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期中重难点真题特训之易错必刷题型（92题29个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、一元二次方程的相关概念
1．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）把一元二次方程 化为一般形式，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式 ，解决此题的关键是要注意
的条件，根据整式化简算出左边的式子，再把右边的移到左边，让右边为0即可．
【详解】解：
故选：A．
2．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值
为 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次
方程，一般形式是 ．据此列出关于m的一元一次方程求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：1．
3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一元二次方程 ．
(1)将方程化成一般形式；(2)写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)
(2)二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般式为 （其中a、b、c
是常数， ），其中a叫做二次项系数， 叫做二次项，b叫做一次项系数， 叫做一次项，c叫做常
数项．
（1）根据一般式的定义，先利用多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项，合并同类项即可得到
答案；
（2）根据（1）所求即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得原方程的一般式为 ，
∴二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为1．
易错必刷题二、一元二次方程的四大解法
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程 因式分解法、直接开平方法和配方法．
（1）先变形得到 ，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程整理为一般式 ，然后利用因式分解法解方程；
（3）先把方程去分母整理为一般式 ，然后利用求根公式法解方程；
（4） ，可得 ，把 当成一个整体可得
，即可得到 或 ，然后分别解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解： ，
，
，
∴ 或 ，
∴ ， ；（3）解： ，
，
，
，
∴ ，
∴ ， ；
（4）解：
∴ ，
，
，
，
∴ 或 ，
当 时， ，解得
当 时， ，解得 ，即 ，
综上所述， ， ．
2．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）解下列方程：
(1) ；
(2) （配方法）；(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式
法．
（1）将原式两边除以3并移项后整理成 ，再开平方求解即可；
（2）将原式用配方法整理成 即 ，用开平方求解即可；
（3）用因式分解法将原式转化成 ，再解两个一次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
， ；
（2）解： ，
，
，
，即 ，
，
， ；（3）解： ，
，
或 ，
， ．
3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）选择适当的方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得 ， ；
（2）解：
解得 ， ．4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力．
（1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（2）先将方程整理成 ，然后算出 ，再用公式法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
解得 ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
解得 ， ．
5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）解方程：
(1) （公式法）
(2) （配方法）(3)
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可；
（2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方
进行配方，再解方程即可；
（3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（4）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可．
【详解】（1）解： ，
化为一般式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；
（4）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
6．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）解下列方程：
(1) （用配方法解）
(2) （用因式法解）
(3) （用公式法解）
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；(3) ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、
因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
（ ）利用配方法得到 ，再计算即可求解；
（ ）提取公因式 ，利用因式分解法求解即可；
（3）求得根的判别式，再利用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ，
整理得 ，
配方得 ，即可 ，
开方得 ，
即 或 ，
∴ ， ；
（2）解： ，
整理得 ，
因式分解得 ，
即 ， ，
∴ ， ；
（3）解： ，
整理得 ，
， ， ，，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ．
7．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）用适当的方法解方程
(1)
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握直接开方法，配方法，因式分解法，并能灵活选择是解题的关
键．
（ ）移项，提公因式，用因式分解法解方程即可；
（ ）先把方程转化为一般式，然后再用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
移项，得 ，
提公因式得 ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）解：去括号得 ，
整理和 ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，∴ ， ．
8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）解方程：
(1) （公式法）
(2) ．（配方法）
(3) （选用适当方法）
(4) （选用适当方法）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据直接开平方法解一元二次方程；
（4）先化为一般形式，根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
化简得： ，
，
，
解得： ；
（2）解： ，移项得： ，
配方得： ，
即 ，
故 ，
解得： ；
（3）解： ，
移项得： ，
开方得： ，
解得： ；
（4）解： ，
化简得： ，
因式分解得： ，
即 或 ，
解得： ．
易错必刷题三、配方法的应用
1．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代
数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值．
例： ．
，
，即 ，
的最小值为1参照以上方法，求得代数式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出 ，再根据 即可
得到 ，据此可得答案．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的最小值为 ，
故选：D．
2．（24-25九年级上·北京·开学考试）用配方法解方程 时，可将方程变为 的形式，
则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解方程， 先移项再配方得 ，与 对比，得
，然后代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：∵用配方法解方程 时，可将方程变为 的形式
∴
∴
故答案为：
3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有
其它重要应用．
例如：求代数式 的最小值？解答过程如下：
解： ，
， 当 时， 的值最小，最小值是0，
，
当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
仿照上述方法，求解代数式 的最大值．
【答案】代数式 的最大值是21．
