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第 21 章 一元二次方程过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
3
A．x2+x=6 B．2x2+ =1
x
C．xy+ y2=0 D．x+4=5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如 的整式方程，熟
ax2+bx+c=0(a≠0)
练掌握定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义即形如 的整式方程叫做一元二次方程判
ax2+bx+c=0(a≠0)
断即可．
【详解】解：A. x2+x=6是一元二次方程，故此选项符合题意；
3
B. 2x2+ =1，不是整式方程，故此选项不符合题意；
x
C. xy+ y2=0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. x+4=5，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选A．
2．用配方法解x2−2x=2配方得（ ）
A． B． C． D．
(x−1) 2=3 (x−2) 2=3 (x−3) 2=3 (x−4) 2=3
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把方程两边都加1，再把左边根据完
全平方公式写成完全平方的形式
【详解】解：∵x2−2x=2，
∴x2−2x+1=2+1，
∴ ．
(x−1) 2=3
故选A．
3．一元二次方程3x2+4=2x（二次项系数为正）的一次项系数为（ ）A．2 B．3 C．−2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解
题的关键；
先将原方程变形为一般形式，进而得到答案.
【详解】解：原方程即为3x2−2x+4=0，
所以方程3x2−2x+4=0的一次项系数是−2；
故选：C.
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x−m=0有两个实数根x ，x ，若x ⋅x =1，则m的
1 2 1 2
值为（ ）．
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的
关系，进而求解m的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟
练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程 ，韦达定理指出两根 、 有
ax2+bx+c=0(a≠0) x x
1 2
c
x ⋅x = ．
1 2 a
在方程x2+3x−m=0中，a=1，c=−m，x ⋅x =1，
1 2
−m
∴ =1，
1
解得m=−1 ．
故选：B
5．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在
2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年
减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射
性同位素质量的年平均减少率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
500(1+x) 2=405 500(1−x) 2=405
C． D．
405(1+x) 2=500 405(1−x) 2=500【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次
方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，则2024年初为
， 年初为 ，即可解答．
500(1−x) 2025 500(1−x) 2
【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，
根据题意，得； ，
500(1−x) 2=405
故选：B．
6．如图，矩形草坪的长和宽分别为30m，20m，若将该草坪的长和宽各增加xm，扩建后
1
增加的面积是原来矩形草坪面积的 ．根据题意，下列方程正确的是（ ）
2
3 3
A．(20+x)(30+x)= ×20×30 B．(20−x)(30−x)= ×20×30
2 2
1 1
C．x2= ×20×30 D．(20+x)(30+x)= ×20×30
2 2
【答案】A
1
【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的 ”，可知扩建后草坪的面
2
3 3
积是原来矩形草坪面积的 ，由此可得方程为(20+x)(30+x)= ×20×30．本题考查
2 2
了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该草坪的长和宽各增加xm，根据题意得
3
(20+x)(30+x)= ×20×30，
2
故选：A．
7．关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟
练掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．计算一元二次方程根的判别式，进
而即可求解，当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程
有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
【详解】解： ，
b2−4ac=(−m) 2−4×2×(−3)=m2+24>0
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．若x=m是一元二次方程x2−2x−15=0的解，则代数式2m2−4m的值为（ ）
A．30 B．15 C．−15 D．−30
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解和整体代入的求值方法，熟练掌握一元二次方程
的解的定义和整体的数学思想是解题的关键，由x=m是一元二次方程x2−2x−15=0
的解可得关于m的方程，结合所求、变形方程即得答案．
【详解】解：∵ x=m是一元二次方程x2−2x−15=0的解，
∴ m2−2m−15=0，
∴ m2−2m=15，
，
∴2m2−4m=2(m2−2m)=2×15=30
故选：A．
9．根据表格中的信息，估计一元二次方程x2−3x−5=0的一个解的范围是（ ）
x −2 −1 0 1 2
x2−3x−5 5 −1 −5 −7 −7
A．−2−1 C．n≤−1 D．n≥−1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据新定义可得原方程为
x2−2x−n=0，再利用一元二次方程根的判别式解答，即可．
【详解】解：根据题意得：x×2=x2−2x，
∴原方程为x2−2x−n=0，
∵该方程有两个实数根，
∴Δ≥0，
即 ，
(−2) 2+4n≥0
解得：n≥−1．
故选：D
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．方程x2−3x−5=0的两根为x ，x ，则x +x 的值为 ．
1 2 1 2
【答案】3
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系
数的关系是解题的关键．若一元二次方程 的两个解为 ， ，则
ax2+bx+c=0(a≠0) x x
1 2
b c
x +x =− ，x ⋅x = ，据此求解即可．
1 2 a 1 2 a
