3时，y 的图象在y 下方，因此y >y ；
2 1 1 2
由y 与x轴交于点B(2,0)，可知当x>2时，y >0；
2 2
∴当2<x<3时，y >y >0．
1 2
故答案为：2<x<3．
4．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=−x的图象交于
点A(−2,2)和原点O，则关于x的不等式ax2+bx>−x的解集是 ．
【答案】−2<x<0/0>x>−2
【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结
合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx与一次函数y=−x的图象交于点A(−2,2)和原点
O，
∴由图象可得：关于x的不等式ax2+bx>−x的解集是−2<x<0，
故答案为：−2<x<0．
5．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数y=x2−2x−8，当−1≤x≤2时，
y的取值范围是 ．
【答案】−9≤ y≤−5
【分析】先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得
出x=−1时，求得函
数的最大值，进而即可求解．
【详解】解：∵y=x2−2x−8 =(x−1) 2−9，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，y的最小值为−9，
∵1−(−1)>2−1，
∴x=−1时，y取得最大值，最大值为(−1−1) 2−9=−5，
∴当−1≤x≤2时，y的取值范围是−9≤ y≤−5故答案为：−9≤ y≤−5
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定
出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
6．（22-23九年级上·北京丰台·阶段练习）已知二次函数y=x2+2x−3，当−3<x<1时，
函数值y的取值范围为 ．
【答案】−4≤y<0
【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结
论．
【详解】解：∵y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−1，
当x=−3时，y=9−6−3=0，
当x=−1时，最小值为y=−4，
当y=1时，y=1+2−3=0，
∴−4≤y<0，
故答案为：−4≤y<0．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公
式，理解抛物线的增减性．
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和
B(0,−5)．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当−5≤ y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−5，顶点坐标为(−1,−6)
(2)−3≤x≤−2或0≤x≤1
【分析】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A、B关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【详解】（1）把A(1,−2)和B(0,−5)代入y=x2+bx+c得：
{1+b+c=−2)
，
c=−5
{ b=2 )
解得 ，
c=−5
∴二次函数的表达式为y=x2+2x−5，
∵y=x2+2x−5=(x+1) 2−6，
∴顶点坐标为(−1,−6)；
（2）如图：
∵ A(1,−2) x=−1 C(−3,−2)
点 关于对称轴直线 的对称点 ，点
B(0,−5)关于对称轴直线x=−1的对称点D(−2,−5)，
∴由图像可得，当−5≤ y≤−2时，x的范围是−3≤x≤−2或0≤x≤1