【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 的最大值是21．
易错必刷题四、换元法解一元二次方程
1．（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为关于 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设 ，则原方程化为
，再整理即可．
【详解】解： ，
设 ，则原方程化为： ，
，
，
故选： ．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的解是 ，
，则另一个方程 的解是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
令 ，则 整理为 ，由题意知， 的解是 ，
，即 或 ，计算求解即可．
【详解】解：令 ，
∴ 整理为 ，
∵关于x的一元二次方程 的解是 ， ，∴ 的解是 ， ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）阅读下列材料：
解方程： ．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，
解这个方程得： ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ，
所以原方程有四个根： ， ， ， ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程 时，若设 ，则原方程可转化为______；
(2)若 ，求 ______；
(3)参照上面解题的思想方法解方程： ．
【答案】(1)
(2)4
(3) ，
【分析】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：
设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．
（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果；
（2）设 ，原方程可变为： ，解关于t的方程得出 ， ，即可得出 的
值；（3）设 ，原方程变形为： ，求出 ，即可得出 ，然后解关于x
的分式方程即可得出x的值．
【详解】（1）解：设 ，原方程可变形为： ；
（2）解：设 ，则原方程可变为： ，
解得： ， ，
∴ 或 （舍去）．
（3）
解：设 ，则 ，
原方程变形为： ，
解得： ，
∴ ，
去分母得：
解得： ， ，
经检验， 和 是上述分式方程的根，
∴原方程的解为： ， ．
易错必刷题五、根的判别式求参
1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根，则实数 的值可以是（ ）A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，根据题意，利用一元二次方程根的判别式及定义，
列出不等式即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
，且 ，
解得： ，且 ，
则实数m的值可以是2，
故选：C．
2．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式：根据一元二次方程根的情况求参数．
因为关于 的一元二次方程 有实数根，则 ，代入数值进行计算，即可作
答．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
求 的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一
元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．根据 列式求解即可．
【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题六、一元二次方程根与系数的关系
1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）若 是方程 的两个实数根，则 的
值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由m，n是方程 的两个实数根 ，得
， ，将所求式子变形后整体代入即可．
【详解】解∶∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故选∶C．
2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知 ， 是方程 的两个根，则
的值为 ．
【答案】1【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解．根据根与系数的关系及一元二次方程的解可
得出： ， ， ，将其代入原式中即可求出结论．
【详解】解：∵α，β是方程 的两个根，
∴ ， ．且 ．
由此可得： ， ．
∴ ．
故答案为：
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若 ，且此方程的两个实数根的差为4，求 的值．
【答案】(1)见详解
(2)4
【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是理解题意，正确计算．
（1）证明 即可；
（2）设方程的两根分别为 ， ．则有 ，可得 ，由此构建方程求解．
【详解】（1）证明：
，
关于 的一元二次方程 总有两个实数根；
（2）解：设方程的两根分别为 ， ，则根据根与系数的关系可得 ．
则有 ，
，，
，
，
，
．
易错必刷题七、一元二次方程的实际应用之传播问题、增长率问题
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数
目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列
方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可．
【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得：
，
故选：A．
2．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）有2人患了流感，经过两轮传染后，共有98人患了流，每轮传
染中平均每人传染了 个人．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设每轮传染中平均
每人传染了 个人，根据题意可得关于 的一元二次方程 ，求解即可获得答案．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了 个人，
根据题意，可得 ，
解得 ， （舍去），
所以，每轮传染中平均每人传染了6个人．故答案为：6．
3．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
(1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是 万件，问月平均增长率
是多少？
(2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价
每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲
玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)20元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
（1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量 8月份销售量，列出方程求解即可；
（2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得： （舍去），
答：月平均增长率为 ．
（2）解：设售价降低y元，
，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴为了尽量减少库存，售价应降低20元．
易错必刷题八、一元二次方程的实际应用之图形几何问题、图形运动问题
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）菱形 的一条对角线长为5，边 的长是方程
的一个根，则菱形 的周长为（ ）A．8 B．11 C．12 D．12或8
【答案】C
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键熟知方程的解法及菱形的性质．
先求出方程的解，再根据菱形的性质求出边长，故可求解．
【详解】解：方程 ，
分解因式得： ，
可得 或 ，
解得： 或 ，
当 时， ，不能构成三角形，舍去；
当 时， ，
菱形周长为 ．
故选：C．
2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图， 中， ，点P从点B出发
向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，
一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后， 的面积等于4．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键
设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设t秒后 的面积等于4，
由题意得： ，则 ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，解得： ， ，
∵点 从点C到点A的时间为 ，
∴ ，不合题意，舍去，
∴1秒后， 的面积等于4．
故答案为：1．
3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题背景
如图，在矩形 中， ， ，动点P、Q分别以 、 的速度从点A、C同时
出发，沿规定路线移动.