【详解】解：∵方程x2−3x−5=0的两根为x ，x ，
1 2
−3
∴x +x =− =3，
1 2 1
故答案为：3．
12．学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场．赛程计划安排4天，每天安排9场比赛，问共有多少个队参赛？设共有x个队参赛，根据题意可列出方程为 ．
1
【答案】 x(x−1)=4×9
2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用（其他问题），根据题意正确列出方程是解
题的关键．
由题意可知，每个队都比赛了(x−1)场，所有队共比赛x(x−1)场，由于每两个队的比
1
赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是 x(x−1)场，据此即可列出方程．
2
【详解】解：设共有x个队参赛，
∵参赛的每两队之间都要比赛一场，
∴每个队都比赛了(x−1)场，
∵一共有x个队参赛，
∴所有队共比赛x(x−1)场，
∵A队与 B队比赛和B队与A队比赛是同一场，
∴每两个队的比赛都被重复计算了一次，
1
∴总比赛场数是 x(x−1)场，
2
∵共进行比赛4×9场，
1
∴ x(x−1)=4×9，
2
1
故答案为： x(x−1)=4×9．
2
13．一元二次方程2x2+3x−1=0的两根为x 、x ，则x ⋅x = ．
1 2 1 2
1
【答案】− /−0.5
2
【分析】本题考查了一元二次方程的根于系数的关系，掌握根于系数的关系：“x 、
1
b
{ x +x =− )
是一元二次方程 的两个根，则有 1 2 a ．”是解题的关键．
x ax2+bx+c=0
2 c
x ⋅x =
1 2 a
【详解】解：由题意得
a=2，b=3，c=−1，c 1
∴ x ⋅x = =− ，
1 2 a 2
1
故答案：− ．
2
14．如图，用48m长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 300m2的长方形鸡场，鸡场有
一个2m的门，设与墙垂直的边长为xm，所列方程是 ．
【答案】x⋅(50−2x)=300
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出墙的对面的一条边的长是
解答关键．
设与墙垂直的边长为xm，根据篱笆总长为48m，表示墙的对面的一条边的长，再利用
长面积公式求解．
【详解】解：设与墙垂直的边长为xm，
则墙的对面的一条边的长为(48−2x+2)=50−2x(m)，
所以列出方程为x⋅(50−2x)=300．
故答案为：x⋅(50−2x)=300．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.（8分）解方程：
(1) ；
(x−2) 2=4
(2)x2−4x−5=0．
【答案】(1)x =4，x =0；
1 2
(2)x =5，x =−1．
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用
方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简
便的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
(x−2) 2=4∴x−2=2或x−2=−2，
解得x =4，x =0．
1 2
（2）解：x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
∴x−5=0或x+1=0，
∴x =5，x =−1．
1 2
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)当k取最大整数时，求方程的实数根．
17
【答案】(1)k≤
4
(2)x =−1，x =−2
1 2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程
的根与 有如下关系：① ，方程有两个不相等的
ax2+bx+c=0(a≠0) Δ=b2−4ac Δ>0
实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根．
（1）根据题意得出 ，进行计算即可得到答案；
Δ=32−4×1×(k−2)≥0
（2）根据（1）中的k的范围得出k可取的最大整数值为4，再运用因式分解法来解一
元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根，
∴ ，
Δ=32−4×1×(k−2)=9−4k+8=17−4k≥0
17
解得：k≤ ；
4
17 1
（2）解：由（1）知k≤ =4 ，
4 4
∴k可取的最大整数值为4，
∴此时原方程为 ，
x2+3x+4−2=x2+3x+2=(x+1)(x+2)=0
解得x =−1，x =−2．
1 2
17．（8分）马戏团计划打造一个茶艺区，如图，若使用24米长的幕布，一面利用墙（墙
的最大可用长度为12米）围成茶艺区矩形ABCD，且中间用一道幕布隔为表演区和观赏区，在无表演时，方便用幕布进行围挡．
(1)如果要围成面积为36平方米的茶艺区，那么AB的长为多少米？
(2)能否围成面积为90平方米的茶艺区？若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)AB的长为6米
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的
关键．
（1）设AB的长为x米，根据题意列出方程，解出x的值，再结合墙的最大可用长度为
12米，即可得出答案；
（2）设AB的长为x米，根据题意列出方程，整理得到x2−8x+30=0，利用一元二次
方程根的判别式得到Δ<0，可知方程没有实数根，即可得出结论．
【详解】（1）解：设AB的长为x米，则BC的长为(24−3x)米，
由题意得，x(24−3x)=36，
解得：x =2，x =6，
1 2
当x=2时，BC=24−3×2=18>12米，不符合题意，舍去；
当x=6时，BC=24−3×6=6<12米，符合题意；
答：AB的长为6米．
（2）解：不能，理由如下：
设AB的长为x米，则BC的长为(24−3x)米，
由题意得，x(24−3x)=90，
整理得：x2−8x+30=0，
，
Δ=(−8) 2−4×30=−56<0
∴方程没有实数根，
∴不能围成面积为90平方米的茶艺区．
18．（8分）阅读下列材料：
为解方程 ，可将方程变形为 ，然后设 ，则
x4−x2−6=0 (x2) 2 −x2−6=0 x2= y，原方程化为 ①，解①得 ， ．当 时，
(x2) 2 = y2 y2−y−6=0 y =−2 y =3 y =−2
1 2 1
无意义，舍去；当 时， ，解得 ， 原方程的解为 ，
x2=−2 y =3 x2=3 x=±❑√3 ∴ x =❑√3
2 1
．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字
x =−❑√3
2
母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解方程： ．
(x2−2x) 2 −5x2+10x+6=0
【答案】 ， ， ，
x =1+❑√3 x =1−❑√3 x =−1 x =3
1 2 3 4
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题
的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得
到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是
变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、