问题探究
(1)若点P从点A沿AB向终点B移动，点Q从点C沿CD向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过
多长时间P，Q两点之间的距离是 ？
(2)若点P沿着 移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿CD向点D移动点Q随点P的
停止而停止，试探求经过多长时间 的面积为 ？
【答案】(1) 或
(2)4秒或6秒
【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知
识点，注意计算的准确性是解题关键．
（1）过点P作 于E，根据四边形 均为矩形可得 ，
，据此即可求解；（2）分类讨论①当点P在线段AB上和②当点P在线段 上两种情况即可求解；
【详解】（1）解：如图1，过点P作 于E，
则四边形 均为矩形，
∴ ，
设x秒后，点P和点Q的距离是 ，
∵ ，
∴ ，
由题意得，
，
∴ ， ，
由题意知点P的运动时间为 ，即 ，故 和 均符合题意.
∴经过 或 ，P、Q两点之间的距离是 .
（2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为 .
设经过 后 的面积为 .
①当点P在线段AB上（如图1），即 时，
，连接 ，
∴ ，即 ，
解得 ；
②当点P在线段 上（如图2），即 时，连接 ，
则 ， ，
则 ，
解得 ， （舍去）
综上所述，经过4秒或6秒， 的面积为 .
易错必刷题九、一元二次方程的实际应用之销售问题
1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60
台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加 万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提
高 ，则这种机床每台的售价应定为（ ）
A．3万元 B．5万元 C．8万元 D．3万元或5万元
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种机床每台的售价应定为 万元，则销售量为
台，再根据四月份该专卖店想将销售额提高 列出方程即可．
【详解】解：设这种机床每台的售价应定为 万元，
由题意得， ，整理得 ，
解得 或 ，
∴这种机床每台的售价应定为3万元或5万元，
故选：D．
2．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．
为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可
多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 ．
【答案】20元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件衬衫应降价x元，则销售量为 件，再
由利润 单价利润 销售量列出方程求解即可．
【详解】解：设每件衬衫应降价x元，
由题意得， ，
整理得： 或 ，
∵要扩大销售量，增加盈利，
∴应该降价20元，
故答案为：20元．
3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农
产品礼包，今年1月份的售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变
的基础上，3月份的销售量达到400包．
(1)若2、3两个月的销售量的月平均增长率相同，求月平均增长百分率．
(2)若农产品礼包每包成本为25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若
该农产品礼包每包每降价2元，月销售量可增加10包，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4
月份可获利4250元？
【答案】(1)2、3两个月的月平均增长率为
(2)当农产品礼包每包降价5元，这种农产品在4月份可获利4250元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系：1月销量 月的销量，列出相应的方
程是解答本题的关键．
(1)根据题意，可知1月销量 月的销量，然后计算，即可得到2、3月份的增长率．(2)先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4250元，然后根据：利润=(售价 进价) 数量，
列出方程并解答即可．
【详解】（1）解：设2、3这两个月的月平均增长率为x，
由题意得： ，
解得： (舍去)，
答：2、3两个月的月平均增长率为 ．
（2）设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4250元，
由题意得： ，
解得： (舍去)，
答：当农产品礼包每包降价5元，这种农产品在4月份可获利4250元．
易错必刷题十、二次函数的相关概念
1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数 是二次函数，那么k等于
（ ）
A．3 B．0 C．－2 D．－1
【答案】B
【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“y=ax2+bx+c（ ，a、
b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
2．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）已知 是 关于 的二次函数，
．
【答案】1【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的
关键，根据二次函数的定义得到 ，且 ，求解即可．
【详解】解：∵ 是 关于 的二次函数，
∴ ，且 ，
解得： ，
故答案为：1．
3．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知函数 是关于 的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)判断点 是否在该二次函数图象上．
【答案】(1)
(2)不在
【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义得到 ，然后解之即可得到满足条件的m的值；
（2）将 代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ；
（2）解：函数解析式为： ，
当 时， ，
点 不在该二次函数图象上.
易错必刷题十一、二次函数的图象与性质
1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若 ， ， 为二次函数 图
象上的三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线
，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴当 ， 随 的增大而减少，
∵ 关于直线 的对称点是 ，
且 ，
∴ ．
故选：B．
2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数 中，当 时， 的最小值
是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，先把二次函数 配成顶点式，然后
根据二次函数的性质即可求解，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由二次函数 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
则当 时， 时， 有最小值，为 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）已知抛物线 ．
(1)若顶点在 轴上，则 __________；
(2)若抛物线经过原点，求此抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，
（1）根据抛物线 的顶点在 上，则对称轴为 ，由此即可求解；
（2）抛物线 经过原点 ，则把原点坐标代入可得 ，由此可得二次函数解析
式，再将其化为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线 的顶点在 上，
∴对称轴为 ，
解得， ，
故答案为： ．
（2）解：抛物线 经过原点 ，
∴ ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ，
∴顶点坐标为 ．
易错必刷题十二、二次函数、一次函数的图象判断
1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键．
根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可．
【详解】解：A． 由一次函数图象得 ，由二次函数图象得 ，矛盾，不符合题意；
B． 由一次函数图象得 ，由二次函数图象得 ，一致，符合题意；
C． 由一次函数图象得 ，由二次函数图象得 ，矛盾，不符合题意；
D． 由一次函数图象得 ，由二次函数图象得 ，矛盾，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象经过第 象限．
【答案】一、二、三
【分析】根据二次函数图象可知 ，由此根据一次函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符
号是解题的关键．
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线 与直线 有且只有一个交点 ，求的值以及交点 的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，根据抛物线 与直线 有且只有一
个交点A，得方程 有两个相等的实数根，求出m的值，进而求出交点A的坐标．
【详解】解：由题意得 ，
整理得： ，
∵抛物线 与直线 有且只有一个交点，
，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
把 代入 得 ，
∴交点A的坐标为(1,0)．
易错必刷题十三、二次函数图象与各系数关系
1．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴
是直线 ，其图象一部分如图所示，对于下列说法：① ；② ；③ ；④当
时， ．其中正确的是（ ）A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向和，与y轴
交点在y轴正半轴得到 ，根据对称轴计算公式可得 ，据此可判断①；根据对称性抛
物线与x轴的另一个交点的横坐标在 和0之间，则当 时， ，据此可判断②③④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间，
那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在 和0之间，
∴当 时， ，故②正确；
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在 和0之间，
∴当 时， 不一定成立，故④错误，
∴正确的有②③，
故选：C．
2．（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）
其中正确的结论有 填序号
【答案】
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与b的关系，以及二次
函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c
与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为 ，能得到： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴①错误；
②当 时，由图象知 ，
把 代入解析式得： ，
∴ ，
∴②错误；
③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
∴③正确；
④由①②知 且 ，
∴ ，④正确；
⑤∵ 时， 最大值 ， 时， ，
∵ 的实数，，
∴ 成立．
∴⑤正确．
故答案为：③④⑤．
3．（2024·北京·模拟预测）已知 均为正整数， 交 轴于 ， 两点，其中
至原点的距离均小于1．
(1)比较： 0； 0
(2)求 的最小值，并给出一组符合要求的
【答案】(1) ，
(2) 最小，分别取 、 、 的值为5、5、1．
【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点问题，解题的关键是利用二次函数的对称轴及与坐
标轴的交点的特点进行求解；
（1）根据条件判断出对称轴在 轴的左边，再根据与 轴的交点在非负半轴即可判断；
（2）设 ， ．利用根与系数的关系、根的判别式得到 且 ①，则
②，且 ．可得 ③，由③得 ，故 ，又因为 ，
分别取 、 、 的最小整数5、5、1．
【详解】（1）解： 的对称轴 ， ，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解：设 ， ．．
据题意得，方程 有两个相异根，都在 中，
故当 时， ，则 ，一元二次方程 的两根 且 ①，可见 ②，且 ．
所以 ，可得 ，③
由③得 ，故 ，
又因为 ，分别取 、 、 的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以 最小．
易错必刷题十四、待定系数法求二次函数解析式
1．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）顶点是 ，开口方向，形状与抛物线 相同的抛物线
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据顶点是 ，可设抛物线的解析式为 ，根据开口方向，形状与抛物线