复杂问题简单化，变得容易处理．
利用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：将原方程变形为 ，
(x2−2x) 2 −5(x2−2x)+6=0
设 ，则 ，原方程化为 ，
x2−2x= y (x2−2x) 2 = y2 y2−5 y+6=0
解得：y =2，y =3，
1 2
当y =2时，x2−2x=2，解得：x=1±❑√3；
1
当y =3时，x2−2x=3，解得：x=−1或3；
2
原方程的解为 ， ， ， ．
∴ x =1+❑√3 x =1−❑√3 x =−1 x =3
1 2 3 4
19．（8分）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅
览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的
增长率相同．
(1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
(2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图
书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？
【答案】(1)20%
(2)27
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
（1）因为2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，故
，再解出 的值，即可作答．
2000(1+r) 2=2880 r
（2）先理解题意，得100×(1+25%)m≤2880×(1+20%)，且结合m为正整数，即可
作答．
【详解】（1）解：设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为
r，
依题意，得 ，
2000(1+r) 2=2880
解得r =0.2=20%,r =−2.2<0（舍去），
1 2
∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为20%；
（2）解：设该市在2025年可以给m个社区建设微型图书阅览室，
依题意，得100×(1+25%)m≤2880×(1+20%)，
3456 81
解得m≤ =27 ，
125 125
∵m为正整数，
∴该市在2025年最多可以给27个社区建设微型图书阅览室．
20．（8分）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，
销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进
货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30
元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）
(1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件
数；
(2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照
原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为
了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？
【答案】(1)购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件
(2)B种苹果售价为每件24元时，每天销售利润为96元
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程 的应用，根据题意列出方程组或
方程是解题的关键．
{ x+ y=160 )
（1）设A种糖心苹果x件，B种糖心苹果y件，列方程组得 ，解
25x+18 y=3300
方程组即可得到答案；
（2）设B种苹果每件降价m元，得到(30−18−m)(4+2m)=96，求出m=4或m=6，
根据题意舍去m=4，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设A种糖心苹果x件，B种糖心苹果y件，
{ x+ y=160 )
根据题意得： ，
25x+18 y=3300
{ x=60 )
解得 ，
y=100
答：商店购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件
（2）解：设B种苹果每件降价m元，
(30−18−m)(4+2m)=96 ，
解得：m=4或m=6
∵尽快减少库存，舍去m=4，
30−6=24（元）
答：销售价定为每件24元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元．
21．（10分）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过
“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，
转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：x4−5x2+4=0．
设x2= y，则原方程可变为y2−5 y+4=0，解得y =1，y =4，
1 2
当y=1时，即x2=1，∴x=±1；
当y=4时，即x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =−1，x =2，x =−2．
1 2 3 4
②因式分解法求解三次方程：x3−5x+2=0．
将其变形为 ，
x3−(4+1)x+2=0∴x3−4x−x+2=0，
，
∴(x3−4x)−(x−2)=0
∴x(x+2)(x−2)−(x−2)=0，
，
∴(x−2)(x2+2x−1)=0
∴x−2=0或x2+2x−1=0，
原方程有三个根： ， ， ．
∴ x =2 x =−1+❑√2 x =−1−❑√2
1 2 3
(1)仿照以上方法解方程：
①x4+x2−12=0；
②x3−17x+4=0；
(2)已知：x2−x−1=0，且x>0，求x4−2x3+3x的值．
【答案】(1)① ， ；②原方程有三个根： ， ，
x =❑√3 x =−❑√3 x =4 x =−2+❑√5
1 2 1 2
x =−2−❑√5
3
(2)1+❑√5
【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解
题的关键是学会模仿例题解决问题．
（1）模仿例题解决问题即可；
（2）求出x的值，利用降次思想求解即可．
【详解】（1）解：①设x2= y，则原方程可变为y2+ y−12=0，解得y =−4，y =3
1 2
当y=−4时，即x2=−4，∴无解（舍去）
当 时，即 ， ， ．
y=3 x2=3 ∴x =❑√3 x =−❑√3
1 2
②将其变形为：
x3−(16+1)x+4=0
∴x3−16x−x+4=0，
∴(x3−16x)−(x−4)=0
∴x(x+4)(x−4)−(x−4)=0，
∴(x−4)(x2+4x−1)=0∴x−4=0或x2+4x−1=0
原方程有三个根： ， ， ．
∴ x =4 x =−2+❑√5 x =−2−❑√5
1 2 3
（2）∵x2−x−1=0，
∴x2=x+1
∴x4−2x3+3x=(x+1) 2−2x(x+1)+3x
=x2+2x+1−2x2−2x+3x
=−x2+3x+1
=−(x+1)+3x+1
=2x
1±❑√(−1) 2−4×1×(−1) 1±❑√5，且
∵x= = x>0
2 2
1+❑√5
∴x= ，
2
1+❑√5
∴原式=2× =1+❑√5．
2