相同，得到 ，继而得到解析式，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点式，抛物线开口方向，形状相同的条件，熟练掌握顶点式的表示和条件是解题的
关键．
【详解】解：∵抛物线的顶点是 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵开口方向，形状与抛物线 相同，
∴ ，
∴抛物线的解析式是 ．故选：A．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线 的图象经过 、 ，且对称轴
到 轴的距离为2，则抛物线的函数表达式是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由抛物线对称轴到 轴的距离为2得出抛物线的对称
轴为直线 或 ，进而得出抛物线与 轴的另一个交点为 或 ，再利用待定系数法求解即
可．
【详解】解：∵抛物线对称轴到 轴的距离为2，
∴抛物线的对称轴为直线 或 ，
∵抛物线与 轴的一个交点为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点为 或 ，
设抛物线解析式为 或 ，
把 代入 得 ，
解得： ，
此时抛物线的解析式为 ，即 ；
把 代入 得 ，
解得： ，
此时抛物线的解析式为 ，即 ；
综上所述，抛物线的解析式为 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知抛物线 经过点(1)求 的值；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式；
（1）通过待定系数法求解；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】（1）解：将 代入 得
，
解得：
（2）由（1）可得解析式为 ，
∴顶点坐标为
易错必刷题十五、二次函数的平移问题
1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平
移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可求解 ．
【详解】解：将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴ ，
故选：B ．
2．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）将抛物线 向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ，则 的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．根据平移方式和平移后的解
析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可．
【详解】解：根据题意可知将抛物线 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得
到抛物线 ，
原抛物线解析式为 ，
整理，得： ，即 ，
∴ ．
故答案为：12．
3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线 相
同，且过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式：
（1）设满足题意的抛物线解析式为 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求的解析式结合二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．【详解】（1）解：设满足题意的抛物线解析式为 ，
∵抛物线 经过 ，
∴ ，
解得 ，
∴满足题意的抛物线解析式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（3）解：将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移
后的抛物线的解析式 ．
易错必刷题十六、二次函数与方程、不等式的关系
1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴有两个交点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，由于二次函数与 轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次
方程 中， ，解不等式即可求出 的取值范围，由二次函数定义可知， ．
【详解】解： 二次函数 的图象和 轴有两个交点，
，
解得 且 ．故选：D．
2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知抛物线 与直线 相交于
两点，则关于x的不等式 的解集是 ．
【答案】 或x>0
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式
的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线 与直线
的交点坐标即可解答．
【详解】解：由图象可知，当 或x>0时，抛物线位于直线下方，
∴不等式 的解集是： 或x>0，
故答案为： 或x>0．
3．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数 的图象如图，根据图象解答下列
问题：
(1)直接写出方程 的两个根；
(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)(3) 或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，
c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
【详解】（1）解：由图象看，
∵二次函数 与x轴交于点(1,0)，
∴方程 的两个根是 ， ；
（2）解：从图象看，
当 时，y随x的增大而增大；
（3）解：从图象看，
∵当 或 时，二次函数 的图象在x轴
∴不等式 的解集是： 或 ．
易错必刷题十七、二次函数的几何应用
1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片 ， ， ，将该矩
形纸片沿垂直于 的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为 ，则其相邻的边长为 ，长方体的体积为 ，根
据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题
的关键．
【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为 ，则其相邻的边长为 ，
长方体的体积为 ，根据题意得：
，
所以该纸筒的最大容积为 ，
故选：B．
2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， ，动点
由点 出发沿 方向向点 匀速移动，速度为 ，动点 由点 出发沿 方向向点 匀速移动，速
度为 ．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发，
时， 的面积最大，最大面积是 ．
【答案】 3 9
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可
得答案.
【详解】解：设点P、Q移动的时间为 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的面积最大，最大面积为 ．
故答案为：3，9
3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，
围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道 米宽的门，已知铁丝网总长是 米．如图
所示，设AB的长为 米，矩形面积为 平方米．(1)用含 的代数式表示 ．
(2)当菜园的面积是 平方米时，求出 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数关系式，二次函数的应用；
（1）根据题意先求得 ，进而根据矩形面积公式，即可求解；
（2）当 时， ，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设AB的长为 米，矩形面积为 平方米，
∴ ， ，
（2）解：当 时，
解得：
易错必刷题十八、二次函数中的销售问题
1．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售
单价x（元）满足关系 ，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性
质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将 写成顶点式的形式即可得到答案．
【详解】解：将 写为顶点式的形式得： ，
∴当 时， 取最大值，∴要想获得最大利润，则销售单价为 元，
故选：A．
2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，
该商品每月的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不
得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为 元．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法
是解题的关键．设每月所获利润为 元，按照利润 销售量 售价 成本)列出二次函数，并根据二次函数
的性质求得最值即可．
【详解】解：设每月所获利润为 元，
则 ，
∵ ，
∴开口向下，在 时， 有最大值，且为 元
∴当商品销售单价定为 元时，每月所获利润最大，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）怀远石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的
美誉．某商户从怀远购进一批石榴进行销售（只按整箱销售不零售），进价为80元/箱，当销售价为120
元/箱时，每天可售出20箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱．
(1)每箱石榴降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(2)当每箱石榴降价多少元时，商家平均每天盈利最多？
【答案】(1)10或20
(2)15
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）设每箱石榴降价x元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于1200列出方
程，求出解即可；
（2）设利润为w，即可得出关于x的二次函数，再讨论极值即可．
【详解】（1）解：设每箱石榴降价x元，根据题意，得
，解得 ，
∴每箱石榴降价10元或20元，商家平均每天能盈利1200元；
（2）解：设总利润为w，根据题意，得
，
∵ ，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当 时， 元．
∴当每箱石榴降价15元时，商家平均每天盈利最多．
易错必刷题十九、二次函数中的拱桥、喷水与投球问题
1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管 ，水管的顶端
B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水
柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度 为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立直
角坐标系，得到 ，设抛物线的解析式为 ，将 代入求出函数解
析式，进而求出 时的函数值即为 的长．
【详解】解：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系，如图所示：则： ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入，得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴高度 为 ；
故选D．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过
程中高度 与水平距离 之间的函数图象如图所示（ 为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩
是 m.
【答案】9
【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过 ，顶点坐标为 ，
设二次函数图象的解析式为 ，代入计算可得解析式，再把 时，计算出二次函数与 正
半轴的交点即可．【详解】解：根据题意，二次函数图象经过 ，顶点坐标为 ，
∴设二次函数图象的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 时， ，
解得， ， （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
3．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．
可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50
米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．
(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢
柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
【答案】(1)
(2) 米
(3)【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将 代入得出关系式即可；
对于（2），由题意可得 米，将 代入关系式，再结合题意求出答案；
对于（3），由题意可知顶点坐标为 设顶点式，将点 代入用含有k的代数式表示a，再根据
抛物线与钢柱 有交点得出不等式，进而求出范围．
【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是 ．
设抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过原点O，
∴将 代入得， ，解得 ，
∴ ；
（2）解： 由题意可得 米，
将 代入 ，
解得 ，
∴6根钢柱总长
(米)；
（3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为 ．
∴抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，
解得 ．
当 时， ．∵抛物线与钢柱 有交点，
∴ ．
将 代入， 可得， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等
式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键．
易错必刷题二十、图形的旋转
1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，将 绕点 顺时针旋转，点 的对应点为点 ，点 的
对应点为点 ，当旋转角为90°， ， ， 三点在同一直线上时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知 ，
，即可得出答案．
【详解】由旋转可知 ， ，
∴ ．
故选：C．
2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ，将
绕点C按逆时针方向旋转得到 ，此时点 恰好在 边上，则点 与点B之间的距离为
．【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接
，根据旋转的性质得 是等边三角形，再根据勾股定理求得 ，进而得出答案．
【详解】如图所示，连接 ，
根据旋转的性质得 ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ,
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∵ ，
∴
根据勾股定理，得 ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在 中，点E在 边上， ，将线段 绕A点旋
转到 的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点G．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟
练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键．
（1）利用边角边原理证明即可 ．
（2）利用三角形全等的性质计算即可 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵线段 绕A点旋转到 的位置，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴
∵ ，
∴ ．∴ ．
易错必刷题二十一、中心对称
1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）点 与 关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握平面直角坐标系内关于原点对称的两点坐标特征
成为解题的关键．根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数即可解答．
【详解】解：∵点 与 关于原点对称，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（22-23九年级上·广东湛江·期中）若点 与点 关于原点对称，则 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用
关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
， ，
解得： ， ．
．
故答案为：3．
3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点 的坐标为 ．(1)图中点 点的坐标是________；点 关于原点对称的点 的坐标是________；点 关于 轴对称的点
的坐标是________；
(2)在图中画出 绕着点 逆时针旋转 后的 ；
(3)在 轴上是否存在点 ，使得 的面积等于 的面积，若存在，求出点 的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
(3)存在， 或
【分析】本题考查的是在坐标系内描点，画旋转图形，关于原点和坐标轴对称的点，求解网格三角形的面
积，掌握“利用旋转的性质画图”是解本题的关键．
（1）先根据 的位置可得点 的坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特点，关于 轴对称的点的坐标特
点可得 ， 的坐标；
（2）先确定 ， ， 旋转后的对应点 ， ， ，即可得 ；
（3）先求解 的面积，再设 ，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由 的位置可得： ，
点 关于原点对称的点 的坐标是 ，
点 关于 轴对称的点 的坐标是 ；
（2）解：如图， 即为所画的三角形；（3）解： ，
设 ，
，
解得： 或 ，
或 ．
易错必刷题二十二、圆的有关概念
1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（ ）
①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的
弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案．
【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确；
②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误；
③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误；
④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误；
⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确；
⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确
∴正确的说法有①⑤⑥，共3个．
故选：C．2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是 的直径，点 在 上， 于点 ．已
知 ， ，则 的半径为 ．
【答案】5
【分析】先连接 ，在 中，根据勾股定理得出 的长即可．此题考查了圆的认识，勾股定理，
解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单．
【详解】解：如图，连接 ，
， ，
，
在 中，
，
解得： ，
的半径为5．
故答案为：5．
3．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在 中， 是直径， 是弦，延长 相交于点
P，且 ， ，连接 ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是圆的认识，根据半径出等腰，得到等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．由 可得出 故可得出 的度数，根据三角形外角的
性质求出 的度数，由等边对等角求出 的度数，即可得出结论．
【详解】解：
∵ ，
∴
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
易错必刷题二十三、垂径定理
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，以点
C为圆心， 长为半径的圆与 交于点D，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
过C作 交 于点M，首先根据勾股定理求出 ，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出 ，最后利用垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，过C作 交 于点M，
∵ ， ， ，
∴ ，
由垂径定理可得M为 的中点，
∵ ，
∴
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
∴
（舍去负值）．
∴ ．
故选：C．
2．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点， ，
， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，直角三角形的性质，过O作 于F，连接 ，根据垂
直定义得出 ，即可求出 ，求出 ，根据勾股定理求出 ，
再根据勾股定理求出 ，根据垂径定理得出 ，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，过O作 于F，连接 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ，
∵ ， 过圆心O，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且
于点F．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的直径是
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）垂径定理，得到 ，等腰三角形三线合一 ，即可得出结论；
（2）连接 ，设 的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，且 过圆心O
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，设 的半径是r，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ 的直径是 ．
易错必刷题二十四、圆周角与圆心角
1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是 的直径， ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据 ， 得出
，即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 是 的内接四边形， 为直径， ，
则 的度数为 ．【答案】 /20度
【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理．注意掌握数形结合思想的应
用．
由 是直径，可得 ，又由圆内接四边形的性质得到 ，根据三角形内角和定
理，即可求得答案．
【详解】解：∵ 是直径，
∴ ，
又∵ 是 的内接四边形， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在 中，弦 相交于点M，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 是 的直径， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）先得出 ，再进行弧运算，得出 ，结合圆周角定理，即可作答．
（2）根据圆周角定理得出 ，因为 ，所以得出 ， ，再得出，运用勾股定理列式得出 ，运用等腰三角形的三线合一得出 ，再结合勾
股定理内容，即可作答．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ；
∴
（2）解：如图， 是 的直径，
∵ ，
∴ ， ，
设 ，则 ．
．
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
，
．
∴在 中由勾股定理得 ．易错必刷题二十五、直线与圆的位置关系
1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 为
的中点．以 为圆心， 为半径作 ，若 、 、 三点中只有一点在 内，则 的半径 的值不能
是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理和点与圆的位置关系，根据题意求得 ，在分别讨论 、 、 三点与
点A的长度和位置关系，求得满足要求的范围，结合选项即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ．
当 的半径 时，点D在 上，点C、B在圆外，
当 的半径 时，点C在 上，点D在圆内，点B在圆外，
当 的半径 时，点B在 上，点C、D在圆内，
当 的半径满足 时，点D在 内，
当 的半径满足 时，点C、D在 内，
当 的半径满足 时，点B、C、D在 内，
∴若B、C、D三点中只有一点在 内，
则 的半径r的取值范围是 ．
故选：A．
2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， ， 分别是 的切线， ， 为切点， 切于 ，交 ， 于点 ， ，若 ，则 的周长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题
的关键．
利用切线长定理，可以得到： ，据此即可求解．
【详解】∵ ， 分别是 的切线，
∴
同理， ．
∴三角形 的周长 ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的
延长线上，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先判断出 是圆 的直径，再判断出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，进而求出 ，再用勾股定理求出 ，根据三角形的面积公式即可得
出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，，
点 必在 上，即： 是直径，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，即： ，
点 在 上，
是 的切线；
（2）解： ，
，
，
即 ，
， ，
在 中， ，
，
．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求
出 是解本题的关键．易错必刷题二十六、正多边形与圆
1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的
不断深入，发现苯分子中的 个碳原子与 个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图 ），
组成了一个完美的六边形（正六边形），图 是其平面示意图，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图 ，
六边形 是正六边形，
，
，
，
同理， ，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质（等边对等角），三角
形的内角和定理等知识点，熟练掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理是解题
的关键．
2．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）如图，正六边形 内接于 ，连接BD．则 的
度数是 ．【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出
是等腰三角形，属于中考常考题型．求出 ，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：在正六边形 中， ，
，
，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形 内接于 ，边长为2．
(1)求 的直径 的长；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接 ，求出 的度数，得到 是等边三角形，得到 ，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接 ．
∵正六边形 内接于 ，∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
易错必刷题二十七、弧长
1．（2024·山西·模拟预测）如图，在 的内接四边形 中， ， ．若 的半
径为5，则弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接 ，根据圆周角定理可知 ，
即可求出 ，再根据 得出答案．
【详解】连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴弧 的长为 ．
故选：C．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知 的半径为2． 是 的弦，若 是等边三角形，则劣弧
的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，弧长的公式．根据等边三角形的性质，得到 ，之
后利用弧长公式即可得到答案．
【详解】解：由题知 是等边三角形，
，
劣弧 ．
故答案为： ．
3．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，四边形 是正方形，以边CD为直径作 ，点 在
边上，连结DE交 于点 ，连结CF并延长交AB于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．（结果保留 ）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记相
关几何结论是解题关键．
（1）证 即可；
（2）根据题意求出 即可求解；
【详解】（1）证明：由题意得： ，
∴
∴
∴
∴
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴
∵
∴
∴∴ 的长为：
易错必刷题二十八、扇形面积
1．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形 的边长为5，以顶点 为圆心， 的长为半径画
圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角
的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解： 五边形 是正五边形，
，
，
故选：B．
2．（2024·广东·模拟预测）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一
把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形 的半径为 ，弧长为 ，大扇形 的半径
为 ，扇面的宽度 为 ，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）．
【答案】
【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形 的半径为 ，弧长为 ，求出 D的度数，根据 列式代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：设
∵小扇形 的半径为 ，弧长为
∴
则
则
∵大扇形 的半径为 ，扇面的宽度 为 ，
∴
则
故答案为：
3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后， 和 的夹角为 ， 长为
，贴纸部分的宽 为 ．
(1)求弧 的长度；
(2)求纸扇上贴纸部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中
考常考题型．（1）利用弧长公式求解即可，
（2）求出两个扇形面积的差即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ， ，
，
，
，
贴纸部分的面积 ．
易错必刷题二十九、圆锥侧面积
1．（2024九年级下·云南昆明·专题练习）如图， 的斜边 ，一条直角边 ，现以
边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算和点、线、面、体．可得圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，再根据
圆锥的侧面积 底面周长 母线长 即可得出答案．
【详解】解：圆锥的侧面积为 ．
故选：B．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两
个圆锥母线长分别为 ， ，新几何体的最大横截面圆的半径 ，则新几何体的表面积为
．【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式， ，据此即可求解．
【详解】解：由图可知：新几何体的表面积 ，
故答案为：
3．（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线
长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时
其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查的是求解圆锥的侧面积，展开图的圆心角的大小，熟记公式是解本题的关键；本题先求
解展开图的圆心角，再求解扇形的面积即可．
【详解】解：设该圆锥展开后所得扇形的圆心的度数为 ，
由题意得，冰激凌的底面圆的周长为： ．
∵母线长为12cm，
∴ ，
解得 ，即展开后所得扇形的圆心角的度数是 ．
∵吃掉一部分后母线长为9cm，∴此时冰激凌外壳的侧面积为： ．
